高中數(shù)學人教A版 (2019)選擇性必修第二冊4.1 數(shù)列的概念優(yōu)秀課堂檢測-試卷下載-教習網(wǎng)

?4．1 數(shù)列的概念
【題型歸納目錄】
題型一：數(shù)列的有關(guān)概念和分類
題型二：由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式
題型三：數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用
題型四：遞推公式的應(yīng)用
題型五：前項和公式與通項的關(guān)系
題型六：數(shù)列單調(diào)性的判斷
題型七：求數(shù)列的最大項與最小項
題型八：周期數(shù)列
【知識點梳理】
知識點一、數(shù)列的概念
數(shù)列概念：
按照一定順序排列著的一列數(shù)稱為數(shù)列．
知識點詮釋：
（1）數(shù)列的數(shù)是按一定次序排列的，因此，如果組成兩個數(shù)列的數(shù)相同而排列次序不同，那么它們就是不同的數(shù)列；
（2）定義中并沒有規(guī)定數(shù)列中的數(shù)必須不同，因此，同一個數(shù)在數(shù)列中可以重復(fù)出現(xiàn)．
數(shù)列的項：
數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項．各項依次叫做這個數(shù)列的第1項，第2項，…；排在第位的數(shù)稱為這個數(shù)列的第項．其中數(shù)列的第1項也叫作首項．
知識點詮釋：數(shù)列的項與項數(shù)是兩個不同的概念．數(shù)列的項是指數(shù)列中的某一個確定的數(shù)，而項數(shù)是指這個數(shù)在數(shù)列中的位置序號．
類比集合中元素的三要素，數(shù)列中的項也有相應(yīng)的三個性質(zhì)：
（1）確定性：一個數(shù)是否數(shù)列中的項是確定的；
（2）可重復(fù)性：數(shù)列中的數(shù)可以重復(fù)；
（3）有序性：數(shù)列中的數(shù)的排列是有次序的．
數(shù)列的一般形式：
數(shù)列的一般形式可以寫成：，或簡記為．其中是數(shù)列的第項．
知識點詮釋：與的含義完全不同，表示一個數(shù)列，表示數(shù)列的第項．
知識點二、數(shù)列的分類
根據(jù)數(shù)列項數(shù)的多少分：
有窮數(shù)列：項數(shù)有限的數(shù)列．例如數(shù)列1，2，3，4，5，6是有窮數(shù)列
無窮數(shù)列：項數(shù)無限的數(shù)列．例如數(shù)列1，2，3，4，5，6，…是無窮數(shù)列
根據(jù)數(shù)列項的大小分：
遞增數(shù)列：從第2項起，每一項都大于它的前一項的數(shù)列．
遞減數(shù)列：從第2項起，每一項都小于它的前一項的數(shù)列．
常數(shù)數(shù)列：各項相等的數(shù)列．
擺動數(shù)列：從第2項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列．
知識點三、數(shù)列的通項公式與前n項和
數(shù)列的通項公式
如果數(shù)列的第項與之間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的通項公式．
知識點詮釋：
（1）并不是所有數(shù)列都能寫出其通項公式；
（2）一個數(shù)列的通項公式有時是不唯一的．
如數(shù)列：1，0，1，0，1，0，…
它的通項公式可以是，也可以是．
（3）數(shù)列通項公式的作用：
①求數(shù)列中任意一項；
②檢驗?zāi)硵?shù)是否是該數(shù)列中的一項．
（4）數(shù)列的通項公式具有雙重身份，它表示了數(shù)列的第項，又是這個數(shù)列中所有各項的一般表示．
數(shù)列的前n項和
數(shù)列的前項和：指數(shù)列的前項逐個相加之和，通常用表示，即；
與的關(guān)系
當時；
當時，
故．
知識點四、數(shù)列的表示方法
通項公式法（解析式法）：
數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系．給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項．
列表法
相對于列表法表示一個函數(shù)，數(shù)列有這樣的表示法：用表示第一項，用表示第二項，……，用表示第項，……，依次寫出得數(shù)列．
1
2
…

