?2.1.2 兩條直線平行和垂直的判定

課程標準
核心素養(yǎng)
能根據(jù)斜率判定兩條直線平行或垂直.
數(shù)學(xué)運算、邏輯推理





知識點1 兩條直線平行　
1．對于兩條不重合的直線l1，l2，其斜率分別為k1，k2，有l(wèi)1∥l2?k1＝k2.
注：（1）l1∥l2?k1＝k2成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②l1與l2不重合．
（2）當兩條直線不重合且斜率都不存在時，與的傾斜角都是，則.
（3）兩條不重合直線平行的判定的一般結(jié)論是：或，斜率都不存在.

【即學(xué)即練1】若l1與l2為兩條不重合的直線，它們的傾斜角分別是α1，α2，斜率分別為k1，k2，有下列命題：
①若l1∥l2，則斜率k1＝k2；
②若k1＝k2，則l1∥l2；
③若l1∥l2，則傾斜角α1＝α2；
④若α1＝α2，則l1∥l2.
其中真命題的個數(shù)是(　　)
A．1個 B．2個
C．3個 D．4個

【即學(xué)即練2】已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點，，則直線與的位置關(guān)系是______．

【即學(xué)即練3】l1過點A(m,1)，B(－3,4)，l2過點C(0,2)，D(1,1)，且l1∥l2，則m＝________.

知識點2 兩條直線垂直　
1．如果兩條直線都有斜率，且它們互相垂直，那么它們的斜率之積等于－1；反之，如果它們的斜率之積等于－1，那么它們互相垂直，即l1⊥l2?k1·k2＝－1.
注：（1）l1⊥l2?k1·k2＝－1成立的前提條件是：①兩條直線的斜率都存在．②k1≠0且k2≠0.
（2）兩條直線中，一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零，則兩條直線垂直．
（3）判定兩條直線垂直的一般結(jié)論為：
或一條直線的斜率不存在，同時另一條直線的斜率等于零．


【即學(xué)即練4】(1)若兩條直線的斜率相等，則這兩條直線平行．(　　)
(2)若l1∥l2，則k1＝k2.(　　)
(3)若兩條直線中有一條直線的斜率不存在，另一條直線的斜率存在，則這兩條直線垂直．(　　)
(4)若兩條直線的斜率都不存在且兩直線不重合，則這兩條直線平行．(　　)
(5)若兩條不重合的直線的傾斜角相等，則這兩條直線必定平行．(　　)
(6)若兩條直線平行，則這兩條直線的傾斜角一定相等．(　　)


【即學(xué)即練5】直線l1，l2的斜率是方程x2－3x－1＝0的兩根，則l1與l2的位置關(guān)系是(　　)
A．平行　　　　　　　　 B．重合
C．相交但不垂直 D．垂直


考點一 兩條直線平行的判定及應(yīng)用
解題方略：
k1＝k2?l1∥l2是針對斜率都存在且不重合的直線而言的，對于斜率不存在或可能不存在的直線，要注意利用圖形．　　　　
（一）兩條直線平行關(guān)系的判定
【例1-1】判斷下列各題中直線l1與l2是否平行．
(1)的斜率為2，經(jīng)過，兩點；
(2)經(jīng)過，兩點，平行于x軸，但不經(jīng)過，兩點；
(3)l1經(jīng)過點A(－1，－2)，B(2,1)，l2經(jīng)過點M(3,4)，N(－1，－1)；
(4)l1經(jīng)過點A(－3,2)，B(－3,10)，l2經(jīng)過點M(5，－2)，N(5,5)．

變式1：直線的傾斜角為，經(jīng)過點，，則直線與直線的位置關(guān)系是（???????）
A．平行 B．垂直 C．重合 D．平行或重合


（二）兩條直線平行關(guān)系的應(yīng)用
【例1-2】經(jīng)過點P(－2，m)和Q(m,4)的直線平行于斜率等于1的直線，則m的值是(　　)
A．4　　　　　　　　　 B．1
C．1或3 D．1或4

