高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修 第一冊3.3 拋物線精品課時練習(xí)

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? 3.3.2 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
課程標(biāo)準(zhǔn)
核心素養(yǎng)
1.了解拋物線的幾何圖形及簡單幾何性質(zhì)．
2.通過拋物線方程的學(xué)習(xí)，進(jìn)一步體會數(shù)形結(jié)合的思想，了解拋物線的簡單應(yīng)用.
直觀想象
數(shù)學(xué)運(yùn)算





知識點(diǎn)1 拋物線的簡單幾何性質(zhì)
類型
y2＝2px(p>0)
y2＝－2px(p>0)
x2＝2py(p>0)
x2＝－2py(p>0)
圖象




性質(zhì)
焦點(diǎn)
F
F
F
F
準(zhǔn)線
x＝－
x＝
y＝－
y＝
范圍
x≥0，y∈R
x≤0，y∈R
x∈R，y≥0
x∈R，y≤0
對稱軸
x軸
y軸
頂點(diǎn)
O(0,0)
離心率
e＝1
開口方向
向右
向左
向上
向下
注：1.范圍
當(dāng)x>0時，拋物線y2＝2px(p＞0)在y軸的右側(cè)，開口向右，這條拋物線上的任意一點(diǎn)M 的坐標(biāo)(x，y)的橫坐標(biāo)滿足不等式x≥0；當(dāng)x 的值增大時，|y|的值也增大，這說明拋物線向右上方和右下方無限延伸．拋物線是無界曲線．
2．對稱性
觀察圖象，不難發(fā)現(xiàn)，拋物線 y2 ＝ 2px (p＞0)關(guān)于 x 軸對稱，我們把拋物線的對稱軸叫做拋物線的軸．拋物線只有一條對稱軸.

3．頂點(diǎn)
拋物線和它的軸的交點(diǎn)叫做拋物線的頂點(diǎn)．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是坐標(biāo)原點(diǎn) (0,0)．
4．離心率
拋物線上的點(diǎn)M到焦點(diǎn)的距離和它到準(zhǔn)線的距離的比，叫做拋物線的離心率．用e表示，e＝1.
5、只有焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上，頂點(diǎn)是原點(diǎn)的拋物線的方程才是標(biāo)準(zhǔn)方程．
6、影響拋物線開口大小的量是參數(shù)p，p值越大，拋物線的開口越大，反之，開口越?。?br /> 7、拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與對稱性、焦點(diǎn)位置的關(guān)系
y2＝ax
一次項(xiàng)為x項(xiàng)，x軸為對稱軸
a>0時，焦點(diǎn)在x軸正半軸上，開口向右
a0時，焦點(diǎn)在y軸正半軸上，開口向上
a0)，將直線方程與拋物線方程聯(lián)立整理成關(guān)于x的方程k2x2＋2(km－p)x＋m2＝0.
(1)若k≠0，當(dāng)Δ>0時，直線與拋物線相交，有兩個交點(diǎn)；
當(dāng)Δ＝0時，直線與拋物線相切，有一個交點(diǎn)；
當(dāng)Δ0，即k0)，過此拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝p，求AB所在的直線方程．
【解析】由題意知焦點(diǎn)F，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
若AB⊥x軸，則|AB|＝2p≠p，不滿足題意．
所以直線AB的斜率存在，設(shè)為k，
則直線AB的方程為y＝k，k≠0.
由
消去x，整理得ky2－2py－kp2＝0.
由根與系數(shù)的關(guān)系得y1＋y2＝，y1y2＝－p2.
所以|AB|＝
＝·＝2p＝p，
解得k＝±2.
所以AB所在的直線方程為2x－y－p＝0
或2x＋y－p＝0.



考點(diǎn)一 拋物線方程及其幾何性質(zhì)
解題方略：
1、用待定系數(shù)法求拋物線方程的步驟

注：求拋物線的方程時要注意拋物線的焦點(diǎn)位置，不同的焦點(diǎn)設(shè)出不同的方程．　
2、把握三個要點(diǎn)確定拋物線的簡單幾何性質(zhì)
(1)開口：由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程看圖象開口，關(guān)鍵是看準(zhǔn)一次項(xiàng)是x還是y，一次項(xiàng)的系數(shù)是正還是負(fù)．
(2)關(guān)系：頂點(diǎn)位于焦點(diǎn)與準(zhǔn)線中間，準(zhǔn)線垂直于對稱軸．
(3)定值：焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p；過焦點(diǎn)垂直于對稱軸的弦(又稱為通徑)長為2p；離心率恒等于1.
3、利用拋物線的性質(zhì)可以解決的問題
(1)對稱性：解決拋物線的內(nèi)接三角形問題．
(2)焦點(diǎn)、準(zhǔn)線：解決與拋物線的定義有關(guān)的問題．
(3)范圍：解決與拋物線有關(guān)的最值問題．
(4)焦點(diǎn)弦：解決焦點(diǎn)弦問題．