…

…

…
圖象法：
數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，可以用函數(shù)圖象的畫法畫數(shù)列的圖形．
具體方法：以項數(shù)為橫坐標，相應(yīng)的項為縱坐標，即以為坐標在平面直角坐標系中做出點．所得的數(shù)列的圖形是一群孤立的點，因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側(cè)，而點的個數(shù)取決于數(shù)列的項數(shù)．從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．
遞推公式法
遞推公式：如果已知數(shù)列的第1項（或前幾項），且任一項與它的前一項（或前幾項）間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式．
遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法．如：
數(shù)列：，1，5，9，13，…，
可用遞推公式：，表示．
數(shù)列：3，5，8，13，21，34，55，89，…，
可用遞推公式：，，表示．
知識點五、數(shù)列與函數(shù)
（1）數(shù)列是一個特殊的函數(shù)，其特殊性主要體現(xiàn)在定義域上．
數(shù)列可以看成以正整數(shù)集（或它的有限子集）為定義域的函數(shù)，當自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值．反過來，對于函數(shù)，如果（）有意義，那么我們可以得到一個數(shù)列，，，…，，…；
（2）數(shù)列的通項公式實際上就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．
數(shù)列的項是函數(shù)值，序號是自變量，數(shù)列的通項公式就是相應(yīng)函數(shù)的解析式．
數(shù)列通項公式反映了一個數(shù)列項與項數(shù)的函數(shù)關(guān)系．給了數(shù)列的通項公式，代入項數(shù)就可求出數(shù)列的每一項．反之，根據(jù)通項公式，可以判定一個數(shù)是否為數(shù)列中的項．
（3）數(shù)列的圖象是落在軸右側(cè)的一群孤立的點
數(shù)列的圖象是以項數(shù)為橫坐標，相應(yīng)的項為縱坐標的一系列孤立的點，這些點都落在函數(shù)的圖象上．因為橫坐標為正整數(shù)，所以這些點都在軸的右側(cè)，從圖象中可以直觀地看到數(shù)列的項隨項數(shù)由小到大變化而變化的趨勢．
（4）跟不是所有的函數(shù)都有解析式一樣，不是所有的數(shù)列都有通項公式．
【方法技巧與總結(jié)】
1、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法
（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；
?數(shù)列是遞減數(shù)列；
?數(shù)列是常數(shù)列．
（2）作商比較法：ⅰ．當時，則
?數(shù)列是遞增數(shù)列；
?數(shù)列是遞減數(shù)列；
?數(shù)列是常數(shù)列；
ⅱ．當時，則
?數(shù)列是遞減數(shù)列；
?數(shù)列是遞增數(shù)列；
?數(shù)列是常數(shù)列．
（3）結(jié)合相應(yīng)函數(shù)的圖象直觀判斷：
寫出數(shù)列對應(yīng)的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)或利用基本初等函數(shù)的單調(diào)性探求其單調(diào)性，再將函數(shù)的單調(diào)性對應(yīng)到數(shù)列中去．
2、求數(shù)列最大（小）項的方法
（1）構(gòu)造函數(shù)，確定出函數(shù)的單調(diào)性，進一步求出數(shù)列的最大項或最小項．
（2）利用，求數(shù)列中的最大項；
利用，求數(shù)列中的最小項．
當解不唯一時，比較各解大小即可確定．
【典型例題】
題型一：數(shù)列的有關(guān)概念和分類
例1．（2022·安徽·定遠縣育才學校高二階段練習）下列數(shù)列中，既是遞增數(shù)列又是無窮數(shù)列的是（????）
A．1，，，，… B．，，，
C．，，，，… D．1，，，…，

例2．（2022·浙江·磐安縣第二中學高一開學考試）函數(shù)的圖象在下列圖中并且對任意，由關(guān)系式得到的數(shù)列滿足，則該函數(shù)的圖象是（????）
A． B．
C． D．

例3．（2022·全國·高二課時練習）下列有關(guān)數(shù)列的說法正確的是（????）
A．同一數(shù)列的任意兩項均不可能相同
B．數(shù)列，，與數(shù)列，，是同一個數(shù)列
C．數(shù)列1，3，5，7可表示為
D．數(shù)列2，5，2，5，…，2，5，…是無窮數(shù)列

變式1．（2022·江蘇·高二專題練習）下列命題中錯誤的是（????）
A．是數(shù)列的一個通項公式
B．數(shù)列通項公式是一個函數(shù)關(guān)系式
C．任何一個數(shù)列中的項都可以用通項公式來表示
D．數(shù)列中有無窮多項的數(shù)列叫作無窮數(shù)列

變式2．（2022·全國·高二課時練習）現(xiàn)有下列說法：
①元素有三個以上的數(shù)集就是一個數(shù)列；
②數(shù)列1，1，1，1，…是無窮數(shù)列；
③每個數(shù)列都有通項公式；
④根據(jù)一個數(shù)列的前若干項，只能寫出唯一的通項公式；
⑤數(shù)列可以看著是一個定義在正整數(shù)集上的函數(shù)．
其中正確的有（????）．
A．0個 B．1個 C．2個 D．3個

