?專題02 圓錐曲線經(jīng)典題型全歸納
【題型歸納目錄】
題型一：向量搭橋進(jìn)行翻譯
題型二：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯
題型三：斜率背景條件的翻譯
題型四：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問題
題型五：坐標(biāo)、斜率、角度、向量數(shù)量積等范圍與最值問題
題型六：定值問題
題型七：定點(diǎn)問題
題型八：三點(diǎn)共線問題
題型九：中點(diǎn)弦問題
題型十：四點(diǎn)共圓問題
題型十一：切線問題
【考點(diǎn)預(yù)測(cè)】
考點(diǎn)一、直線和曲線聯(lián)立
（1）橢圓與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
，
橢圓與過定點(diǎn)的直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)為，如此消去，保留，構(gòu)造的方程如下：，
注意：
①如果直線沒有過橢圓內(nèi)部一定點(diǎn)，是不能直接說明直線與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)的，一般都需要擺出，滿足此條件，才可以得到韋達(dá)定理的關(guān)系．
②焦點(diǎn)在軸上的橢圓與直線的關(guān)系，雙曲線與直線的關(guān)系和上述形式類似，不在贅述．
（2）拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時(shí)，
特殊地，當(dāng)直線過焦點(diǎn)的時(shí)候，即，，因?yàn)闉橥◤降臅r(shí)候也滿足該式，根據(jù)此時(shí)A、B坐標(biāo)來記憶．
拋物線與直線相交于兩點(diǎn)，設(shè)，
聯(lián)立可得，時(shí)，
注意：在直線與拋物線的問題中，設(shè)直線的時(shí)候選擇形式多思考分析，往往可以降低計(jì)算量．開口向上選擇正設(shè)；開口向右，選擇反設(shè)；注意不可完全生搬硬套，具體情況具體分析．
總結(jié)：韋達(dá)定理連接了題干條件與方程中的參數(shù)，所以我們?cè)谔幚砝缦蛄繂栴}，面積問題，三點(diǎn)共線問題，角度問題等?？純?nèi)容的時(shí)候，要把題目中的核心信息，轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)表達(dá)，轉(zhuǎn)化為可以使用韋達(dá)定理的形式，這也是目前考試最?？嫉姆绞剑?br /> 考點(diǎn)二、根的判別式和韋達(dá)定理
與聯(lián)立，兩邊同時(shí)乘上即可得到，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為．該式可以看成一個(gè)關(guān)于的一元二次方程，判別式為可簡(jiǎn)單記．
同理和聯(lián)立，為了方便敘述，將上式簡(jiǎn)記為，，可簡(jiǎn)記．
與C相離；與C相切；與C相交．
注意：（1）由韋達(dá)定理寫出，，注意隱含條件．
（2）求解時(shí)要注意題干所有的隱含條件，要符合所有的題意．
（3）如果是焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，只需要把，互換位置即可．
（4）直線和雙曲線聯(lián)立結(jié)果類似，焦點(diǎn)在x軸的雙曲線，只要把換成即可；
焦點(diǎn)在y軸的雙曲線，把換成即可，換成即可．
（5）注意二次曲線方程和二次曲線方程往往不能通過聯(lián)立消元，利用判斷根的關(guān)系，因?yàn)榇饲闆r下往往會(huì)有增根，根據(jù)題干的隱含條件可以舍去增根（一般為交點(diǎn)橫縱坐標(biāo)的范圍限制），所以在遇到兩條二次曲線交點(diǎn)問題的時(shí)候，使用畫圖的方式分析，或者解方程組，真正算出具體坐標(biāo)．
考點(diǎn)三、弦長(zhǎng)公式
設(shè)，根據(jù)兩點(diǎn)距離公式．
（1）若在直線上，代入化簡(jiǎn)，得；
（2）若所在直線方程為，代入化簡(jiǎn)，得
（3）構(gòu)造直角三角形求解弦長(zhǎng)，．其中為直線斜率，為直線傾斜角．
注意：（1）上述表達(dá)式中，當(dāng)為，時(shí)，；
（2）直線上任何兩點(diǎn)距離都可如上計(jì)算，不是非得直線和曲線聯(lián)立后才能用．
（3）直線和曲線聯(lián)立后化簡(jiǎn)得到的式子記為，判別式為，時(shí)，，利用求根公式推導(dǎo)也很方便，使用此方法在解題化簡(jiǎn)的時(shí)候可以大大提高效率．
（4）直線和圓相交的時(shí)候，過圓心做直線的垂線，利用直角三角形的關(guān)系求解弦長(zhǎng)會(huì)更加簡(jiǎn)單．
（5）直線如果過焦點(diǎn)可以考慮焦點(diǎn)弦公式以及焦長(zhǎng)公式．
考點(diǎn)四、已知弦的中點(diǎn)，研究的斜率和方程
（1）是橢圓的一條弦，中點(diǎn)，則的斜率為，
運(yùn)用點(diǎn)差法求的斜率；設(shè)，，，都在橢圓上，
所以，兩式相減得
所以
即，故
（2）運(yùn)用類似的方法可以推出；若是雙曲線的弦，中點(diǎn)，則；若曲線是拋物線，則．
考點(diǎn)五、求定值問題常見的方法有兩種：
（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個(gè)值與變量無關(guān)．
（2）直接推理、計(jì)算，并在計(jì)算推理的過程中消去變量，從而得到定值．
考點(diǎn)六、求解直線過定點(diǎn)問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設(shè)出定點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)題設(shè)條件選擇參數(shù)，建立一個(gè)直線系或曲線的方程，再根據(jù)參數(shù)的任意性得到一個(gè)關(guān)于定點(diǎn)坐標(biāo)的方程組，以這個(gè)方程組的解為坐標(biāo)的點(diǎn)即為所求點(diǎn)；
（3）求證直線過定點(diǎn)，常利用直線的點(diǎn)斜式方程或截距式來證明．
考點(diǎn)七、證明共線的方法
（1）斜率法：若過任意兩點(diǎn)的直線的斜率都存在，通過計(jì)算證明過任意兩點(diǎn)的直線的斜率相等證明三點(diǎn)共線；（2）距離法：計(jì)算出任意兩點(diǎn)間的距離，若某兩點(diǎn)間的距離等于另外兩個(gè)距離之和，則這三點(diǎn)共線；（3）向量法：利用向量共線定理證明三點(diǎn)共線；（4）直線方程法：求出過其中兩點(diǎn)的直線方程，在證明第3點(diǎn)也在該直線上；（5）點(diǎn)到直線的距離法：求出過其中某兩點(diǎn)的直線方程，計(jì)算出第三點(diǎn)到該直線的距離，若距離為0，則三點(diǎn)共線．（6）面積法：通過計(jì)算求出以這三點(diǎn)為三角形的面積，若面積為0，則三點(diǎn)共線，在處理三點(diǎn)共線問題，離不開解析幾何的重要思想：“設(shè)而不求思想”．
考點(diǎn)八、證明四點(diǎn)共圓的方法：
方法一：從被證共圓的四點(diǎn)中先選出三點(diǎn)作一圓，然后證另一點(diǎn)也在這個(gè)圓上，若能證明這一點(diǎn)，則可肯定這四點(diǎn)共圓．
方法二：把被證共圓的四個(gè)點(diǎn)連成共底邊的兩個(gè)三角形，且兩三角形都在這底邊的同側(cè)，若能證明其頂角相等，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一同弧所對(duì)的圓周角相等證）．
方法三：把被證共圓的四點(diǎn)連成四邊形，若能證明其對(duì)角互補(bǔ)或能證明其中一個(gè)外角等于其內(nèi)對(duì)角時(shí)，則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的性質(zhì)一一圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角和為，并且任何一個(gè)外角都等于它的內(nèi)對(duì)角）．
方法四：證明被證共圓的四點(diǎn)到某一定點(diǎn)的距離都相等，或證明被證四點(diǎn)連成的四邊形其中三邊中垂線有交點(diǎn)），則可肯定這四點(diǎn)共圓（根據(jù)圓的定義：平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡為圓）．
考點(diǎn)九、切線問題
（1）若點(diǎn)是圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．
（2）若點(diǎn)是圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)向圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
（3）若點(diǎn)是橢圓上的點(diǎn)，則過點(diǎn)的切線方程為．
（4）若點(diǎn)是橢圓外的點(diǎn)，由點(diǎn)P向橢圓引兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則弦AB所在直線方程為．
【典例例題】
題型一：向量搭橋進(jìn)行翻譯
例1．（2022·福建省永春第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知雙曲線C的中心在原點(diǎn)，是它的一個(gè)頂點(diǎn).是它的一條漸近線的一個(gè)方向向量.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)設(shè)，M為雙曲線右支上動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)|PM|取得最小時(shí)，求四邊形ODMP的面積；
(3)若過點(diǎn)任意作一條直線與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)（A，B都不同于點(diǎn)D），求證:為定值.
【解析】(1)因雙曲線C的中心在原點(diǎn)，一個(gè)頂點(diǎn)是，則設(shè)雙曲線C的方程為：，
于是得雙曲線C的漸近線方程為，而雙曲線C的一條漸近線的一個(gè)方向向量是，
則有，
所以雙曲線C的方程為.
(2)依題意，設(shè)點(diǎn)，則，即，
，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，
點(diǎn)M到直線DP：的距離為，而，如圖，