（一）求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程
【例1-1】以x軸為對稱軸，通徑長為8，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的拋物線方程是(　　)
A．y2＝8x　　　　　　　　 B．y2＝－8x
C．y2＝8x或y2＝－8x D．x2＝8y或x2＝－8y
【解析】依題意設(shè)拋物線方程為y2＝±2px(p>0)，則2p＝8，所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.故選C

變式1：邊長為1的等邊三角形AOB，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB⊥x軸，以O(shè)為頂點(diǎn)且過A，B的拋物線方程是(　　)
A．y2＝x　　　　　　　 B．y2＝－x
C．y2＝±x D．y2＝±x
【解析】設(shè)拋物線方程為y2＝ax(a≠0)．又A(取點(diǎn)A在x軸上方)，則有＝±a，
解得a＝±，所以拋物線方程為y2＝±x.故選C.

變式2：已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2，求拋物線的方程．
【解析】設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，拋物線與圓的交點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y20)或y2＝－2px(p>0)．
∵拋物線的焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離為3，
即＝3，∴p＝6，
∴拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x或y2＝－12x，
其準(zhǔn)線方程分別為x＝－3和x＝3.




（二）拋物線的幾何性質(zhì)的應(yīng)用
【例1-2】拋物線的準(zhǔn)線方程是，則實(shí)數(shù)___________.
【解析】拋物線化為標(biāo)準(zhǔn)方程：，
其準(zhǔn)線方程是，而
所以 ，即 ，
故答案為：

【例1-3】設(shè)P是拋物線y2＝4x上任意一點(diǎn)，設(shè)A(3,0)，則|PA|的最小值為________．
【解析】設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(x，y)，則y2＝4x，x≥0，
|PA|2＝(x－3)2＋y2＝x2－6x＋9＋4x＝x2－2x＋9＝(x－1)2＋8.
當(dāng)x＝1時，|PA|的最小值為2.

變式1：已知拋物線y2＝2x，直線l的方程為x－y＋3＝0，點(diǎn)P是拋物線上的一動點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線l的最短距離為________，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為________．
【解析】設(shè)點(diǎn)P(x0，y0)是y2＝2x上任意一點(diǎn)，則點(diǎn)P到直線x－y＋3＝0的距離d＝＝＝，當(dāng)y0＝1時，dmin＝＝，此時x0＝，所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

變式2：如圖，已知P為拋物線y2＝4x上的動點(diǎn)，過P分別作y軸與直線x－y＋4＝0的垂線，垂足分別為A，B，則|PA|＋|PB|的最小值為________．

【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1，
又根據(jù)拋物線的幾何性質(zhì)知，
拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于其到準(zhǔn)線的距離，
所以|PA|＋|PB|＝|PF|＋|PB|－1，|PF|＋|PB|的最小值就是點(diǎn)F到直線x－y＋4＝0的距離，
又點(diǎn)F到直線的距離d＝＝，
所以|PA|＋|PB|的最小值是－1.

【例1-4】已知正三角形AOB的一個頂點(diǎn)O位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個頂點(diǎn)A，B在拋物線y2＝2px(p＞0)上，求這個三角形的邊長．
【解析】如圖所示，

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，
則y＝2px1，y＝2px2.
又|OA|＝|OB|，
所以x＋y＝x＋y，
即x－x＋2px1－2px2＝0，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.
因?yàn)閤1＞0，x2＞0,2p＞0，
所以x1＝x2，由此可得|y1|＝|y2|，
即線段AB關(guān)于x軸對稱，
由此得∠AOx＝30°，
所以y1＝x1，與y＝2px1聯(lián)立，
解得y1＝2p.
所以|AB|＝2y1＝4p，
即這個三角形的邊長為4p.