變式3．（2022·全國·高二課時練習）若數(shù)列的通項公式為，則關(guān)于此數(shù)列的圖像敘述不正確的是（????）
A．此數(shù)列不能用圖像表示
B．此數(shù)列的圖像僅在第一象限
C．此數(shù)列的圖像為直線
D．此數(shù)列的圖像為直線上滿足的一系列孤立的點

【方法技巧與總結(jié)】
（1）判斷數(shù)列是何種數(shù)列一定嚴格按照定義進行判斷．
（2）判斷數(shù)列的單調(diào)性時一定要確保每一項均大于（或均小于）后一項，不能有例外．
題型二：由數(shù)列的前幾項寫出數(shù)列的一個通項公式
例4．（2022·河南安陽·高二期中）已知數(shù)列的前幾項為，，，，…，則的一個通項公式為______．

例5．（2022·陜西·延安市第一中學高二階段練習（文））根據(jù)圖中的5個圖形及相應(yīng)點的個數(shù)變化規(guī)律，試猜測第個圖中有__________個點．

例6．（2022·全國·高二單元測試）數(shù)列2，0，2，0，…的一個通項公式為______．

變式4．（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列0.1，0.01，0.001，0.0001，…的一個通項公式______．

變式5．（2022·全國·高二課時練習）（1）數(shù)列，，，，…的一個通項公式為=______；
（2）數(shù)列，，，，…的一個通項公式為=______；
（3）數(shù)列1，11，111，1111，…的一個通項公式為=______．

變式6．（2022·遼寧葫蘆島·高二階段練習）已知無窮數(shù)列滿足，，，寫出的一個通項公式：______.（不能寫成分段函數(shù)的形式）

變式7．（2022·全國·高二課時練習）題圖甲是第七屆國際數(shù)學教育大會的會徽．它的主題圖案是題圖乙所示的直角三角形演化而成的．設(shè)其中的第一個直角三角形是等腰三角形，且，它可以形成近似的等角螺線，記，，，…，的長度組成數(shù)列，則______．

變式8．（2022·遼寧·沈陽市第一二〇中學高二階段練習）數(shù)列，，，，…的一個通項公式是______．

【方法技巧與總結(jié)】
根據(jù)數(shù)列的前幾項求通項公式的解題思路
（1）先統(tǒng)一項的結(jié)構(gòu)，如都化成分數(shù)、根式等．
（2）分析結(jié)構(gòu)中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規(guī)律與對應(yīng)序號間的函數(shù)解析式．
（3）對于正負交替出現(xiàn)的情況，可先觀察其絕對值，再用或處理符號．
（4）對于周期數(shù)列，可考慮拆成幾個簡單數(shù)列之和的形式，或者利用周期函數(shù)，如三角函數(shù)等．
題型三：數(shù)列通項公式的簡單應(yīng)用
例7．（2022·寧夏·吳忠中學高二期中（文））在數(shù)列0，，，…，，…中，是它的第__項．

例8．（2022·全國·高二課時練習）數(shù)列，的前5項為______．

例9．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，（，），則______．

變式9．（2022·安徽滁州·高二階段練習）已知數(shù)列，，，…，，…，則是該數(shù)列的第______項．

變式10．（2022·江蘇·高二課時練習）在數(shù)列中，若，則的值為______．

【方法技巧與總結(jié)】
（1）利用數(shù)列的通項公式求某項的方法
數(shù)列的通項公式給出了第n項an與它的位置序號n之間的關(guān)系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數(shù)列的相應(yīng)項．
（2）判斷某數(shù)值是否為該數(shù)列的項的方法
先假定它是數(shù)列中的第n項，然后列出關(guān)于n的方程．若方程的解為正整數(shù)，則是數(shù)列的一項；若方程無解或解不是正整數(shù)，則不是該數(shù)列的一項．
題型四：遞推公式的應(yīng)用
例10．（2022·江蘇·高二課前預(yù)習）如圖，將正三角形的每一條邊三等分，并以每一條邊上居中的一條線段為邊向外作正三角形，便得到第1條“雪花曲線”（如圖（乙）的實線部分），對第1條“雪花曲線”的邊重復(fù)上述作法，便得到第2條“雪花曲線”（如圖（丙）），這樣一直繼續(xù)下去，得到一系列的“雪花曲線”. 設(shè)第n條“雪花曲線”有條邊.

