?第6講 導(dǎo)數(shù)的極值與最值題型總結(jié)
【考點(diǎn)分析】
考點(diǎn)一：函數(shù)的駐點(diǎn)
若，我們把叫做函數(shù)的駐點(diǎn)．
考點(diǎn)二：函數(shù)的極值點(diǎn)與極值
①極大值點(diǎn)與極大值：函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極大值，記作，其中叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)
②極小值點(diǎn)與極小值：函數(shù)在點(diǎn)附近有定義，如果對附近的所有點(diǎn)都有，則稱是函數(shù)的一個極小值，記作，其中叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)
考點(diǎn)三：求可導(dǎo)函數(shù)極值的步驟
①先確定函數(shù)的定義域；
②求導(dǎo)數(shù)；
③求方程的根；
④檢驗(yàn)在方程的根的左右兩側(cè)的符號，如果在根的左側(cè)附近為正，在右側(cè)附近為負(fù)，那么函數(shù)在這個根處取得極大值；如果在根的左側(cè)附近為負(fù)，在右側(cè)附近為正，那么函數(shù)在這個根處取得極小值.
注意：可導(dǎo)函數(shù)在滿足是在取得極值的必要不充分條件，如，，但不是極值點(diǎn).
考點(diǎn)四：函數(shù)的最值
一個連續(xù)函數(shù)在閉區(qū)間上一定有最值，最值要么在極值點(diǎn)處取得，要么在斷點(diǎn)處取得。
求函數(shù)最值的步驟為：
①求在內(nèi)的極值（極大值或極小值）；
②將的各極值與和比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．
【題型目錄】
題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的值
題型三：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的范圍
題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
題型六：根據(jù)最值求參數(shù)范圍
【典例例題】
題型一：求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)
【方法總結(jié)】
利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值的步驟如下：
（1）求函數(shù)的定義域；
（2）求導(dǎo)；
（3）解方程，當(dāng)；
（4）列表，分析函數(shù)的單調(diào)性，求極值：
①如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極小值；
②如果在附近的左側(cè)，右側(cè)，那么是極大值

【例1】(2022石泉縣石泉中學(xué))函數(shù)的極小值為( )
A．0 B． C． D．
【答案】A
【解析】由，得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)或時(shí)，，單調(diào)遞減；
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，
極小值為.
故選：A.
【例2】(2021·河南新鄉(xiāng)市)已知函數(shù)的圖象在處的切線方程為，則的極大值為( )
A． B． C． D．1
【答案】A
【解析】因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)楹瘮?shù)在圖象在處的切線方程為，
所以，，解得，.
由，，，，，知在處取得極大值，.故選：A.
【例3】若函數(shù)在上有小于的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由
因?yàn)樵谏嫌行∮诘臉O值點(diǎn)，所以有小于0的根，由的圖像如圖：

