高中數(shù)學(xué)人教A版 (2019)選擇性必修第一冊第二章直線和圓的方程2.4 圓的方程精品鞏固練習(xí)-試卷下載-教習(xí)網(wǎng)

?2.4 圓的方程

課程標準
核心素養(yǎng)
回顧確定圓的幾何要素，在平面直角坐標系中，探索并掌握圓的標準方程與一般方程.
直觀想象
數(shù)學(xué)運算

知識點1 圓的標準方程
1．圓的定義：平面上到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．
2．圓的要素：是圓心和半徑，圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大?。鐖D所示．

3．圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
當(dāng)a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．
注：（1）圓的方程的推導(dǎo)：
設(shè)圓上任一點M(x，y)，則|MA|＝r，由兩點間的距離公式，得＝r，

化簡可得：(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
(2)當(dāng)圓心在原點即A(0,0)，半徑長r＝1時，方程為x2＋y2＝1，稱為單位圓．
(3)相同的圓，建立坐標系不同時，圓心坐標不同，導(dǎo)致圓的方程不同，但是半徑是不變的．
(4)圓上的點都滿足方程，滿足方程的點都在圓上．

【即學(xué)即練1】圓心在x軸上，半徑為5，且過點的圓的方程是________________．
【解析】設(shè)圓的標準方程為．
因為點在圓上，所以，解得a=-2或a=6，
所以所求圓的標準方程為或．

【即學(xué)即練2】與y軸相切，且圓心坐標為(－5，－3)的圓的標準方程為________________．
【解析】∵圓心坐標為(－5，－3)，又與y軸相切，
∴該圓的半徑為5，
∴該圓的標準方程為(x＋5)2＋(y＋3)2＝25.

【即學(xué)即練3】以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的標準方程是________________．
【解析】∵AB為直徑，∴AB的中點(1,2)為圓心，
|AB|＝＝5為半徑，
∴該圓的標準方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.
【即學(xué)即練4】已知直線與兩坐標軸分別交于點，，求以線段為直徑的圓的方程．
【解析】.由得，由得，
，，以為直徑的圓的圓心是，半徑，

知識點2 點與圓的位置關(guān)系
(1)根據(jù)點到圓心的距離d與圓的半徑r的大小判斷：d＞r?點在圓外；d＝r?點在圓上；d＜r?點在圓內(nèi)．
(2)根據(jù)點M(x0，y0)的坐標與圓的方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2的關(guān)系判斷：
(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2?點在圓外；
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2?點在圓上；
(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2?點在圓內(nèi)．

【即學(xué)即練5】已知點P(2,1)和圓C：2＋(y－1)2＝1，若點P在圓C上，則實數(shù)a＝________.若點P在圓C外，則實數(shù)a的取值范圍為________．
【解析】由題意，得2＋(y－1)2＝1，當(dāng)點P在圓C上時，2＋(1－1)2＝1 ，解得a＝－2或－6.
當(dāng)點P在圓C外時，2＋(1－1)2>1，
解得a－2.

【即學(xué)即練6】已知點M(5＋1，)在圓(x－1)2＋y2＝26的內(nèi)部，則a的取值范圍為________________．
【解析】由題意知
即解得0≤a0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓．當(dāng)D2＋E2－4F＝0時，方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，表示一個點.

2．圓的一般方程對應(yīng)的圓心和半徑
圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為，半徑長為 .
注：圓的一般方程表現(xiàn)出明顯的代數(shù)結(jié)構(gòu)形式，其方程是一種特殊的二元二次方程，圓心和半徑長需要代數(shù)運算才能得出，且圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(其中D，E，F(xiàn)為常數(shù))具有以下特點：
(1)x2，y2項的系數(shù)均為1；
(2)沒有xy項；
(3)D2＋E2－4F＞0.

3．常見圓的方程的設(shè)法

標準方程的設(shè)法
一般方程的設(shè)法
圓心在原點
x2＋y2＝r2
x2＋y2－r2＝0
過原點
(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＝0
圓心在x軸上
(x－a)2＋y2＝r2
x2＋y2＋Dx＋F＝0
圓心在y軸上
x2＋(y－b)2＝r2
x2＋y2＋Ey＋F＝0
與x軸相切
(x－a)2＋(y－b)2＝b2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋D2＝0
與y軸相切
(x－a)2＋(y－b)2＝a2
x2＋y2＋Dx＋Ey＋E2＝0
4. 二元二次方程Ax2＋Bxy＋Cy2＋Dx＋Ey＋F＝0表示圓，則
5. 以A(x1，y1)，B(x2，y2)為直徑端點的圓的方程為(x－x1)(x－x2)＋(y－y1)(y－y2)＝0.