變式1：已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此拋物線的焦點(diǎn)，求直線AB的方程．
【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)A(x0，y0)，

由題意可知點(diǎn)B(x0，－y0)，
∵F是△AOB的垂心，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
即·＝－1.
∴y＝x0，
又∵y＝2px0，
∴x0＝2p＋＝.
∴直線AB的方程為x＝.

變式2：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)A是拋物線上一點(diǎn)，且∠AFO＝120°(O為坐標(biāo)原點(diǎn))，AK⊥l，垂足為K，則△AKF的面積是________．
【解析】由拋物線方程可知F(1,0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1.如圖，設(shè)A(x0，y0)，過A作AH⊥x軸于H，

在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，
由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，故y0＝|AH|＝(x0－1)，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(x0，(x0－1))，將此代入拋物線方程可得3x－10x0＋3＝0，
解得x0＝3或x0＝(舍)，
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(3,2)，
故S△AKF＝×(3＋1)×2＝4.


考點(diǎn)二 焦點(diǎn)弦問題
解題方略：
1．已知AB是過拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)的弦，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，則：
(1)y1y2＝－p2，x1x2＝；
(2)|AB|＝x1＋x2＋p＝(θ為直線AB的傾斜角)；
(3)S△ABO＝(θ為直線AB的傾斜角)；
(4)＋＝；
(5)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．
2．當(dāng)直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且與拋物線的對稱軸垂直時，直線被拋物線截得的線段稱為拋物線的通徑，顯然通徑長等于2p.　　
【例2-1】過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)作直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，若x1＋x2＝6，則|AB|＝________.
【解析】|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.

【例2-2】【多選】設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M在拋物線C上，|MF|＝5，若y軸上存在點(diǎn)A(0,2)，使得·＝0，則p的值可以為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
【解析】由題意可得，以MF為直徑的圓過點(diǎn)(0,2)，
設(shè)點(diǎn)M(x，y)，由拋物線定義知|MF|＝x＋＝5，可得x＝5－.
因?yàn)閳A心是MF的中點(diǎn)，
所以根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得，
圓心橫坐標(biāo)為＝，
由已知可知圓半徑也為，
據(jù)此可知該圓與y軸相切于點(diǎn)A(0,2)，
故圓心縱坐標(biāo)為2，則M點(diǎn)縱坐標(biāo)為4，
即點(diǎn)M，
代入拋物線方程得p2－10p＋16＝0，
所以p＝2或p＝8.

【例2-3】過拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，且A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)之積為－4，求拋物線C的方程．
【解析】由于拋物線的焦點(diǎn)F，
故可設(shè)直線AB的方程為x＝my＋.
由得y2－2pmy－p2＝0，
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－p2，
∴－p2＝－4，由p>0，可得p＝2，
∴拋物線C的方程為y2＝4x.


考點(diǎn)三 直線與拋物線的位置關(guān)系
解題方略：
將直線方程與拋物線方程聯(lián)立，轉(zhuǎn)化為一元二次方程，可通過直線與拋物線的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化為對判別式Δ或者對向量數(shù)量積的限制條件，利用限制條件建立不等式或等式，利用根與系數(shù)的關(guān)系運(yùn)算求解．　
（一）直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用
【例3-1】過點(diǎn)(－3,2)的直線與拋物線y2＝4x只有一個公共點(diǎn)，求此直線方程．
【解析】顯然，直線斜率k存在，設(shè)其方程為y－2＝k(x＋3)，由消去x，整理得
ky2－4y＋8＋12k＝0.①
(1)當(dāng)k＝0時，方程①化為－4y＋8＝0，即y＝2，
此時過(－3,2)的直線方程為y＝2，滿足條件．
(2)當(dāng)k≠0時，方程①應(yīng)有兩個相等實(shí)根．
由即得k＝或k＝－1.
所以直線方程為y－2＝(x＋3)或y－2＝－(x＋3)，
即x－3y＋9＝0或x＋y＋1＝0.
故所求直線有三條，其方程分別為：y＝2，x－3y＋9＝0，x＋y＋1＝0.

【例3-2】【多選】已知直線與拋物線相切，則（?????）
A． B． C． D．
【解析】聯(lián)立可得，由題意可得，解得.
故選：BC.