變式1：若過點和點的直線與方向向量為的直線平行，則實數(shù)的值是（?????）
A． B． C．2 D．

變式2：已知點A(m，3)，B(2m，m＋4)，C(m＋1,2)，D(1,0)，且直線AB與直線CD平行，則m的值為_______；


變式3：在△ABC中，A(0,3)，B(2，－1)，E，F(xiàn)分別為邊AC，BC的中點，則直線EF的斜率為________．
變式4：已知直線l1，l2，l3的斜率分別是k1，k2，k3，其中l(wèi)1∥l2，且k1，k3是方程2x2－3x－2＝0的兩根，則k1＋k2＋k3的值是(　　)
A．1 B.
C. D．1或

考點二 兩條直線垂直的判定及應(yīng)用
解題方略：
利用斜率公式來判定兩直線垂直的方法
(1)一看：就是看所給兩點的橫坐標是否相等，若相等，則直線的斜率不存在只需看另一條直線的兩點的縱坐標是否相等，若相等，則垂直，若不相等，則進行第二步．
(2)二代：就是將點的坐標代入斜率公式．
(3)三求：計算斜率的值，進行判斷．尤其是點的坐標中含有參數(shù)時，應(yīng)用斜率公式要對參數(shù)進行討論．　　　　
（一）兩條直線垂直關(guān)系的判定
【例2-1】判斷下列各題中l(wèi)1與l2是否垂直．
(1)l1經(jīng)過點A(－3，－4)，B(1,3)，l2經(jīng)過點M(－4，－3)，N(3,1)；
(2)l1的斜率為－10，l2經(jīng)過點A(10,2)，B(20,3)；
(3)l1經(jīng)過點A(3,4)，B(3,10)，l2經(jīng)過點M(－10,40)，N(10,40)．

（二）兩條直線垂直關(guān)系的應(yīng)用
【例2-2】若直線l經(jīng)過點(a－2，－1)和(－a－2,1)，且與經(jīng)過點(－2,1)斜率為－的直線垂直，則實數(shù)a的值為(　　)
A．－ B．－
C. D.

變式1：若直線l1的斜率k1＝，直線l2經(jīng)過點A(3a，－2)，B(0，a2＋1)，且l1⊥l2，則實數(shù)a的值為(　　)
A．1 B．3
C．0或1 D．1或3

【例2-3】已知△ABC的頂點坐標分別為A(1,2)，B(－1,1)，C(0,2)，求BC邊上的高所在直線的斜率與傾斜角．

變式1：已知直線與過點，的直線垂直，則直線的傾斜角是（???????）
A． B． C． D．

變式2：若直線l1，l2的傾斜角分別為α1，α2，且l1⊥l2，則有(　　)
A．α1－α2＝90° B．α2－α1＝90°
C．|α2－α1|＝90° D．α1＋α2＝180°

考點三 兩直線平行與垂直的綜合應(yīng)用
解題方略：
利用兩條直線平行或垂直判定圖形形狀的步驟

【例3-1】直線l1，l2的斜率k1，k2是關(guān)于k的方程2k2－4k＋m＝0的兩根，若l1⊥l2，則m＝________.若l1∥l2，則m＝________.

【例3-2】已知點A(2,3)，B(－2,6)，C(6,6)，D(10,3)，則以A，B，C，D為頂點的四邊形是(　　)
A．梯形 B．平行四邊形
C．菱形 D．矩形

變式1：已知A(－4,3)，B(2,5)，C(6,3)，D(－3,0)四點，若順次連接A，B，C，D四點，試判定圖形ABCD的形狀．

變式2：已知四邊形MNPQ的頂點坐標為M(1,1)，N(3，－1)，P(4，0)，Q(2,2)，求證：四邊形MNPQ為矩形．


【例3-3】已知A(－1,2)，B(1,3)，C(0，－2)，點D使AD⊥BC，AB∥CD，則點D的坐標為(　　)
A. B.
C. D.