（1）寫出的值.
（2）求出數(shù)列的遞推公式.

例11．（2022·浙江·杭州四中高二期中）已知數(shù)列滿足，，則________.

例12．（2022·福建省連城縣第一中學高二階段練習）已知數(shù)列滿足，，則_______.

變式11．（2022·全國·高二課時練習）如果且，則______．

【方法技巧與總結(jié)】
遞推公式也是給出數(shù)列的一種方法，根據(jù)數(shù)列的遞推公式，可以逐次寫出數(shù)列的所有項．
題型五：前項和公式與通項的關(guān)系
例13．（2022·甘肅定西·高二開學考試（理））記數(shù)列的前項和為，且，則（????）
A． B． C． D．

例14．（2022·北京平谷·高二期末）若是數(shù)列的前項和，，則的值為（????）
A．26 B．18 C．22 D．72

例15．（2022·福建·三明一中高二期中）已知為數(shù)列的前n項和，且，則數(shù)列的通項公式為（????）
A． B． C． D．

變式12．（2022·北京·北師大二附中高二期中）設(shè)數(shù)列的前項和，則的值為（????）
A．15 B．16 C．17 D．18

變式13．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足，則（???）
A． B． C． D．

變式14．（2022·江蘇·高二課時練習）如果數(shù)列的前n項和滿足：，那么的值為（????）
A．18 B．19 C．20 D．21

變式15．（2022·廣東汕頭·高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和，，則k的值為（????）
A．2 B． C．1 D．

【方法技巧與總結(jié)】
已知求出依據(jù)的是的定義：，分段求解，然后檢驗結(jié)果能否統(tǒng)一形式，能就寫成一個，否則只能寫成分段函數(shù)的形式．
題型六：數(shù)列單調(diào)性的判斷
例16．（2022·福建省詔安縣橋東中學高二期中）若數(shù)列是遞增數(shù)列，則的通項公式可能是（????）
A． B．
C． D．

例17．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）在數(shù)列中，，，則（　　）
A．數(shù)列單調(diào)遞減 B．數(shù)列單調(diào)遞增
C．數(shù)列先遞減后遞增 D．數(shù)列先遞增后遞減

例18．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式是，則（????）
A．不是單調(diào)數(shù)列 B．是遞減數(shù)列 C．是遞增數(shù)列 D．是常數(shù)列

變式16．（2022·湖南師大附中高二期中）數(shù)列的通項若是遞增數(shù)列，則實數(shù)t的取值范圍是（????）
A． B． C． D．

變式17．（2022·上海·高二期中）數(shù)列滿足，若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．

變式18．（2022·浙江·嘉興一中高二期中）已知數(shù)列滿足：（），且數(shù)列是遞增數(shù)列，則實數(shù)a的取值范圍是（　?。?br /> A． B． C． D．

變式19．（2022·北京西城·高二期末）數(shù)列{}的通項公式為．若{}為遞增數(shù)列，則的取值范圍是（????）
A．[1，＋∞） B． C．（－∞，1] D．

變式20．（2022·北京·高二期末）已知數(shù)列{}的通項為，則“”是“，”的（????）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件

【方法技巧與總結(jié)】
1、判斷數(shù)列的單調(diào)性的方法
（1）作差比較法：?數(shù)列是遞增數(shù)列；
?數(shù)列是遞減數(shù)列；
?數(shù)列是常數(shù)列．
（2）作商比較法：?。敃r，則
?數(shù)列是遞增數(shù)列；
?數(shù)列是遞減數(shù)列；
?數(shù)列是常數(shù)列；
ⅱ．當時，則
?數(shù)列是遞減數(shù)列；
?數(shù)列是遞增數(shù)列；
?數(shù)列是常數(shù)列．
題型七：求數(shù)列的最大項與最小項
例19．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，求數(shù)列中的最大項．

例20．（2022·全國·高二課時練習）已知，求數(shù)列的最小值.

例21．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，
(1)討論數(shù)列的單調(diào)性；
(2)求數(shù)列的最大項和最小項.

變式21．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，，，則該數(shù)列是否有最大項？若有，求出最大項的項數(shù)；若無，說明理由．

變式22．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列的通項公式為，
(1)依次寫出數(shù)列的前項；
(2)研究數(shù)列的單調(diào)性，并求數(shù)列的最大項和最小項．

變式23．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，.
(1)求證：數(shù)列先遞增后遞減；
(2)求數(shù)列中的最大項.