【即學(xué)即練7】(多選)下列結(jié)論正確的是(　　)
A．任何一個圓的方程都可以寫成一個二元二次方程
B．圓的一般方程和標準方程可以互化
C．方程x2＋y2－2x＋4y＋5＝0表示圓
D．若點M(x0，y0)在圓x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0外，則x＋y＋Dx0＋Ey0＋F>0
【解析】AB顯然正確；C中方程可化為(x－1)2＋(y＋2)2＝0，所以表示點(1，－2)；D正確．故選ABD

【即學(xué)即練8】(多選)若a∈，方程x2＋y2＋2ax＋2ay＋2a2＋a－1＝0表示圓，則a的值可以為(　　)
A．－2 B．0 C．1 D.
【解析】根據(jù)題意，若方程表示圓，則有(2a)2＋(2a)2－4(2a2＋a－1)>0，解得a0，所以m>－.故選C

【即學(xué)即練10】圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是(　　)
A．(2,3)　　　　　　　　　 B．(－2,3)
C．(－2，－3) D．(2，－3)
【解析】圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標為，即(2，－3)．故選D

【即學(xué)即練11】過O(0,0)，A(3,0)，B(0,4)三點的圓的一般方程為______．
【解析】該圓的圓心為，半徑為，故其標準方程為2＋(y－2)2＝.
化成一般方程為x2＋y2－3x－4y＝0.

知識點4 圓的軌跡問題
軌跡和軌跡方程區(qū)別：軌跡是指點在運動變化中形成的圖形，比如直線、圓等．軌跡方程是點的坐標滿足的關(guān)系式．
【即學(xué)即練12】已知圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，則圓C的圓心的軌跡是(　　)
A．點 B．直線
C．線段 D．圓
【解析】∵圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝1過點A(1,0)，
∴(1－a)2＋(0－b)2＝1，
∴(a－1)2＋b2＝1，
∴圓C的圓心的軌跡是以(1,0)為圓心，1為半徑的圓．故選D

【即學(xué)即練13】已知△ABC的頂點A(0,0)，B(4,0)，且AC邊上的中線BD的長為3，則頂點C的軌跡方程是__________．
【解析】設(shè)C(x，y)(y≠0)，則D.∵B(4,0)，且AC邊上的中線BD長為3，
∴2＋2＝9，即(x－8)2＋y2＝36(y≠0)．

考點一求圓的標準方程
解題方略：
求圓的標準方程的方法
確定圓的標準方程就是設(shè)法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，建立關(guān)于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質(zhì)直接求得圓心坐標和半徑．常用到中點坐標公式、兩點間距離公式，有時還用到平面幾何知識，如“弦的中垂線必過圓心”“兩條弦的中垂線的交點必為圓心”等．一般地，在解決有關(guān)圓的問題時，有時利用圓的幾何性質(zhì)作轉(zhuǎn)化較為簡捷．　　　　

待定系數(shù)法求圓的標準方程的一般步驟

（一）由圓的標準方程求圓心、半徑
【例1-1】圓(x－1)2＋(y＋)2＝1的圓心坐標是(　　)
A．(1，) B．(－1，)
C．(1，－) D．(－1，－)
【解析】由圓的標準方程(x－1)2＋(y＋)2＝1，得圓心坐標為(1，－)．故選C

變式1：圓(x－1)2＋y2＝1的圓心到直線y＝x的距離是(　　)
A. B. C．1 D.
【解析】圓(x－1)2＋y2＝1的圓心坐標為(1,0)，所以圓心到直線y＝x的距離為d＝＝.故選A

（二）求圓的標準方程
【例1-2】圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點，且過原點的圓的標準方程是__________________．
【解析】由可得x＝2，y＝4，即圓心為(2,4)，從而r＝＝2，故圓的標準方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20.

變式1：求經(jīng)過點P(1,1)和坐標原點，并且圓心在直線2x＋3y＋1＝0上的圓的方程．
【解析】(法一：待定系數(shù)法)
設(shè)圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
則有解得
∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.
(法二：幾何法)
由題意知OP是圓的弦，其垂直平分線為x＋y－1＝0.
∵弦的垂直平分線過圓心，
∴由得
即圓心坐標為(4，－3)，半徑r＝＝5.
∴圓的標準方程是(x－4)2＋(y＋3)2＝25.

變式2：圓心在y軸上，半徑為5，且過點(3，－4)，則圓的標準方程為________．
【解析】設(shè)圓心為C(0，b)，
則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，
∴b＝0或b＝－8，
∴圓心為(0,0)或(0，－8)，
又r＝5，
∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.
答案：x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25

變式3：求圓心在x軸上，且過A(1,4)，B(2，－3)兩點的圓的方程．
【解析】設(shè)圓心為(a,0)，則＝，所以a＝－2.半徑r＝＝5，
故所求圓的方程為(x＋2)2＋y2＝25.

變式4：已知△ABC的三個頂點坐標分別為A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)，求該三角形的外接圓的方程．
【解析】法一：設(shè)所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.
因為A(0,5)，B(1，－2)，C(－3，－4)都在圓上，所以它們的坐標都滿足圓的標準方程，
于是有
解得
故所求圓的標準方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.
法二：因為A(0,5)，B(1，－2)，所以線段AB的中點的坐標為，直線AB的斜率kAB＝＝－7，因此線段AB的垂直平分線的方程是y－＝，即x－7y＋10＝0.同理可得線段BC的垂直平分線的方程是2x＋y＋5＝0.
由得圓心的坐標為(－3,1)，
又圓的半徑長r＝＝5，
故所求圓的標準方程是(x＋3)2＋(y－1)2＝25.