變式1：過點(diǎn)作拋物線的切線，則切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為______．
【解析】設(shè)切線方程為，與拋物線方程聯(lián)立可得，由，解得或代入得．
故答案為：3


（二）弦長問題
【例3-3】過點(diǎn)(1,0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長為(　　)
A．2 B．2
C．2 D．2
【解析】設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)．
由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.
由得x2－4x＋1＝0，
∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.
∴|AB|＝
＝＝＝2.故選B

變式1：已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點(diǎn)且傾斜角為的直線被拋物線所截得的弦長為6，求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸正半軸上時，可設(shè)拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝2px(p>0)，則焦點(diǎn)F，直線l的方程為y＝x－.設(shè)直線l與拋物線的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)，過點(diǎn)A，B向拋物線的準(zhǔn)線作垂線，垂足分別為點(diǎn)A1，點(diǎn)B1，則|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，
∴x1＋x2＝6－p.　①
由消去y，得2＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝3x.
當(dāng)拋物線焦點(diǎn)在x軸負(fù)半軸上時，用同樣的方法可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝－3x.

（三）中點(diǎn)弦問題
【例3-4】已知拋物線，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則直線的斜率為（???????）
A．4 B．2 C．1 D．
【解析】設(shè)，，∵是AB的中點(diǎn)，∴，
由，相減得，
所以直線的斜率，
故選：B．

變式1：若、是拋物線上的不同兩點(diǎn)，弦（不平行于軸）的垂直平分線與軸相交于點(diǎn)，則弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為___________.
【解析】設(shè)點(diǎn)、的坐標(biāo)分別是、，則，，
兩式相減得，因，即有，
設(shè)直線的斜率是，弦的中點(diǎn)是，則，
從而的垂直平分線的方程為，
又點(diǎn)在直線上，所以，而，解得，
弦中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2.
故答案為：2

變式2：已知拋物線C：與直線l交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，則l的傾斜角為_____.
【解析】設(shè)，，則，，
兩式相減可得，
則，
故的斜率為1，則的傾斜角為.
故答案為：

變式3：過拋物線的焦點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，若的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，則等于（????）
A．4 B．6 C．8 D．10
【解析】拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)F(1,0),準(zhǔn)線方程,???????
設(shè)AB的中點(diǎn)為M,過A,B,M作準(zhǔn)線l的垂線，垂足分別為C,D,N,則MN為梯形ABDC的中位線，,
∵直線AB過拋物線的焦點(diǎn)F,∴可設(shè)直線AB的方程為：(m為常數(shù)),
代入拋物線的方程消去x并整理得：,
設(shè)A,B的縱坐標(biāo)分別為,線段AB中點(diǎn),
則,,
∴直線AB的方程為,,
，
故選：C.




考點(diǎn)四 拋物線的軌跡問題
解題方略：
求軌跡問題的兩種方法
(1)直接法：按照動點(diǎn)適合條件直接代入求方程．
(2)定義法： 若動點(diǎn)滿足某種曲線定義，可按待定系數(shù)法列方程(組)求解曲線方程．
【例4-1】設(shè)圓C與圓外切，與直線相切，則圓C的圓心的軌跡為（???????）
A．拋物線 B．雙曲線 C．橢圓 D．圓
【解析】設(shè)的坐標(biāo)為，圓的半徑為圓的圓心為，
圓與圓外切，與直線相切
，到直線的距離
，即動點(diǎn)到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離
由拋物線的定義知：的軌跡為拋物線.
故選：A

變式1：若動圓M與圓C：(x－2)2＋y2＝1外切，又與直線x＋1＝0相切，求動圓圓心的軌跡方程．
【解析】設(shè)動圓圓心為M(x，y)，半徑為R，由已知可得定圓圓心為C(2,0)，半徑r＝1.
因?yàn)閮蓤A外切，所以|MC|＝R＋1.
又動圓M與已知直線x＋1＝0相切，
所以圓心M到直線x＋1＝0的距離d＝R.
所以|MC|＝d＋1.
即動點(diǎn)M到定點(diǎn)C(2,0)的距離等于它到定直線x＋2＝0的距離．
由拋物線的定義可知，點(diǎn)M的軌跡是以C為焦點(diǎn)，x＝－2為準(zhǔn)線的拋物線，且＝2，p＝4，
故動圓圓心M的軌跡方程為y2＝8x.