四邊形ODMP的面積，
所以四邊形ODMP的面積為.
(3)顯然直線AB不垂直于y軸，設(shè)直線AB方程：，由消去x得：，
當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，
則有，，
因此，，
所以為定值0.
例2．（2022·天津益中學(xué)校高二階段練習(xí)）已知圓：.
（1）直線過點(diǎn)，且與圓交于兩點(diǎn)，若，求直線的方程；
（2）過圓上一動(dòng)點(diǎn)作平行于軸的直線，設(shè)與軸的交點(diǎn)為，若向量，求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線.
【解析】（1）①當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，則此時(shí)直線方程為，與圓的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為和，其距離為，滿足題意.
②若直線不垂直于軸，設(shè)其方程為，即.
設(shè)圓心到此直線的距離為，則，得，∴，，
故所求直線方程為.
綜上所述，所求直線方程為或.
（2）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，點(diǎn)坐標(biāo)為，則點(diǎn)坐標(biāo)是.
∵，∴，即，.
又∵，∴.
由已知，直線軸，∴，
∴點(diǎn)的軌跡方程是 .
軌跡是焦點(diǎn)坐標(biāo)為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為8的橢圓，并去掉兩點(diǎn).
例3．（2022·上海市吳淞中學(xué)高二期末）已知離心率為的橢圓的中心在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，為左右焦點(diǎn)，為橢圓上的點(diǎn)，且．直線過橢圓外一點(diǎn)，與橢圓交于兩點(diǎn)，滿足．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若，求三角形面積的取值范圍；
(3)對(duì)于任意點(diǎn)，是否總存在唯一的直線，使得成立，若存在，求出直線的斜率；否則說明理由．
【解析】（1）由題可設(shè)橢圓方程為，則，
由橢圓定理可得，
則，
所以橢圓的方程為：.
（2）由題可知直線的斜率存在且不為0，則設(shè)直線方程為，
聯(lián)立，
可得，，
∴，
∴，
令，則，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
所以三角形面積的取值范圍為.
（3）設(shè)直線方程為（斜率必存在），
則，，
∵，∴，
∴，
化簡(jiǎn)得①，
聯(lián)立得，
∴，
∴，
代入①得，，
∴②，
∴，
代入②得：，故，
而點(diǎn)在軸上方，所以對(duì)于任意一個(gè)，存在唯一的使得，
故直線有且只有一條使得．
變式1．（2022·福建三明·高二期中）已知，是橢圓：的焦點(diǎn)，，是左、右頂點(diǎn)，橢圓上的點(diǎn)滿足，且直線，的斜率之積等于
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，若，，其中，證明
【解析】（1）因?yàn)椋荷系狞c(diǎn)滿足，
所以表示焦點(diǎn)在軸上的橢圓，且，即，
所以，，
設(shè)，則，①
所以直線的斜率，直線的斜率
由已知得，即，②
由①②得
所以橢圓的方程為：

（2）當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，與重合，與重合，，
成立.
當(dāng)直線的斜率不為0時(shí)，設(shè)的方程為
聯(lián)立方程組，消整理得，
所以，解得或
設(shè)，，則，
由，得，所以
設(shè)，由，得
所，
所以，
所以點(diǎn)在直線上，且
所以是等腰三角形，且，
所以，
綜上，
題型二：弦長(zhǎng)、面積背景的條件翻譯
例4．（2022·江蘇·北大附屬宿遷實(shí)驗(yàn)學(xué)校高二期中）雙曲線的焦點(diǎn)的坐標(biāo)分別為和，離心率為，求：
(1)雙曲線的方程及其漸近線方程；
(2)已知直線與該雙曲線交于交于兩點(diǎn)，且中點(diǎn)，求直線AB的弦長(zhǎng)．
【解析】（1）由題意可得，可得＝4，且焦點(diǎn)在軸上，
所以，
所以雙曲線的方程為：；漸近線的方程為：；
（2）由于中點(diǎn)不在軸上，根據(jù)雙曲線的對(duì)稱性可得直線的斜率必存在，
設(shè)直線：，，
聯(lián)立，
消去得
則，，解得，
則