變式1：已知A(2,3)，B(1，－1)，C(－1，－2)，點D在x軸上，則當點D坐標為________時，AB⊥CD.


變式2：已知△ABC的頂點B(2,1)，C(－6,3)，其垂心為H(－3,2)，則其頂點A的坐標為(　　)
A．(－19，－62) B．(19，－62)
C．(－19,62) D．(19,62)


變式3：在平面直角坐標系中，以，，為頂點構(gòu)造平行四邊形，下列各項中不能作為平行四邊形第四個頂點坐標的是（???????）
A． B． C． D．

題組A 基礎(chǔ)過關(guān)練
1、根據(jù)下列給定的條件，判定直線與直線是否平行或重合：
（1）經(jīng)過點，；經(jīng)過點，；
（2）的斜率為，經(jīng)過點，；
（3）平行于軸，經(jīng)過點，；
（4）經(jīng)過點，，經(jīng)過點，．

2、“直線與平行”是“直線與的斜率相等”的（????）條件
A．充分非必要 B．必要非充分
C．充要 D．既非充分又非必要

3、【多選】若過點(1,a)，(0,0)的直線l1與過點(a,3)，(-1,1)的直線l2平行，則a的取值可以為（???????）
A．-2 B．-1 C．1 D．2


4、若經(jīng)過點(m,3)和(2，m)的直線l與斜率為－4的直線互相垂直，則m的值是________．

5、若直線l1與l2的斜率k1、k2是關(guān)于k的方程的兩根，若l1⊥l2，則b=_____．

6、若不同兩點P、Q的坐標分別為(a，b)，(3－b,3－a)，則線段PQ的垂直平分線的斜率為________．

7、已知三點，則△ABC為__________ 三角形.

8、【多選】若，，,，下面結(jié)論中正確的是（???????）
A． B．
C． D．

題組B 能力提升練
9、當m為何值時，過兩點、的直線與過兩點、的直線垂直．


10、當m為何值時，過兩點A(1,1)，B(2m2＋1，m－2)的直線：
(1)傾斜角為135°；
(2)與過兩點(3,2)，(0，－7)的直線垂直；
(3)與過兩點(2，－3)，(－4,9)的直線平行．


11、已知直線l1經(jīng)過點A(3，a)，B(a－1,2)，直線l2經(jīng)過點C(1,2)，D(－2，a＋2)．
(1)若l1∥l2，求a的值．
(2)若l1⊥l2，求a的值．


12、已知△ABC三個頂點坐標分別為A(－2，－4)，B(6,6)，C(0,6)，求此三角形三邊的高所在直線的斜率．

13、△ABC的頂點A(5，－1)，B(1,1)，C(2，m)，若△ABC是直角三角形，求m的值．

14、已知的頂點分別為、、，若為直角三角形，求實數(shù)m的值．

15、已知M（1，﹣1），N（2，2），P（3，0）.
(1)求點Q的坐標，滿足PQ⊥MN，PN∥MQ.
(2)若點Q在x軸上，且∠NQP＝∠NPQ，求直線MQ的傾斜角.

題組C 培優(yōu)拔尖練
16、已知直線經(jīng)過，，直線經(jīng)過點，．如果，求的值．


17、已知A(0,3)，B(－1,0)，C(3,0)，求D點的坐標，使四邊形ABCD為直角梯形(A，B，C，D按逆時針方向排列)．





18、直線l的傾斜角為30°，點P(2,1)在直線l上，直線l繞點P(2,1)按逆時針方向旋轉(zhuǎn)30°后到達直線l1的位置，此時直線l1與l2平行，且l2是線段AB的垂直平分線，其中A(1，m－1)，B(m,2)，試求m的值．


19、用坐標法證明：菱形的對角線互相垂直.


20、已知一平行四邊形的三個頂點坐標分別為、、，求該平行四邊形的第四個頂點坐標．


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2.1 直線的傾斜角與斜率

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