可知有小于0的根需要，所以選擇B
【例4】（2022·江西師大附中三模（理））已知函數(shù)為的導(dǎo)函數(shù)．
(1)判斷函數(shù)在區(qū)間上是否存在極值，若存在，請判斷是極大值還是極小值；若不存在，說明理由；
【答案】(1)存在；極小值
【分析】（1）轉(zhuǎn)化為判斷導(dǎo)函數(shù)是否存在變號零點(diǎn)，對求導(dǎo)后，判斷的單調(diào)性，結(jié)合零點(diǎn)存在性定理可得結(jié)果；
【解析】(1)由，可得，
則，
令，其中，可得，
所以在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以存在，使得?br /> 當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值．
【例5】（2022·江蘇蘇州·模擬預(yù)測）函數(shù)．
(1)求函數(shù)在上的極值；
【答案】(1)極大值，；極小值，；
【分析】（1）由題可得，進(jìn)而可得；
【解析】(1)∵，
∴，，
由，可得，或，
∴，單調(diào)遞增，，單調(diào)遞減，，單調(diào)遞增，
∴時(shí)，函數(shù)有極大值，時(shí)，函數(shù)有極小值；
【題型專練】
1.已知e為自然對數(shù)的底數(shù)，設(shè)函數(shù)，則
A．1是的極小值點(diǎn) B．﹣1是的極小值點(diǎn)
C．1是的極大值點(diǎn) D．﹣1是的極大值點(diǎn)
【答案】B
【解析】
【詳解】
試題分析：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得極小值，是函數(shù)的極小值點(diǎn)，故選B.
考點(diǎn)：導(dǎo)數(shù)與極值
2.（2022福建省福建師大附中高二期末多選）定義在的函數(shù)，已知是它的極大值點(diǎn)，則以下結(jié)論正確的是（ ）
A．是的一個極大值點(diǎn)
B．是的一個極小值點(diǎn)
C．是的一個極大值點(diǎn)
D．是的一個極小值點(diǎn)
【答案】AD
【解析】是的極大值點(diǎn)，就是存在正數(shù)，使得在上，，在上，．
設(shè)，，
當(dāng)時(shí)，，，，同理時(shí)，，∴是的一個極大值點(diǎn)，從而是的一個極小值點(diǎn)，是的一個極小值點(diǎn)．不能判定是不是的極值點(diǎn)．故選：AD.
3.（2022江西高三期中（文））已知函數(shù)，，其中.
（1）求函數(shù)的極值；
（2）若的圖像在，處的切線互相垂直，求的最小值.
【答案】（1）答案見解析；（2）1.
【解析】
（1）函數(shù)的定義或?yàn)椋?br /> ，
若，恒成立，此時(shí)在上單調(diào)遞增，無極值；
若時(shí)，，解得，
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.
當(dāng)時(shí)，有極小值，無極大值.
（2），則，其中，，
，且，，
，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號，
當(dāng)，時(shí)，取最小值1.
題型二：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的值
【方法總結(jié)】
解含參數(shù)的極值問題要注意：
①是為函數(shù)極值點(diǎn)的必要不充分條件，故而要注意檢驗(yàn)；
②若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有極值，那么在內(nèi)絕不是單調(diào)函數(shù)，即在某區(qū)間上的單調(diào)函數(shù)沒有極值．


【例1】(2022全國課時(shí)練習(xí))若函數(shù)的極小值點(diǎn)是，則的極大值為( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，函數(shù)，可得，
所以，解得，故，
可得，
則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
所以的極大值為．故選：C.
【例2】(2021·全國課時(shí)練習(xí))若函數(shù)在處取得極小值，則a=__________．
【答案】2
【解析】由可得，
因?yàn)楹瘮?shù)在處取得極小值，
所以，解得或，
若，則，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極小值，符合題意；
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增；所以函數(shù)在處取得極大值，不符合題意；
綜上：.
故答案為：2.
【例3】（2022·江蘇南通·模擬預(yù)測）已知函數(shù)在處取極小值，且的極大值為4，則（???????）
A．-1 B．2 C．-3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
對求導(dǎo)，由函數(shù)在處取極小值，所以，所以，，對求導(dǎo)，求單調(diào)區(qū)間及極大值，由的極大值為4，列方程得解.
【詳解】
解：，所以
因?yàn)楹瘮?shù)在處取極小值，所以，所以，，，
令，得或，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，所以在處有極大值為，解得，所以.
故選：B
【題型專練】
1．設(shè)函數(shù)，若是函數(shù)是極大值點(diǎn)，則函數(shù)的極小值為________
【答案】
【解析】函數(shù)
是函數(shù)是極大值點(diǎn)則
或
當(dāng)時(shí)的極小值為故答案為：
2．（2023全國高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，設(shè)是的極值點(diǎn)，則a=___，的單調(diào)增區(qū)間為___.
【答案】
【解析】
由題意可得：
是的極值點(diǎn)