例5．（2022·黑龍江·哈師大附中高二期中）已知雙曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，焦點(diǎn)F到漸近線的距離為．
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若斜率為1的直線l與雙曲線C相交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)l過雙曲線C的右焦點(diǎn)時(shí)，求弦長(zhǎng)|AB|的值．
【解析】（1）若焦點(diǎn)F（c，0），其到漸近線的距離，
又因?yàn)殡p曲線C：經(jīng)過點(diǎn)，
所以，解得a＝2，所以雙曲線C的方程為；
（2）由（1）知雙曲線的右焦點(diǎn)為，所以直線l方程為：
設(shè)點(diǎn)，，
聯(lián)立，
得，
所以，，
從而.
所以弦長(zhǎng)|AB|的值為24．
例6．（2022·遼寧·育明高中高二期中）①過且垂直于長(zhǎng)軸的直線與橢圓C相交所得的弦長(zhǎng)為3；②P為橢圓C上一點(diǎn)，面積最大值為.在上述兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問題中，并加以解答.
設(shè)橢圓左右焦點(diǎn)分別為，，上下頂點(diǎn)分別為，，短軸長(zhǎng)為，______.
(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)的直線l與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，若，試求內(nèi)切圓的面積.
【解析】（1）依題意，
若選①：由，，
所以，所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
若選②：對(duì)于，
當(dāng)最大，也即是橢圓的上下頂點(diǎn)時(shí)，
三角形的面積取得最大值為，
所以，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由（1）得，
由于，所以直線的斜率為，
所以直線的方程為，
由消去并化簡(jiǎn)得，，
設(shè)，則，
所以，
到直線即的距離為，
所以三角形的面積為，
設(shè)三角形的內(nèi)切圓半徑為，
則，
所以內(nèi)切圓的面積為.
變式2．（2022·江蘇·海安高級(jí)中學(xué)高二開學(xué)考試）已知雙曲線的左、右頂點(diǎn)分別是且經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線的右焦點(diǎn)到漸近線的距離是，不與坐標(biāo)軸平行的直線與雙曲線交于兩點(diǎn)（異于），關(guān)于原點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線與直線相交于點(diǎn)，直線與直線相交于點(diǎn)，證明：在雙曲線上存在定點(diǎn)，使得的面積為定值，并求出該定值.
【解析】（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，一條漸近線為，則
由題意可知，，解得，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）由題意可知，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，,則
，消去，得，，
因?yàn)?，所以?br /> 所以，
所以

所以，
由題意可知，，
由三點(diǎn)共線可得
即，
由三點(diǎn)共線可得
即，
相交可得
，
所以直線的方程為，
聯(lián)立，解得，
所以點(diǎn)在定直線上，
則使得的面積為定值的點(diǎn)一定為過點(diǎn)且與直線平行的直線與雙曲線的交點(diǎn)，此時(shí)，且.
變式3．（2022·四川·眉山中學(xué)高二期中（理））已知拋物線，直線與拋物線交于兩點(diǎn)
(1)若軸與以為直徑的圓相切，求該圓的方程；
(2)若 ，求的面積.
【解析】（1）由題意得，，消去x，得，
，解得，
，
設(shè)，圓心，
則，，
由題意知圓的半徑為，
又，
所以，即，解得，
所以，即圓心，
所以圓的方程為；
（2）由，
，消去，得，
得，又，
所以，解得，
所以直線，即，
又點(diǎn)到直線l的距離為，
，
所以.
題型三：斜率背景條件的翻譯
例7．（2022·江蘇·濱?？h東元高級(jí)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓C：的離心率，經(jīng)過點(diǎn).
(1)求橢圓C的方程；
(2)已知直線與橢圓C相交于P、Q兩點(diǎn)，直線AP、AQ的斜率之和為0，求直線的斜率.
【解析】（1）由得：，
將代入橢圓方程得：，結(jié)合，
求出，，故橢圓C方程為；
（2）當(dāng)直線的斜率為0或斜率不存在時(shí)，由對(duì)稱性可知：此時(shí)直線AP、AQ的斜率之和不為0，舍去；
故直線的斜率存在且不為0，設(shè)為，
與聯(lián)立得：，
設(shè)，
故，
故

，
即，
解得：，
即，，
當(dāng)時(shí)，，即直線經(jīng)過點(diǎn)，
此時(shí)兩點(diǎn)中有一點(diǎn)與重合，不合要求，舍去，
故，解得：，
故直線的斜率為.
例8．（2022·河南·鄭州外國(guó)語學(xué)校高二期中）已知橢圓C：的下頂點(diǎn)為點(diǎn)D，右焦點(diǎn)為.延長(zhǎng)交橢圓C于點(diǎn)E，且滿足.
(1)試求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)A，B分別是橢圓長(zhǎng)軸的左右兩個(gè)端點(diǎn)，M，N是橢圓上與A，B均不重合的相異兩點(diǎn)，設(shè)直線AM，AN的斜率分別是，.若直線MN過點(diǎn)，則是否為定值，若是求出定值，若不是請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）橢圓的下頂點(diǎn)為，右焦點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)?，所以，又，?br /> 所以，解得，
代入可得，即，得，
又，則，
所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意設(shè)直線，，，

聯(lián)立，消去，得，
則，，
所以

．
例9．（2022·江蘇泰州·高二期中）已知雙曲線C過點(diǎn),.
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)已知,過點(diǎn)的直線l與雙曲線C交于不同兩點(diǎn)M、N,設(shè)直線AM、AN的斜率分別為、,求證:為定值.
【解析】（1）設(shè)雙曲線C的方程為,
將,代入上式得:,
解得,
雙曲線C的方程為.
（2）設(shè),,
由題意易得直線l的斜率存在,
設(shè)直線l的方程為,代入整理得,
,
,,且,
則

,
故為定值.
變式4．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)高二期中）已知雙曲線（，）的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為，直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為.
(1)求雙曲線的方程；
(2)經(jīng)過點(diǎn)且與軸不重合的直線與雙曲線交于兩個(gè)不同點(diǎn)，，點(diǎn)，直線，與雙曲線分別交于另一點(diǎn)，，若直線與直線的斜率都存在，并分別設(shè)為，.是否存在實(shí)常數(shù)，使得？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由題意知，直線的斜率為，設(shè)，，
由題意，兩式相減得：，
整理得：，即，
又，所以，，即雙曲線，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意.
（2）因?yàn)榈男甭蚀嬖谇?，直線的方程為，設(shè)，，
又，設(shè)直線，??
聯(lián)立，整理得，
由韋達(dá)定理得，
又∵，∴，
于是，
故，同理可得，??
∴
∴，
∴為定值，所以的值.
變式5．（2022·江西·贛州市第三中學(xué)高二期中）已知拋物線，點(diǎn)在拋物線上且到焦點(diǎn)的距離為2.
(1)求拋物線的方程，并求其準(zhǔn)線方程；
(2)已知，直線與拋物線交于兩點(diǎn)，記直線，的斜率分別為，，求的值.
【解析】（1）由題意得，解得.
從而得到拋物線的方程為，
準(zhǔn)線方程為；
（2）設(shè)，，
由
得，
∴，，
，
∴??




