25.2 用列舉法求概率
第二十五章 概率初步
第2課時 畫樹狀圖法求概率
一只螞蟻在如圖所示的樹枝上尋覓食物，假定螞蟻在每個岔路口都隨機選擇一條路徑，它獲得食物的概率是多少?
知識點1：用畫樹狀圖法求概率
類比上題的方法求解下列問題. 問題：同時拋擲兩枚均勻的硬幣，出現(xiàn)兩者都正面向上的概率是多少？
如一個試驗中涉及 2 個因素，第一個因素中有 2 種可能情況；第二個因素中有 3 種可能的情況.
n = 2×3 = 6
樹狀圖法：按事件發(fā)生的次序，列出其可能出現(xiàn)的結(jié)果.
例1 甲口袋中裝有 2 個相同的小球，它們分別寫有字母 A 和 B；乙口袋中裝有 3 個相同的小球，它們分別寫有字母 C，D 和 E；丙口袋中裝有 2 個相同的小球，分別寫有字母 H 和 I. 從三個口袋中各隨機取出 1 個小球．
(1) 取出的 3 個小球上恰好有 1 個，2 個，3 個有元音 字母的概率分別是多少？
(2) 取出的 3 個小球上全是輔音字母的概率是多少？
分析：這次試驗是從甲→乙→丙三個口袋中依次取出.
(1) 取出的 3 個小球中恰好有 1 個，2 個，3 個寫有元音字母的概率各是多少？
解：由樹狀圖知所有可能出現(xiàn)的結(jié)果有 12 個，它們出現(xiàn)的可能性相等.
滿足三個全部為元音字母的結(jié)果有 1 個，
滿足只有兩個元音字母的結(jié)果有 4 個，
畫樹狀圖求概率的基本步驟：
① 明確一次試驗有幾個步驟和順序；
② 把每一步驟的結(jié)果列為一層，畫樹狀圖；
③ 沿著“樹杈”列出所有可能的結(jié)果，算出 n 的值；
④ 找出符合條件的結(jié)果個數(shù) m；
問題1 試驗?zāi)軌蛴脴錉顖D列舉結(jié)果的前提條件是什么？
(1) 每一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有_______；
(2) 每一次試驗中，各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性______.
問題2 用樹狀圖列舉結(jié)果的優(yōu)點是什么？
① 列舉的結(jié)果一目了然，不重不漏；
② 特別適合 3 個或 3 個以上步驟的試驗.
1. (襄陽) 經(jīng)過某十字路口的汽車，可能直行，也可能向左轉(zhuǎn)或向右轉(zhuǎn)，如果這三種可能性大小相同，那么兩輛汽車經(jīng)過這個十字路口時，第一輛車向左轉(zhuǎn)，第二輛車向右轉(zhuǎn)的概率 .
∴共有 9 種等可能的結(jié)果.
知識點2：樹狀圖法與列表法的靈活運用
例2 (沈陽期末) 一個盒子中裝有兩個紅球，一個藍球，這些球除顏色外都相同. 甲乙兩人進行摸球游戲：甲先從盒中隨機摸出一球，記下顏色后放回，搖勻后再由乙從盒中隨機摸出一球.(1) 試用樹狀圖 ( 或列表法 ) 表示兩次摸球游戲所有可能的結(jié)果；(2) 如果規(guī)定：若能配成紫色 (紅色和藍色配成紫色) 為甲勝，否則為乙勝，這個游戲公平嗎? 請說明理由.
(1) 解：先將兩個紅球分別記為“紅1”，“紅2”， 然后畫樹狀圖如下：
(2) 解：不公平.∵由樹狀圖可知共有 9 種等可能的結(jié)果，∴能配成紫色的有 4 種結(jié)果，則
例3 小明、小軍兩同學做游戲，游戲規(guī)則是：一個不透明的文具袋中，裝有型號完全相同的 3 個紅球和 2 個黑球，兩人先后從袋中取出一個球(不放回) ，若兩人所取球的顏色相同，則小明勝；否則，小軍勝；(1) 請用樹狀圖或列表法求出摸球游戲所有可能的結(jié)果；(2) 你覺得本游戲規(guī)則是否公平，請說明理由.
(1) 解：先將三個紅球分別記為“紅1”“紅2”“紅3” “黑1”“黑2”，然后畫樹狀圖如下：
比較一下，用樹狀圖法還是列表法更便捷？
(2) 解：不公平.∵由樹狀圖可知共有 20 種等可能的結(jié)果，∴兩人所取球的顏色相同有 8 種結(jié)果，則
我們用抽簽的方法從 3 名同學中選 1 名去參加某音樂會，事先準備 3 張相同的小紙條，并在 1 張紙條畫上記號，其余 2 張紙條不畫. 把 3 張紙條折疊后放入一個盒子中攪勻，然后讓 3 名同學先后去摸紙條. 甲：先抽的人中簽可能性大，后抽的人吃虧. 乙：中簽可能性是相同的. 先抽的人沒有抽到呢?
你同意誰的看法？理由是什么？
解：先將三張紙條分別記為“中”“不中1”“不中2” 然后畫樹狀圖如下：
∴共有 6 種等可能的結(jié)果.
∴乙同學說法是正確的.
弄清試驗涉及試驗因素個數(shù)或試驗步驟分幾步；在摸球試驗一定要弄清“放回”還是“不放回”.
關(guān)鍵要弄清楚每一步有幾種結(jié)果；在樹狀圖下面對應(yīng)寫著所有可能的結(jié)果，并找出事件所包含的結(jié)果數(shù)；利用概率公式進行計算.
2. a、b、c、d 四本不同的書放入一個書包，至少放一本，最多放兩本，共有 種不同的放法.
1. 三女一男四人同行，從中任意選出兩人，其性別不同的概率為( )
3. 在一個不透明的袋子里，裝有三個分別寫有數(shù)字 7， 6，-2 的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同. 先從袋子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字后放回袋子 里，搖勻后再隨機取出一個小球，記下數(shù)字. 請你用 列表或畫樹狀圖的方法求下列事件的概率. (1) 兩次取出的小球上的數(shù)字相同； (2) 兩次取出的小球上的數(shù)字之和大于 10.

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25.1.2 概率

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