即
令，可得
的單調(diào)遞增區(qū)間為
3．（2023河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二月考）函數(shù)在處有極值，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由得，選D.
點(diǎn)睛：函數(shù)在點(diǎn)處由極值，則必有但要注意不一定是的極值點(diǎn).
題型三：根據(jù)極值、極值點(diǎn)求參數(shù)的范圍
【例1】（2022·四川綿陽·二模（文））若是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求出，分，，，分別討論出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可得其極值情況，從而得出答案.
【詳解】
，
若時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；
則在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，與條件不符合,故滿足題意.
當(dāng)時(shí)，由可得或；由可得
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極大值，滿足條件.
當(dāng)時(shí)，由可得或；由可得
所以在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.
所以當(dāng)時(shí)，取得極小值，不滿足條件.
當(dāng)時(shí)，在上恒成立，即在上單調(diào)遞增.
此時(shí)無極值.
綜上所述：滿足條件
故選：A
【例2】（2022·河南·高三階段練習(xí)（文））若函數(shù)在上無極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求，由分析可得恒成立，利用即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
由可得
，
恒成立，為開口向上的拋物線，
若函數(shù)在上無極值，
則恒成立，所以，
解得：，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，
故選：D.
【例3】（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)在內(nèi)有極值，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由可導(dǎo)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有極值的充要條件即可作答.
【詳解】
由得，，
因函數(shù)在內(nèi)有極值，則時(shí)，有解，
即在時(shí)，函數(shù)與直線y=a有公共點(diǎn)，
而，即在上單調(diào)遞減，，則，顯然在零點(diǎn)左右兩側(cè)異號，
所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：C
【點(diǎn)睛】
結(jié)論點(diǎn)睛：可導(dǎo)函數(shù)y＝f(x)在點(diǎn)x0處取得極值的充要條件是f′(x0)＝0，且在x0左側(cè)與右側(cè)f′(x)的符號不同．
【例4】（2022·陜西·西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測（理））已知函數(shù)，若是的極小值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，對分類討論，判斷極值點(diǎn)，即可求解.
【詳解】
由得，令，
若，則 ，此時(shí)在單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，這與是的極小值點(diǎn)矛盾，故舍去.
若，可知是的極大值點(diǎn)，故不符合題意.
若，，此時(shí)在單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，可知是的極大值點(diǎn)，故不符合題意.
當(dāng) ，，，此時(shí)在單調(diào)遞增，在 單調(diào)遞減，可知是的極小值點(diǎn)，符合題意.
若，在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，無極值，不符合題意，舍去.
綜上可知：
故選：B
【例5】（2022·吉林長春·模擬預(yù)測（文））已知函數(shù)，．
(1)當(dāng)時(shí)，過做函數(shù)的切線，求切線方程；
(2)若函數(shù)存在極值，求極值的取值范圍．
【答案】(1)，(2)
【解析】
【分析】
（1）設(shè)切點(diǎn)，再根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解即可；
（2）求導(dǎo)分析導(dǎo)函數(shù)為0時(shí)的情況，設(shè)極值點(diǎn)為得到，代入極值再構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)分析單調(diào)性與取值范圍即可
(1)
由題，當(dāng)時(shí)，，，
設(shè)切點(diǎn)為，則，
故切線方程為，
又切線過，故，即，
設(shè)，，則，
故為增函數(shù).又，
故有唯一解，
故切點(diǎn)為，斜率為1，故切線方程為，即；
(2)
因?yàn)?，為減函數(shù)，故若函數(shù)存在極值，
則在區(qū)間上有唯一零點(diǎn)設(shè)為，
則，即，
故極值，
設(shè)，，則，
故為增函數(shù)，故，故，即，
故極值的取值范圍
【點(diǎn)睛】
本題主要考查了過點(diǎn)的切線問題，同時(shí)也考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值問題，需要根據(jù)題意設(shè)極值點(diǎn)，得到極值點(diǎn)滿足的關(guān)系，再代入極值構(gòu)造函數(shù)分析，屬于難題
【例6】（2022·天津·耀華中學(xué)二模）已知函數(shù).
(1)若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
(2)若存在兩個極小值點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
【答案】(1)遞減區(qū)間為，遞增區(qū)間為，(2)
【解析】
【分析】
（1）當(dāng)時(shí)，求得，令，利用導(dǎo)數(shù)求得，進(jìn)而求得函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；
（2）求得，令，結(jié)合單調(diào)性得到，進(jìn)而得到，分和，兩種情況分類討論，結(jié)合單調(diào)性與極值點(diǎn)的概念，即可求解.
(1)
解：當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
可得，
令，可得，所以函數(shù)單調(diào)遞增，
因?yàn)?，所以?br /> 當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
即函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.
(2)
解：由函數(shù)，
可得，
令，可得，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
當(dāng)時(shí)，可得，所以，
①當(dāng)時(shí)，，此時(shí)當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)的極小值為，無極大值；
②當(dāng)時(shí)，，
又由在上單調(diào)遞增，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，
因?yàn)楫?dāng)時(shí)，令，可得，
又因?yàn)?，所以，即，所以?br /> 所以，，
因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，所以在上有唯一的零點(diǎn)，且，
所以當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；
當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，
所以函數(shù)有兩個極小值點(diǎn)，故實(shí)數(shù)的取值范圍為.
【題型專練】
1．（2022貴州遵義·高三）若函數(shù)無極值點(diǎn)則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
,
，
由函數(shù)無極值點(diǎn)知，
至多1個實(shí)數(shù)根，
，
解得，
實(shí)數(shù)a的取值范圍是，
故選：B
2.（2022湖南湘潭·高三月考（理））已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
因?yàn)橛袃蓚€極值點(diǎn)，所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，
所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，顯然，
所以有兩個不同實(shí)數(shù)根，記，，
當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，
又因?yàn)闀r(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以當(dāng)有兩個不同實(shí)數(shù)根時(shí) ，
所以，所以，
故選：D.
3.若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，由導(dǎo)函數(shù)有兩個零點(diǎn)可得實(shí)數(shù)的取值范圍.
【詳解】
∵有兩個不同的極值點(diǎn)，
∴在有2個不同的零點(diǎn)，
∴在有2個不同的零點(diǎn)，
∴，解得．
故選：D.
4.（2020·遼寧高三月考）已知函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，，則a的取值范圍___________；且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍___________.
【答案】
【解析】
，
因?yàn)楹瘮?shù)有兩個不同的極值點(diǎn),
所以方程有兩個不相等的正實(shí)數(shù)根，
于是有：，解得.