所以的值為.
變式6．（2022·黑龍江·哈師大附中高二期中）已知平面內(nèi)的兩點(diǎn)，，，過點(diǎn)A的直線與過點(diǎn)B的直線相交于點(diǎn)C，若直線與直線的斜率乘積為，設(shè)點(diǎn)C的軌跡為E．
(1)求E的方程；
(2)設(shè)P是E與x軸正半軸的交點(diǎn)，過P點(diǎn)作兩條直線分別與E交于點(diǎn)M，N，若直線PM，PN斜率之積為－2，求證：直線MN恒過一個(gè)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)，由直線與直線的斜率乘積為，
可得，化為，
即為．
（2）設(shè)直線，則，，
即，設(shè)，，
而，，，
則由，得，
，
則，
即，
整理得，解得或（舍去），
所以直線，知直線MN恒過點(diǎn)．
題型四：弦長(zhǎng)、面積范圍與最值問題
例10．（2022·重慶一中高二階段練習(xí)）如圖，已知橢圓內(nèi)切于矩形，對(duì)角線的斜率之積為，左焦點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）由圓內(nèi)切于矩形ABCD，對(duì)角線AC，BD的斜率之積為，左焦點(diǎn)，
可得，解得，故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）i.的斜率為0時(shí)，直線為，得，，
；
ii.的斜率不為0時(shí)，設(shè)，
由，
恒成立，
設(shè)，則，
，
點(diǎn)到直線的距離，
∴，
令，則，
令，，.
綜上，的取值范圍為.
例11．（2022·廣西·浦北中學(xué)高二期中）已知橢圓的離心率為，且過點(diǎn)．
(1)求的方程；
(2)若是上兩點(diǎn)，直線與圓相切，求的取值范圍．
【解析】（1）由題意得，
，解得，
所以的方程為.
（2）圓的圓心為，半徑圓.
①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，方程為或，
于是有或
解得，
所以.?????????????????
②當(dāng)直線的斜率為時(shí)，方程為或，
于是有或
解得，
所以.????????????????????
③當(dāng)直線的斜率不為時(shí)，設(shè)斜率為，方程為，
因?yàn)橹本€與圓相切，所以，得
建立方程組，消并化簡(jiǎn)得，
.
設(shè),,則,，
所以=



而，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.
所以 ，
所以.
綜上所述，的取值范圍是.
例12．（2022·安徽省舒城曉天中學(xué)高二期中）設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為，離心率為，為圓：的圓心.
(1)求橢圓的方程；
(2)已知過橢圓左焦點(diǎn)的直線（斜率存在且不為0）交橢圓于，兩點(diǎn)，過且與垂直的直線與圓交于，兩點(diǎn)，求四邊形面積的取值范圍.
【解析】（1）將圓：轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)方程，
則，其圓心為，
所以橢圓的右焦點(diǎn)為，
所以
由題意知，
則，
所以，
又，得.
所以橢圓的方程為：.
（2）由已知可設(shè)的方程為，并設(shè)，.
聯(lián)立，消去得，
，且，，
.
過且與垂直的直線：，則圓心到的距離為,
所以，
故四邊形面積：.
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，所以，
故四邊形面積的取值范圍為.
變式7．（2022·四川省平昌中學(xué)高二階段練習(xí)（理））已知圓和定點(diǎn)，P是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線交于點(diǎn)M，設(shè)動(dòng)點(diǎn)M的軌跡為曲線E，且曲線E與直線相切.
(1)求曲線E的方程；
(2)若過點(diǎn)且斜率為k的直線l與曲線E交于A，B兩點(diǎn).
（ⅰ）求k的取值范圍；
（ⅱ）求面積的最大值.
【解析】（1）由題意圓，故圓心，半徑；
∵點(diǎn)且線段的垂直平分線交于點(diǎn)M；
∴；
∴；
∴動(dòng)點(diǎn)M的軌跡曲線E是以，為焦點(diǎn)，為長(zhǎng)軸的橢圓；
∴曲線；
∵曲線E與直線相切，故，；
∴曲線；
（2）依題直線；
則由；
（ⅰ）∵；
∴或；
（ⅱ）設(shè)
∵
∴；
；
；
原點(diǎn)O到直線l的距離；
∴；
；
；
；
當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得最大值；
∴面積的最大值為.
變式8．（2022·湖北·華中科技大學(xué)附屬中學(xué)高二期中）已知是橢圓的左?右頂點(diǎn)，且短軸長(zhǎng)為是橢圓上位于軸上方的動(dòng)點(diǎn)，且直線的斜率與直線的斜率之積為.
(1)求橢圓的方程；
(2)若直線與直線分別交于兩點(diǎn)，記和的面積分別為和.求的取值范圍.
【解析】（1）依題意，，
設(shè)，則
，
所以，
所以橢圓的方程為.
（2），
直線的方程為，令，得，故.
直線的方程為，令，得，故.
依題意可知，
所以，
所以，
由于，
根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可知.
題型五：坐標(biāo)、斜率、角度、向量數(shù)量積等范圍與最值問題
例13．（2022·四川·樹德中學(xué)高二階段練習(xí)）已知橢圓．
(1)若直線與交于、兩點(diǎn)，且線段中點(diǎn)的坐標(biāo)為，求的方程．
(2)點(diǎn)是上一點(diǎn)，求的取值范圍．
【解析】（1）設(shè)、，則有，，
兩式相減得，
整理得，所以，
因此直線的方程為，即．
（2）令，則問題可化為直線與橢圓有公共點(diǎn)，
聯(lián)立得，即，
由得，解得．
即的取值范圍是．
例14．（2022·遼寧·鞍山一中高二期中）已知橢圓與軸正半軸交于點(diǎn)，直線與橢圓交于、兩點(diǎn)，直線與直線的斜率分別記為，，
(1)求的值
(2)若直線與橢圓相交于、兩點(diǎn)，直線、的斜率分別記作、，若，且在以為直徑的圓內(nèi)，求直線的斜率的取值范圍．
【解析】（1）由，得，解得或，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以；
（2）若直線的斜率不存在，則垂直于軸，則點(diǎn)不在以為直徑的圓內(nèi)，不合題意，
若直線的斜率存在，設(shè)直線為，設(shè)，
由，得，
由，得，
則，
因?yàn)椋?br /> 所以，
所以，
所以，
所以，
，
由題意可知，所以解得，
所以，即，解得或，
因?yàn)樵谝詾橹睆降膱A內(nèi)，
所以，
所以，
化簡(jiǎn)得，解得，
綜上，.
例15．（2022·遼寧·鞍山一中高二期中）雙曲線的一條漸近線方程為且焦距為，點(diǎn)，過的直線與雙曲線交于，兩點(diǎn)
(1)求雙曲線的方程
(2)若，兩點(diǎn)均在軸左側(cè)，求直線的斜率的取值范圍．
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線的一條漸近線方程為且焦距為，
所以，解得，
所以雙曲線方程為：；
（2）由題意可知直線的斜率存在，
設(shè)直線的方程為，
由，可得，
，
所以，即，
設(shè)，
因?yàn)?，兩點(diǎn)均在軸左側(cè)，
所以，
所以，可得，
解得，
又因?yàn)椋?br /> 所以，
所以.
變式9．（2022·江蘇南通·高二期中）在平面直角坐標(biāo)系中，已知雙曲線與橢圓，A，B分別為的左?右頂點(diǎn)，點(diǎn)在雙曲線上，且位于第一象限.
(1)直線與橢圓相交于第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)直線，，，的斜率分別為，，，，求的值；
(2)直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)A），求的取值范圍.
【解析】（1）方法1：設(shè)直線，
聯(lián)立，消，得，
所以，解得，
設(shè)，則，
所以.
聯(lián)立，消，得，
設(shè)，則，
所以.
因?yàn)椋?br /> 所以，
，
所以.
方法2設(shè)，，
因?yàn)?，?br /> 所以，
.
因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，所以，
所以，所以.
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓線上，所以，
所以，所以.
因?yàn)?，，三點(diǎn)共線，所以，
所以.
（2）設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立，消，得
，
解得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因?yàn)辄c(diǎn)位于第一象限，所以，
解得，聯(lián)立，消，得
，
解得，，
所以點(diǎn)的坐標(biāo)為，
所以，
設(shè)，則，
所以.
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，
所以當(dāng)時(shí)，，所以，
所以，即，
故的取值范圍為.
變式10．（2022·重慶市育才中學(xué)高二期中）已知橢圓C:，其右焦點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為F1，A在橢圓上且滿足.
(1)求的大??；
(2)若是該橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求的取值范圍.
【解析】（1）依題意，不妨設(shè)，則，
又因?yàn)闄E圓C:，所以，故，，則，
所以由橢圓的定義可得，即，
當(dāng)點(diǎn)在橢圓左右頂點(diǎn)位置時(shí)，，不滿足題意，所以點(diǎn)是橢圓上異于左右頂點(diǎn)的點(diǎn)，
故在中，，
因?yàn)椋?