變式2：設(shè)點(diǎn)P(x，y)(y≥0)為平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)的一個動點(diǎn)(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))，點(diǎn)P到定點(diǎn)M的距離比點(diǎn)P到x軸的距離大.
(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；
(2)若直線l：y＝kx＋1與點(diǎn)P的軌跡相交于A，B兩點(diǎn)，且|AB|＝2，求實(shí)數(shù)k的值．
【解析】(1)過點(diǎn)P作x軸的垂線且垂足為點(diǎn)N，則|PN|＝y(tǒng)，由題意知|PM|－|PN|＝，
∴＝y(tǒng)＋，化簡得x2＝2y.故點(diǎn)P的軌跡方程為x2＝2y.
(2)由題意設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立消去y化簡得x2－2kx－2＝0，
∴x1＋x2＝2k，x1x2＝－2.
∵|AB|＝·
＝·
＝2，
∴k4＋3k2－4＝0，又k2≥0，∴k2＝1，∴k＝±1.


考點(diǎn)五 拋物線的定值、定點(diǎn)問題
【例5-1】已知點(diǎn)在拋物線上.
(1)求拋物線的方程；
(2)過點(diǎn)的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，設(shè)直線，的斜率分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，求證：為定值.
【解析】（1）∵點(diǎn)在拋物線C上，∴，解得，∴拋物線C的方程為.
（2）證明：設(shè)直線，，，聯(lián)立，消去y可得，，由韋達(dá)定理有，，∴，即得證.

【例5-2】已知拋物線的焦點(diǎn)為，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，當(dāng)時，為坐標(biāo)原點(diǎn)）是等邊三角形.
(1)求拋物線的方程.
(2)延長交拋物線于點(diǎn)，試問直線是否恒過點(diǎn)？若是，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不是，請說明理由.
【解析】（1）由題意可得，則，解得.故拋物線的方程為.
（2）由（1）可知，設(shè).因?yàn)槿c(diǎn)共線，所以，即，即，整理得.因?yàn)?，所?由題意可知直線的斜率不為0，設(shè)直線的方程為.聯(lián)立整理得，則.因?yàn)殛P(guān)于軸對稱，所以，則，解得.故直線的方程為，即直線恒過點(diǎn).


題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1、拋物線 的焦點(diǎn)坐標(biāo)是（???????）
A． B．
C． D．
【解析】拋物線 的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程為： ，
故 ，則焦點(diǎn)坐標(biāo)為 ，
故選：D.

2、頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對稱軸為坐標(biāo)軸，且過點(diǎn)P(－4，－2)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)
A．y2＝－x　　　　　　　 B．x2＝－8y
C．y2＝－8x或x2＝－y D．y2＝－x或x2＝－8y
【解析】若焦點(diǎn)在x軸上，設(shè)拋物線方程為y2＝ax，將點(diǎn)P(－4，－2)的坐標(biāo)代入，得a＝－1，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－x.若焦點(diǎn)在y軸上，設(shè)方程為x2＝by，將點(diǎn)P(－4，－2)的坐標(biāo)代入，得b＝－8，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－8y.故所求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2＝－x或x2＝－8y.故選D

3、已知直線y＝kx－k及拋物線y2＝2px(p＞0)，則(　　)
A．直線與拋物線有一個公共點(diǎn)
B．直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)
C．直線與拋物線有一個或兩個公共點(diǎn)
D．直線與拋物線可能沒有公共點(diǎn)
【解析】∵直線y＝kx－k＝k(x－1)，∴直線過定點(diǎn)(1,0)．∴當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有一個公共點(diǎn)；當(dāng)k≠0時，直線與拋物線有兩個公共點(diǎn)．故選C

4、若拋物線y2＝x上一點(diǎn)P到準(zhǔn)線的距離等于它到頂點(diǎn)的距離，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為(　　)
A. B.
C. D.
【解析】設(shè)拋物線的焦點(diǎn)為F，原點(diǎn)為O，P(x0，y0)，由條件及拋物線的定義知，|PF|＝|PO|，又F，所以x0＝，所以y＝，所以y0＝±.故選B


5、設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A為拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為(　　)
A．(2，±2 ) B．(1，±2)
C．(1,2) D．(2,2)
【解析】設(shè)A(x，y)，則y2＝4x，①
又＝(x，y)，＝(1－x，－y)，
所以·＝x－x2－y2＝－4.②
由①②可解得x＝1，y＝±2，故A點(diǎn)坐標(biāo)為(1，±2)．故選B