,
設(shè),
，故在上單調(diào)遞增，
故，所以.
因此的取值范圍是
故答案為：；
5.（2022·江蘇南通·高二期末）若x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，則a的取值范圍是（???????）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
求導(dǎo)后，得導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，比較兩數(shù)的大小，分別判斷在兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，確定函數(shù)單調(diào)性，從而確定是否在處取到極大值，即可求得的范圍．
【詳解】
解：，

令，得：
當(dāng) ，即
此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，符合x＝a是函數(shù)的極大值點(diǎn)，
反之，當(dāng) ，即，此時(shí)在區(qū)間單調(diào)遞增，上單調(diào)遞減，上單調(diào)遞增，x＝a是函數(shù)的極小值點(diǎn)，不符合題意；
當(dāng) ，即，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn).
綜上得：.
故選：A.
6.（2020·江蘇鹽城·高三期中）若函數(shù)在上存在兩個極值點(diǎn)，則的取值范圍是_______.
【答案】
【解析】
因?yàn)椋?br /> 所以，
設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)在上存在兩個極值點(diǎn)，
所以在上存在兩個零點(diǎn)，
所以在上存在兩個零點(diǎn)，設(shè)為且，
所以根據(jù)韋達(dá)定理有：，
故

，
因?yàn)椋?br /> 所以，
，
由于，
所以.
故答案為：.
7.(2018年北京高考題)設(shè)函數(shù)。
（1）若曲線在點(diǎn)處的切線斜率為0，求；
（2）討論的單調(diào)性,若在處取得極小值，求的取值范圍。
【解析】:（1），，得；
（2）=，
①當(dāng)時(shí)，導(dǎo)數(shù)為一次函數(shù)型，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減。 是極大值 ；
②當(dāng)時(shí)，開口向上，兩根分別為，1；兩根大小不確定，
i.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，是極小值；
ii.當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，無極值 ；
iii.當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞
減，是極大值；
③當(dāng)時(shí)，開口向下，，當(dāng)，時(shí)，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，單
調(diào)遞增，是極大值；綜上可知。
題型四：利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的最值（不含參）
【方法總結(jié)】
導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極值與閉區(qū)間上的最值，設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，求在上的最大值和最小值的步驟如下：
①求函數(shù)在內(nèi)的極值；
②將函數(shù))的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值比較，其中最大的一個為最大值，最小的一個為最小值．