（2）依題意，設(shè)，則由橢圓的幾何性質(zhì)易知，
又由（1）得，，
所以
因?yàn)槭窃摍E圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則，即，
故，
因?yàn)殚_口向上，對(duì)稱軸為，，
所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
故當(dāng)時(shí)，取得最小值，
又當(dāng)時(shí)，，所以的最大值為，
所以，即的取值范圍為.
變式11．（2022·四川·德陽五中高二階段練習(xí)（理））已知橢圓的右焦點(diǎn)F與拋物線的焦點(diǎn)相同，橢圓C的離心率為．
(1)求橢圓C方程；
(2)若直線交橢圓C于P、Q兩點(diǎn)，l交y軸于點(diǎn)R．
①求三角形POQ面積的最大值（其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
②若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．
【解析】（1）由，可得，故，設(shè)橢圓．
又拋物線的焦點(diǎn)，即，
∴橢圓．
（2）（?。┰O(shè)，
聯(lián)立

由，且，

原點(diǎn)O到直線l距離，
，
令，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，，時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)面積最大為．
（ⅱ），，，
，，
又，

．
變式12．（2022·江蘇·南京外國(guó)語學(xué)校高二階段練習(xí)）設(shè)A，B為雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)，直線l過右焦點(diǎn)F且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，當(dāng)直線l垂直于x軸時(shí)，為等腰直角三角形．
(1)求雙曲線C的離心率；
(2)已知，若直線AM，AN分別交直線于P，Q兩點(diǎn)，若為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，若為銳角，求t的取值范圍．
【解析】（1）由雙曲線C：可得：右焦點(diǎn)，
將代入中，，
當(dāng)直線垂直于軸時(shí)，為等腰直角三角形，
此時(shí)，
即，整理得：，
因?yàn)椋裕?br /> 方程兩邊同除以得：，解得：或（舍去），
所以雙曲線的離心率為2；
（2）因?yàn)椋裕?br /> 因?yàn)?，解得，故?br /> 所以雙曲線的方程為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，
設(shè)直線的方程為：，
與雙曲線聯(lián)立得：，
設(shè)，則，，
則，
因?yàn)橹本€過右焦點(diǎn)且與雙曲線的右支交于兩點(diǎn)，
所以，解得：，
直線，則，同理可求得：，
所以，，
因?yàn)闉殇J角，所以，
即，所以
所以即，解得或；
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，將代入雙曲線可得，此時(shí)不妨設(shè)，
此時(shí)直線，點(diǎn)P坐標(biāo)為，同理可得：，
所以，，
因?yàn)闉殇J角，所以，解得或；
綜上所述，t的取值范圍或
題型六：定值問題
例16．（2022·安徽省阜南實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知過拋物線的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于，兩點(diǎn)，求證：
(1)為定值；
(2)為定值．
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為．
由消去，得．
由根與系數(shù)的關(guān)系，得 (定值)．
當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，即軸時(shí)，，，也成立，
綜上，為定值；
（2）根據(jù)拋物線定義知， ，，
當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，由（1）可知，
所以

(定值)．
當(dāng)軸時(shí)， 由（1）可知，所以，上式仍成立．
綜上，為定值.
例17．（2022·廣東廣州·高二階段練習(xí)）已知拋物線的焦點(diǎn)為F，過F的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，B在x軸的上方，且點(diǎn)B到F的距離為5，且B的縱坐標(biāo)為．

(1)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程與點(diǎn)B的坐標(biāo)；
(2)設(shè)點(diǎn)M為拋物線C上異于A，B的點(diǎn)，直線MA與MB分別交拋物線C的準(zhǔn)線于E，G兩點(diǎn)，x軸與準(zhǔn)線的交點(diǎn)為H，求證：為定值，并求出定值．
【解析】（1）由題意得：，因?yàn)辄c(diǎn)B到F的距離為5，且B在x 軸的上方，且B的縱坐標(biāo)為所以，故，即，因?yàn)榈茫?br /> 故拋物線C的方程為：，此時(shí).
（2）由（1）得：，線方程，
直線l的方程：，
由，解得或，于是得．
設(shè)點(diǎn)，又題意且，
所以直線MA：，即，令，得，即.
同理直線MB：，即，
令，得，
即，
故．
例18．（2022·吉林省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知橢圓C：的左、右頂點(diǎn)分別為A、B，上頂點(diǎn)M與左右頂點(diǎn)連線MA，MB的斜率乘積為，焦距為4．
(1)求橢圓C的方程；
(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓上異于A，B的點(diǎn)，直線AP與y軸的交點(diǎn)為Q，過坐標(biāo)原點(diǎn)O作交橢圓于N點(diǎn)，試探究是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）已知，．又，
所以．又，解得，可得橢圓C的方程：
（2）設(shè)直線AP的方程為：，根據(jù)平行則直線ON的方程：
聯(lián)立直線AP與橢圓C的方程得：，

由，得，
聯(lián)立直線ON與橢圓C的方程得：，得
所以
，
即為定值，定值是2.
變式13．（2022·山東省實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）已知橢圓： 的左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，若的最大值是5，且．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線交軸于點(diǎn)，且，，試分析是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；否則，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）因?yàn)榈闹荛L(zhǎng)為，即，
且的最小值為為橢圓通徑時(shí)，即，
所以，
由正弦定理可得：，
所以，
又，解得，，，
故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；
（2）由題意可得，直線的斜率存在，設(shè)直線的方程為，
由，消去可得，，
設(shè)，，則，設(shè)，
又，所以，，故，
同理，，，則
故
，
所以是定值．
題型七：定點(diǎn)問題
例19．（2022·廣東江門·高二期末）已知橢圓和雙曲線的焦距相同，且橢圓經(jīng)過點(diǎn)，橢圓的上?下頂點(diǎn)分別為，點(diǎn)在橢圓上且異于點(diǎn)，直線與直線分別交于點(diǎn).