6、動點(diǎn)P(x，y)到點(diǎn)F(3,0)的距離比它到直線x＋2＝0的距離大1，則動點(diǎn)的軌跡是(　　)
A．橢圓 B．雙曲線
C．雙曲線的一支 D．拋物線
【解析】依題意可知動點(diǎn)P(x，y)在直線x＋2＝0的右側(cè)，
設(shè)P到直線x＋2＝0的距離為d，則|PF|＝d＋1，
所以動點(diǎn)P到F(3,0)的距離與到x＋3＝0的距離相等，其軌跡為拋物線. 故選D


7、若拋物線y2＝2x上有兩點(diǎn)A，B且AB垂直于x軸，若|AB|＝2，則拋物線的焦點(diǎn)到直線AB的距離為(　　)
A. B. C. D.
【解析】由題意知，線段AB所在的直線方程為x＝1，
拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，
則焦點(diǎn)到直線AB的距離為1－＝.故選A

8、直線y＝kx＋2與拋物線y2＝8x有且只有一個公共點(diǎn)，則k＝________.
【解析】當(dāng)k＝0時，直線與拋物線有唯一交點(diǎn)，
當(dāng)k≠0時，聯(lián)立方程消去y，得k2x2＋4(k－2)x＋4＝0，
由題意Δ＝16(k－2)2－16k2＝0，
∴k＝1.
綜上，k＝0或1.

9、若拋物線上一點(diǎn)M到x軸的距離等于12，則點(diǎn)M到此拋物線的焦點(diǎn)的距離為______．
【解析】題意可知點(diǎn)M的縱坐標(biāo)，代入拋物
線方程求得，拋物線的準(zhǔn)線為，
根據(jù)拋物線的定義可知點(diǎn)M與焦點(diǎn)F間的距離
故答案為：13


10、已知拋物線y2＝2px(p>0)，直線x＝m與拋物線交于A(x1，y1)，B(x2，y2)兩點(diǎn)，則y1＋y2＝________.
【解析】因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)關(guān)于x軸對稱，x＝m與x軸垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.

題組B 能力提升練
11、若雙曲線－＝1(p>0)的左焦點(diǎn)在拋物線y2＝2px的準(zhǔn)線上，則p的值為(　　)
A．2 B．3
C．4 D．4
【解析】雙曲線的方程可化為－＝1，∴雙曲線的左焦點(diǎn)為.
又∵拋物線的準(zhǔn)線為x＝－，由題意得－＝－，解得p＝4.故選C

12、已知拋物線與圓交于A，B兩點(diǎn)，則（???????）
A．2 B． C．4 D．
【解析】由對稱性易得A，B橫坐標(biāo)相等且大于0，聯(lián)立得，解得，
則，將代入可得，則.
故選：C.

13、已知拋物線C：，直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，若弦的中點(diǎn)為，則直線l的斜率為（???????）
A． B．3 C． D．－3
【解析】設(shè)，，則，所以，整理得．
因?yàn)橄业闹悬c(diǎn)為，所以，即直線的斜率為．
故選：C

14、【多選】設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，A為C上一點(diǎn)，以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)．若∠ABD＝90°，且△ABF的面積為9，則(　　)
A．△ABF是等邊三角形
B．|BF|＝3
C．點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為3
D．拋物線C的方程為y2＝6x
【解析】∵以F為圓心，|FA|為半徑的圓交l于B，D兩點(diǎn)，∠ABD＝90°，由拋物線的定義可得|AB|＝|AF|＝|BF|，∴△ABF是等邊三角形，∴∠FBD＝30°.∵△ABF的面積為|BF|2＝9，∴|BF|＝6.又點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為|BF|sin 30°＝3＝p，則該拋物線的方程為y2＝6x.故選ACD　


15、已知拋物線的焦點(diǎn)F在x軸上，直線l過F且垂直于x軸，l與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若△OAB的面積等于4，求此拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．
【解析】由題意，可設(shè)拋物線方程為y2＝2ax(a≠0)，則
焦點(diǎn)F，直線l：x＝，
∴A，B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為，，
∴|AB|＝2|a|.
∵△OAB的面積為4，
∴··2|a|＝4，∴a＝±2.
∴拋物線方程為y2＝±4x.

16、已知y＝x＋m與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)．
(1)若|AB|＝10，求實(shí)數(shù)m的值；
(2)若OA⊥OB，求實(shí)數(shù)m的值．
【解析】由
得x2＋(2m－8)x＋m2＝0.
由Δ＝(2m－8)2－4m2＝64－32m>0，得m