【例1】(2022江蘇單元測試)函數(shù)在[0，2]上的最大值是( )
A． B． C．0 D．
【答案】A
【解析】由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以在上遞增，在上遞減，
所以，故選：A
【例2】(2022全國課時(shí)練習(xí))函數(shù)y＝的最大值為( )
A．e－1 B．e C．e2 D．10
【答案】A
【解析】令 當(dāng)時(shí)， ；當(dāng) 時(shí) ，
所以函數(shù)得極大值為 ，因?yàn)樵诙x域內(nèi)只有一個極值，所以故選：A.
【例3】函數(shù)在上的最大值為（　?。?br /> A． B．π C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
利用導(dǎo)數(shù)研究的單調(diào)性，進(jìn)而求其最大值.
【詳解】
由題意，在上，即單調(diào)遞增，
∴.
故選：B
【例4】（2020·北京高三期中）已知函數(shù)
（1）求不等式的解集；
（2）求函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小值.
【答案】（1）或；（2）最小值，最大值.
【解析】
（1）因?yàn)椋?br /> 由，得.
所以或.
所以不等式的解集為或；
（2）由得：.
令，得，或（舍）.
與在區(qū)間[0，2]上的情況如下：
x
0
（0，1）
1
（1，2）
2


－
0
+


0
減

增

所以當(dāng)時(shí)，取得最小值；
當(dāng)時(shí)，取得最大值.
【例5】（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最小值為______．
【答案】1
【解析】
【分析】
先證明出成立，對原函數(shù)進(jìn)行同構(gòu)構(gòu)造后直接求解.
【詳解】
記.
因?yàn)?令，解得：；令，解得：；
所以在上單減，在上單增，所以.
所以，即.
所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號成立．
記.
因?yàn)樵谏蠁卧?，在上單增，所以在上單?
又，，
所以有且只有一個實(shí)根.
而存在唯一一個使得.
即存在唯一一個使得.
所以函數(shù)的最小值為1.
故答案為：1
【題型專練】
1.（2022·河南鄭州·三模（文））在區(qū)間上的最小值是（???????）
A． B．1 C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
求導(dǎo)函數(shù)，分析其導(dǎo)函數(shù)的符號，得出原函數(shù)的單調(diào)性，從而可求得最小值．
【詳解】
因?yàn)椋?，令，解得?br /> 所以當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上的最小值為，
故選：B．
2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）函數(shù)的最大值為（???????）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先對函數(shù)求導(dǎo)，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而可求出函數(shù)的最大值
【詳解】
解：由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
所以函數(shù)在上遞減，在上遞增，
因?yàn)椋?br /> 所以函數(shù)的最大值為，
故選：B
3.函數(shù)在（0，e]上的最大值為（???????）
A．－1 B．1 C．0 D．e
【答案】A
【解析】
【分析】
對函數(shù)求導(dǎo)，然后求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而可求出函數(shù)的最大值
【詳解】
由，得，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，
故選：A
4.已知函數(shù)，，則函數(shù)的最大值為（???????）
A．0 B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根據(jù)函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)性判斷函數(shù)在已知區(qū)間的單調(diào)性，結(jié)合余弦函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】
∵，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)， 單調(diào)遞減，
∴.
故選：C.
題型五：根據(jù)最值求參數(shù)
【例1】(2021·南昌市新建一中)已知函數(shù)在處取得極小值，則在的最大值為( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，則，
由題意可得，解得，則，
，令，可得或，列表如下：














極大值

極小值

所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，
又，，
，則，
所以，.
故選：B.
【例2】(2020·陜西省子洲中學(xué))若函數(shù)在[0，3]上的最大值為5，則m=( )
A．3 B．4 C．5 D．8
【答案】C
【解析】，
當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，
當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，
則函數(shù)在上的最大值為，則.
故選：C.
【例3】(2021·江蘇測試)已知函數(shù)在上的最大值為，則a的值為( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由，
得，
當(dāng)時(shí)，若，則單調(diào)遞減，
若，則單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，函數(shù)有最大值，
解得，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，最大值為，不符合題意.
當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上單調(diào)遞減.此時(shí)最大值為，
解得，符合題意.
故a的值為.
故選：A.
【例4】【2019年高考全國Ⅲ卷】已知函數(shù).
（1）討論的單調(diào)性；
（2）是否存在，使得在區(qū)間的最小值為且最大值為1？若存在，求出的所有值；若不存在，說明理由.
【答案】（1）見解析；（2）或.
【解析】（1）．令，得x=0或.
若a>0，則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；
若a=0，在單調(diào)遞增；
若a

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