(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，以為直徑的圓是否經(jīng)過軸上的定點(diǎn)？請(qǐng)證明你的結(jié)論.
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線為，所以，
又因?yàn)闄E圓和雙曲線的焦距相同，所以，
將代入橢圓方程，可得，
解得或（舍去），
故所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）是，證明如下：
由（1）得橢圓：，所以，
令，則由題設(shè)可知，
所以直線的斜率的斜率為，
又點(diǎn)在橢圓上，所以，
從而有，
又易得的方程為，直線的方程為，
由，解得，由，解得，
所以，直線與直線的交點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)，
設(shè)點(diǎn)是以為直徑的圓上的任意一點(diǎn)，則，
故有，又，
所以以為直徑的圓的方程為，
令，則，解得或，
所以以為直徑的圓恒過定點(diǎn)或.
例20．（2022·福建·高二階段練習(xí)）已知圓，點(diǎn)是圓外的一個(gè)定點(diǎn)，是圓上任意一點(diǎn)，線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)．
(1)求點(diǎn)的軌跡的方程
(2)過點(diǎn)的直線交曲線于兩點(diǎn)，問在軸是否存在定點(diǎn)使？若存在，求出定點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，說明理由．
【解析】（1）線段的垂直平分線與直線相交于點(diǎn)．
，
∴點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線，
，，又，則，
∴軌跡的方程是；
（2）當(dāng)直線斜率不為0時(shí)，令，則
由得
∵直線與雙曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，

假設(shè)存在點(diǎn)使，則，
，
即，
即，
軸上存在點(diǎn)，使得，
當(dāng)直線斜率為0時(shí)，點(diǎn)使得，
綜上，軸上存在點(diǎn)，使得．
例21．（2022·河南·高二階段練習(xí)）已知橢圓上有點(diǎn)，左、右焦點(diǎn)分別為．
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若點(diǎn)Q為橢圓的上頂點(diǎn)，橢圓上有異于Q的兩點(diǎn) 滿足，求證：直線恒過定點(diǎn)．
【解析】（1）根據(jù)橢圓定義得，，即 ，
，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．
（2）證明：設(shè)，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程：，
則由題意得，將，代入整理得：
（*），
將代入橢圓方程整理得，
需滿足 ，則，
代入（*）式得：，
整理得，
當(dāng)時(shí)，過B點(diǎn)，不合題意；
故，直線的方程為，
故此時(shí)過定點(diǎn)；
當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，設(shè)方程為，代入可得 ，
不妨設(shè)，
由可得 ，解得，
此時(shí)方程為，也過定點(diǎn)，
綜合上述，過定點(diǎn).
變式14．（2022·廣東·江門市第一中學(xué)高二階段練習(xí)）已知，，點(diǎn)滿足，記點(diǎn)的軌跡為曲線.斜率為的直線過點(diǎn)，且與曲線相交于，兩點(diǎn).
(1)求曲線的方程；
(2)求斜率的取值范圍；
(3)在軸上是否存在定點(diǎn)，使得無論直線繞點(diǎn)怎樣轉(zhuǎn)動(dòng)，總有軸平分？如果存在，求出定點(diǎn)；如果不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）由可知，的軌跡為以，，實(shí)軸長(zhǎng)為4的雙曲線的右支，虛軸長(zhǎng)為，
所以曲線的方程為：；
（2）設(shè)直線的方程為：，聯(lián)立方程，整理得，因?yàn)橹本€與曲線有兩個(gè)交點(diǎn)，設(shè)，，
所以，解得或，
故斜率的取值范圍為；
（3）由軸平分可知，
由（2）可得，
又，，則，，
假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，則，
，即，
展開可得
因?yàn)樾甭实娜≈捣秶鸀椋?br /> 所以，即，
整理可得：，即，得，
所以軸上存在定點(diǎn)，且
題型八：三點(diǎn)共線問題
例22．（2022·重慶南開中學(xué)高二階段練習(xí)）已知定點(diǎn)，，動(dòng)點(diǎn)，直線、的斜率之積為.
(1)求點(diǎn)的軌跡C的方程：
(2)直線l：與點(diǎn)的軌跡C相交于M、N兩點(diǎn)，M關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，設(shè)，若、E、N三點(diǎn)共線，求的值.
【解析】（1）由題得.
所以點(diǎn)的軌跡C的方程.
（2）聯(lián)立直線和C的方程化簡(jiǎn)得，
所以.
因?yàn)椤、N三點(diǎn)共線，
所以，
所以，
所以，
所以對(duì)于任意的都成立，
所以.
例23．（2022·上?！?fù)旦附中高二期中）已知橢圓,的離心率相同.點(diǎn)在橢圓上，、在橢圓上.

(1)若求點(diǎn)的軌跡方程；
(2)設(shè)的右頂點(diǎn)和上頂點(diǎn)分別為、，直線、分別是橢圓的切線，、為切點(diǎn)，直線、的斜率分別是、，求的值；
(3)設(shè)直線、分別與橢圓相交于、兩點(diǎn)，且若是中點(diǎn)，求證：、、三點(diǎn)共線（為坐標(biāo)原點(diǎn)）.
【解析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，可得，
因?yàn)辄c(diǎn)在橢圓上，則，即，即.
因此，點(diǎn)的軌跡方程為.
（2）易知點(diǎn)、，直線的方程為，
直線的方程為，
因?yàn)闄E圓與橢圓的離心率相等，且橢圓的離心率為，
橢圓的離心率為，可得，
所以，橢圓的方程為，即，
聯(lián)立可得，
，可得，
聯(lián)立可得，
，可得，
因?yàn)?，則.
（3）證明：，則，則，
不妨設(shè)、，且，，
所以，，所以，，
代入橢圓的方程可得，
即，
因?yàn)?，?br /> 所以，，①
同理可得，②
①②可得，所以，，
因?yàn)?，這兩個(gè)等式作差可得，
所以，，故、、三點(diǎn)共線.
例24．（2022·浙江省常山縣第一中學(xué)高二期中）如圖，過點(diǎn)的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是直線BO上的點(diǎn)，且軸．