【方法技巧與總結(jié)】
可以利用不等式組，找到數(shù)列的最大項；利用不等式組，找到數(shù)列的最小項．
題型八：周期數(shù)列
例22．（2022·甘肅省會寧縣第四中學高二期中）已知數(shù)列中，，則_________．

例23．（2022·江蘇·海安縣實驗中學高二期中）已知數(shù)列中，，，則___________.

例24．（2022·海南省洋浦中學高二期中）已知數(shù)列滿足,,,則______.

變式24．（2022·北京石景山·高二期末）在數(shù)列中，，，，則_________．

變式25．（2022·全國·高二課時練習）在數(shù)列中，，，則的值為______．

變式26．（2022·全國·高二期末）設(shè)數(shù)列滿足，，若數(shù)列的前n項之積為，則的值為_________．

變式27．（2022·全國·高二單元測試）已知數(shù)列滿足，若對任意正整數(shù)，，則_______．

變式28．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列中，，，則______．

變式29．（2022·湖北·高二階段練習）數(shù)列滿足，，則數(shù)列的第2020項為__________.

變式30．（2022·湖北·沙市中學高二期末）已知數(shù)列滿足，則_____________．

【方法技巧與總結(jié)】
列舉法
【同步練習】
一、單選題
1．（2022·廣東·饒平縣第二中學高二開學考試）已知數(shù)列滿足，，則（????）
A． B． C． D．
2．（2022·北京師大附中高二期中）已知數(shù)列的首項為2，滿足，則（????）
A．2 B． C． D．
3．（2022·浙江·測試·編輯教研五高二期中）已知數(shù)列滿足，，則的值為（????）
A． B． C． D．
4．（2022·福建·莆田一中高二期中）意大利數(shù)學家斐波那契的《算經(jīng)》中記載了一個有趣的數(shù)列：，，，，，，，，，，，，，這就是著名的斐波那契數(shù)列．則該數(shù)列的前2022項中奇數(shù)的個數(shù)是（????）
A．1012 B．1346 C．1348 D．1350
5．（2022·福建·莆田一中高二期中）數(shù)列，則該數(shù)列的第n項為（????）
A． B． C． D．
6．（2022·陜西·禮泉縣第二中學高二階段練習）數(shù)列滿足，，則（????）
A． B． C．2 D．3
7．（2022·重慶市廣益中學校高二階段練習）已知數(shù)列滿足，，則（??? ?）
A． B． C． D．
8．（2022·陜西·禮泉縣第二中學高二期中）已知數(shù)列的前n項和為，，對任意的都有，則（????）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2022·江蘇省蘇州第十中學校高二階段練習）若數(shù)列對任意滿足，若，則可能是（????）
A．7 B．8 C．9 D．10
10．（2022·廣東·佛山市南海區(qū)九江中學高二階段練習）下列數(shù)中，是數(shù)列中的一項的是（????）
A．90 B．29 C．30 D．23
11．（2022·全國·高二課時練習）下列可作為數(shù)列1，0，1，0，1，0，…的通項公式的是（????）
A． B．
C． D．
12．（2022·河北·高二階段練習）已知數(shù)列的前n項和為，滿足，則（????）
A． B． C． D．
三、填空題
13．（2022·上?！じ叨谥校┰O(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn，若，則an＝_____．
14．（2022·河南·鶴壁高中高二階段練習）若數(shù)列滿足，則_____．
15．（2022·江蘇·常熟中學高二期中）已加數(shù)列滿足，若恒成立.則a的取值范圍是_________．
16．（2022·福建龍巖·高二期中）已知數(shù)列滿足，，則________．
四、解答題
17．（2022·山西省渾源中學高二階段練習）寫出下列數(shù)列的一個通項公式．
(1)，，，，…；
(2)，，，，…；

18．（2022·甘肅·白銀市第九中學高二階段練習）已知數(shù)列，，，求 .

19．（2022·全國·高二課時練習）已知數(shù)列滿足．
(1)寫出數(shù)列的前3項；
(2)求數(shù)列的通項公式．

20．（2022·甘肅·高臺縣第一中學高二期中）已知數(shù)列前n項和.
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)令，求數(shù)列的前n項和.

21．（2022·陜西·延安市第一中學高二階段練習（文））已知數(shù)列的前n項和．
(1)求數(shù)列的通項公式；
(2)設(shè)，數(shù)列的前n項和為，是否存在正整數(shù)k，使得對于恒成立？若存在，求出k的最小值；若不存在，請說明理由．

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