(1)當(dāng)最小時(shí)，求直線l的方程；
(2)若直線PC，PD分別與拋物線相切，切點(diǎn)是C，D，求證：C，M，D三點(diǎn)共線．
【解析】（1）設(shè)，，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得最小，此時(shí)．
直線l的方程是：或
（2）設(shè)，，，，
∵A，M，B三點(diǎn)共線，得：，化簡(jiǎn)得：ab＝－4，
又P，O，B三點(diǎn)共線，，化簡(jiǎn)得：t＝ab＝－4，∴，
直線PC切拋物線于點(diǎn)，設(shè)直線PC的方程為
聯(lián)立方程組，整理得：
，
因?yàn)橹本€與拋物線相切，則，
即，整理得：，所以，因?yàn)樵趻佄锞€上，所以
，所以，代入直線方程，得
又因?yàn)?，，代入?br /> ∴PC方程為：，
同理：PD方程為：，PC，PD相交于點(diǎn)，
∴，，
即：，兩點(diǎn)均在直線ay＝x－4上，
直線CD方程為：ay＝x－4，經(jīng)過點(diǎn)，因此：C，M，D三點(diǎn)共線．
變式15．（2022·黑龍江·齊齊哈爾三立高級(jí)中學(xué)有限公司高二期中）已知雙曲線C：與雙曲線W：的漸近線相同，且經(jīng)過點(diǎn)．
(1)求C的方程；
(2)已知C的上、下頂點(diǎn)分別為A，B，直線與C交于不同的兩點(diǎn)M，N，直線與直線BM交于點(diǎn)G．證明：A，G，N三點(diǎn)共線．
【解析】（1）因?yàn)殡p曲線C：與雙曲線W：的漸近線相同，
所以，即，
又雙曲線C經(jīng)過點(diǎn)，
則，即，
所以，
所以C的方程為；
（2）證明：，
設(shè)，
聯(lián)立，消得，
則，所以，
則，
因?yàn)橹本€過定點(diǎn)且斜率存在，
所以直線不與軸重合，
，則直線的方程為，
令，則，故，
則，，

，
所以，
又點(diǎn)A為公共點(diǎn)，
所以A，G，N三點(diǎn)共線．
題型九：中點(diǎn)弦問題
例25．（2022·江蘇泰州·高二期中）已知橢圓的焦距為，左右焦點(diǎn)分別為、，圓與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓E上，直線與橢圓E交于A、B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為M，直線OM的斜率為．
(1)求橢圓E的方程；
(2)若，試問E上是否存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，若存在，求出直線PQ的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）因?yàn)閳A與圓相交，且交點(diǎn)在橢圓上，所以，，
設(shè)，，的中點(diǎn)，
，①－② ，
，
，
則橢圓E的方程：；
（2）假設(shè)存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，設(shè)直線PQ的方程為，
，，PQ中點(diǎn)，
，
，
，，即，
由N在l上，，此時(shí)，
故存在P、Q兩點(diǎn)關(guān)于l對(duì)稱，直線PQ的方程為．
例26．（2022·四川省平昌中學(xué)高二階段練習(xí)（文））設(shè)橢圓過點(diǎn).
(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若過點(diǎn)且斜率為的直線l與C交于M，N兩點(diǎn)，求線段中點(diǎn)P的坐標(biāo).
【解析】（1）因橢圓過點(diǎn)，
則有，解得，
所以橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.
（2）依題意，直線l的方程為：，由消去y并整理得：，
顯然，設(shè)，則，
因此線段中點(diǎn)P的橫坐標(biāo)，其縱坐標(biāo)，
所以線段中點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
例27．（2022·廣西·高二階段練習(xí)）已知直線，圓：，雙曲線：．
(1)直線與圓有公共點(diǎn)，求的取值范圍；
(2)若直線與交于，兩點(diǎn)，且點(diǎn)為的中點(diǎn)，若存在，求出方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）由已知得，圓：，∴圓心，半徑，
∵與圓有交點(diǎn)，
則圓心到的距離，
整理可得，，
解得，．
（2）設(shè)存在直線，由題意可知，直線斜率不存在時(shí)不成立.
設(shè)、，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，．
又，在雙曲線上，所以，
兩式相減得，
整理可得，，
又，∴，∴，
∴方程為，經(jīng)檢驗(yàn)，該直線與雙曲線交于兩點(diǎn).
但不在上，
∴不存在這樣的直線．
變式16．（2022·吉林·遼源市第五中學(xué)校高二期中）已知頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸上的拋物線過點(diǎn)．
(1)求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過點(diǎn)作直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，使得Q恰好平分線段AB，求直線AB的方程．
【解析】（1）因?yàn)轫旤c(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在y軸上的拋物線過點(diǎn)，
所以拋物線的焦點(diǎn)在y軸正半軸，設(shè)其方程為，
將點(diǎn)代入可得，所以，
所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，
（2）拋物線中，時(shí)，，在拋物線內(nèi)部，可以為弦的中點(diǎn)．
設(shè)點(diǎn)，直線斜率為
點(diǎn)在拋物線上，所以
所以，即，
所以直線方程為．
經(jīng)檢驗(yàn)，直線符合題意.
題型十：四點(diǎn)共圓問題
例28．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）已知拋物線上的點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為．
(1)求和的值；
(2)若直線交拋物線于、兩點(diǎn)，線段的垂直平分線交拋物線于、兩點(diǎn)，求證：、、、四點(diǎn)共圓．
【解析】（1）拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為，
點(diǎn)到其焦點(diǎn)的距離為，則，可得，故拋物線的方程為．
將點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線方程可得，解得.
（2）由中垂線的性質(zhì)可得，，，，所以，，
設(shè)、，聯(lián)立消去并整理，得，
則，，且，即，
則．
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則點(diǎn)的縱坐標(biāo)為，
所以，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則．
直線為線段的垂直平分線，所以，直線的方程為．
設(shè)、，聯(lián)立，
消去并整理得，，可得，
則，，
故．
設(shè)線段的中點(diǎn)為，則．
，
，，
故，所以，，，
故，故，
所以，點(diǎn)、都在以為直徑的圓上，故、、、四點(diǎn)共圓．
例29．（2022·福建廈門·高二期末）已知橢圓的右頂點(diǎn)為點(diǎn)A，直線l交C于M，N兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．當(dāng)四邊形AMON為菱形時(shí)，其面積為．
(1)求C的方程；
(2)若；是否存在直線l，使得A，M，O，N四點(diǎn)共圓？若存在，求出直線l的方程，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【解析】（1）因?yàn)樗倪呅蜛MON為菱形，所以MN垂直平分OA，
所以點(diǎn)M（x軸上方）的橫坐標(biāo)為，代入橢圓方程，
得M的縱坐標(biāo)為，所以，菱形AMON的面積為，所以，
所以C的方程為．
（2）設(shè)直線，，
聯(lián)立方程，得，
，
，，
因?yàn)镺，M，N，A四點(diǎn)共圓，則∠MON＝∠MAN＝90°，
所以，即，
得，即
由（i）得，即，
由（ii）得，
即，
聯(lián)立，解得，（此時(shí)直線l過點(diǎn)A，舍去），
將代入，解得，即，
所以直線l的方程為．
例30．（2022·安徽蕪湖·高二期中）已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，，左頂點(diǎn)為，且離心率為．
(1)求C的方程；
(2)直線交C于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，直線AE，AF分別與y軸交于點(diǎn)M，N，求證：M，，N，四點(diǎn)共圓．
【解析】（1）由題意知，解得，，，所以C的方程為．
（2）證明：設(shè)點(diǎn)（不妨設(shè)，則點(diǎn)，
由，消去y得，所以，，
所以直線AE的方程為．
因?yàn)橹本€AE與y軸交于點(diǎn)M，令得，
即點(diǎn)，同理可得點(diǎn)．
所以，，
所以，所以，同理．
則以MN為直徑的圓恒過焦點(diǎn)，，即M，，N，四點(diǎn)共圓．
綜上所述，M，，N，四點(diǎn)共圓．
變式17．（2022·河南鄭州·高二階段練習(xí)（文））已知拋物線的焦點(diǎn)為F，直線與y軸交于點(diǎn)P與拋物線交于點(diǎn)Q，且
(1)求拋物線E的方程；
(2)過F的直線l拋物線E相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的垂直平分線與E相交于C，D兩點(diǎn)，探究是否存在直線l使A，B，C，D四點(diǎn)共圓？若能，請(qǐng)求出直線l的方程；若不能，請(qǐng)說明理由.
【解析】(1)設(shè)點(diǎn)，
由題意得，解得
所以拋物線的方程為
(2)，設(shè)，
直線的方程為由，得，
，
所以，
，
所以的中點(diǎn)
所以線段的垂直平分線為，
將拋物線方程代入得，
所以，，，
所以，
的中點(diǎn)，????
四點(diǎn)共圓，
所以為圓心，
即，
解得，
故直線的方程為
方法2:設(shè)，
垂直平分，且四點(diǎn)共圓，
，由點(diǎn)差法得，
，，，，，
于是，，
，



直線的方程為
題型十一：切線問題
例31．（2022·遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二階段練習(xí)）已知拋物線C：，點(diǎn).
(1)設(shè)斜率為1的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若的面積為，求直線l的方程；
(2)是否存在定圓M：，使得過曲線C上任意一點(diǎn)Q作圓M的兩條切線，與曲線C交于另外兩點(diǎn)A，B時(shí)，總有直線AB也與圓M相切？若存在，求出m的值，若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）設(shè)直線的方程為，
把方程代入拋物線，可得，
，，
，
點(diǎn)到直線的距離，
，
解得，所以直線的方程．
（2）假設(shè)存在．取，圓，設(shè)切線為，
由，解得，①
將直線代入拋物線方程，
解得，，
直線的方程為，
若直線和圓相切，可得②
由①得,由①②解得，．
下證時(shí)，對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，直線和圓相切．
理由如下：設(shè)，當(dāng)時(shí),上面假設(shè)已經(jīng)說明成立;
當(dāng),一條切線與軸平行,不能與拋物線交于另一點(diǎn),故,
以下就且情況下證明.
過的直線為， ，
由，可得，
，，
又直線與曲線相交于 ，，
由，代入拋物線方程可得，
可得，，
則，是方程的兩根，
即有，即，同理．
則有，，
直線，
即為，
則圓心到直線的距離為
，
由，
代入上式，化簡(jiǎn)可得，
則有對(duì)任意的動(dòng)點(diǎn)，存在實(shí)數(shù)，使得直線與圓相切．

例32．（2022·江蘇南通·高二期中）已知圓，拋物線，過原點(diǎn)作圓C的切線交拋物線于A，且．
(1)求拋物線E的方程；
(2)設(shè)P是拋物線E上一點(diǎn)，過點(diǎn)P作圓C的兩條切線分別交拋物線E于Q，R，若直線的斜率為，求P的坐標(biāo)．
【解析】（1）設(shè)直線，，解得：，
由對(duì)稱性，不妨取，
解得，，∴
解得：，∴拋物線．
（2）設(shè)，滿足，設(shè)滿足，
，即，
，直線，化為一般式為：，
由題意知：，
化簡(jiǎn)得：；同理，
故，為方程：的兩根
化簡(jiǎn)整理為：，
由韋達(dá)定理知：，解得或，
∴或
例33．（2022·江蘇·蘇州中學(xué)高二期中）已知單位圓過圓外一點(diǎn)M作圓O的兩條的切線，.
(1)當(dāng)時(shí)，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
(2)記直線，的斜率分別是，，若，求動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程；
(3)現(xiàn)有曲線方程，過曲線外一點(diǎn)作兩條互相垂直的切線，請(qǐng)直接寫出和滿足的關(guān)系式；若曲線方程為呢？和滿足什么關(guān)系式？（直接寫出）
【解析】（1）由題意得，
設(shè)，
則，即，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為；
（2）設(shè)，
設(shè)過點(diǎn)的切線方程為，即，
則圓心到切線的距離為，
整理得，
即為此方程得兩根，
則，整理得，
因?yàn)樵趫A外，所以，
則，解得或，
所以，
所以動(dòng)點(diǎn)M的軌跡方程為；
（3）當(dāng)一條切線斜率存在另一條不存在時(shí)，
點(diǎn)的坐標(biāo)為或，
當(dāng)兩條切線斜率都存在時(shí)，設(shè)切線方程為，
聯(lián)立，
消得，
則，
整理得，
則，
因?yàn)閮汕芯€垂直，所以，
即，
當(dāng)點(diǎn)的坐標(biāo)為或時(shí)，上式也成立，
所以和滿足的關(guān)系式為，
同理若曲線方程為，和滿足的關(guān)系式為.
變式18．（2022·上海市建平中學(xué)高二期中）已知拋物線，直線l與拋物線相交于不同的兩點(diǎn).
(1)若直線經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)，且弦長(zhǎng)，求的值；
(2) 若直線經(jīng)過點(diǎn)，求的面積的最小值（為坐標(biāo)原點(diǎn)）；
(3)是否存在定圓，使得過拋物線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，與拋物線交于另外兩點(diǎn)時(shí)，總有直線也與圓相切？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.
【解析】（1）,所以.
（2）設(shè)直線的方程為

，
當(dāng)且僅當(dāng)，即軸時(shí)，等號(hào)成立，
所以的面積的最小值為
（3）設(shè)
直線的方程為，即,
整理得，
則直線與圓相切
得，
即，
同理可得，
易知，否則直線與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)，
所以，是方程的兩個(gè)根，
所以
由直線與圓相切可得，
平方得，即
，
化簡(jiǎn)得
，
上式對(duì)任意的恒成立，所以，
當(dāng)時(shí)，，舍去
當(dāng)時(shí)，
綜上，存在定圓，使得過拋物線上任意一點(diǎn)作圓的兩條切線，與拋物線交于另外兩點(diǎn)時(shí)，總有直線也與圓相切.



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