變式5：圓(x－3)2＋(y＋1)2＝1關(guān)于直線x＋y－3＝0對稱的圓的標準方程是________________．
【解析】設(shè)圓心A(3，－1)關(guān)于直線x＋y－3＝0對稱的點B的坐標為(a，b)，
則解得
故所求圓的標準方程為(x－4)2＋y2＝1.

考點二點與圓的位置關(guān)系
解題方略：
圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)，其圓心為C(a，b)，半徑為r，點P(x0，y0)，
設(shè)d＝|PC|＝.
位置關(guān)系
利用距離判斷
利用方程判斷
點在圓外
d>r
(x0－a)2＋(y0－b)2>r2
點在圓上
d＝r
(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2
點在圓內(nèi)
d，
∴a>或a＜－.

變式2：已知圓N的標準方程為(x－5)2＋(y－6)2＝a2(a＞0)．
(1)若點M(6,9)在圓上，求a的值；
(2)已知點P(3,3)和點Q(5,3)，線段PQ(不含端點)與圓N有且只有一個公共點，求a的取值范圍．
【解析】(1)因為點M在圓上，
所以(6－5)2＋(9－6)2＝a2，
又a＞0，可得a＝.
(2)由兩點間距離公式可得，
|PN|＝＝，
|QN|＝＝3.
因為線段PQ與圓有且只有一個公共點，即P，Q兩點一個在圓N內(nèi)，另一個在圓N外，又3＜，所以3＜a＜.即a的取值范圍是(3，)．

【例2-3】已知M(2,0)，N(10,0)，P(11,3)，Q(6,1)四點，試判斷它們是否共圓，并說明理由．
【解析】設(shè)M，N，P三點確定的圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
∴解得
∴過點M，N，P的圓的方程為(x－6)2＋(y－3)2＝25.
將點Q的坐標(6,1)代入方程左端，得(6－6)2＋(1－3)2＝4＜25，
∴點Q不在圓(x－6)2＋(y－3)2＝25上，
∴M，N，P，Q四點不共圓.

考點三與圓有關(guān)的最值問題
解題方略：
1、圓上的點到定點的最大、最小距離
設(shè)的方程，圓心，點是上的動點，點為平面內(nèi)一點；記;
①若點在外，則;
②若點在上，則;
③若點在內(nèi)，則;

2、與圓有關(guān)的最值問題常見的幾種類型
(1)形如u＝形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為過點(x，y)和(a，b)的動直線斜率的最值問題．
(2)形如l＝ax＋by形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動直線y＝－x＋截距的最值問題．
(3)形如(x－a)2＋(y－b)2形式的最值問題，可轉(zhuǎn)化為動點(x，y)到定點(a，b)的距離的平方的最值問題．　　　　
【例3-1】已知實數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.求的最大值和最小值．
【解析】原方程表示以點(2,0)為圓心，以為半徑的圓，設(shè)＝k，即y＝kx，
當(dāng)直線y＝kx與圓相切時，斜率k取最大值和最小值，此時＝，解得k＝±.
故的最大值為，最小值為－.

變式1：已知實數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.求y－x的最大值和最小值．
【解析】設(shè)y－x＝b，即y＝x＋b，
當(dāng)y＝x＋b與圓相切時，縱截距b取得最大值和最小值，此時＝，
即b＝－2±.
故y－x的最大值為－2＋，
最小值為－2－.

變式2：已知實數(shù)x，y滿足方程(x－2)2＋y2＝3.求x2＋y2的最大值和最小值．
【解析】x2＋y2表示圓上的點與原點距離的平方，由平面幾何知識知，它在原點與圓心所在直線與圓的兩個交點處取得最大值和最小值，又圓心到原點的距離為2，故(x2＋y2)max＝(2＋)2＝7＋4，
(x2＋y2)min＝(2－)2＝7－4.
【例3-2】已知圓C：(x－2)2＋(y＋m－4)2＝1，當(dāng)m變化時，圓C上的點到原點的最短距離是________．
【解析】由題意可得，圓C的圓心坐標為(2,4－m)，半徑為1，圓C上的點到原點的最短距離是圓心到原點的距離減去半徑1，即求d＝－1的最小值，當(dāng)m＝4時，d最小，dmin＝1.
答案：1

【例3-3】設(shè)P是圓(x－3)2＋(y＋1)2＝4上的動點，Q是直線x＝－3上的動點，則|PQ|的最小值為(　　)
A．6 B．4
C．3 D．2
【解析】畫出已知圓，利用數(shù)形結(jié)合的思想求解．如圖，圓心M(3，－1)與定直線x＝－3的最短距離為|MQ|＝3－(－3)＝6.因為圓的半徑為2，所以所求最短距離為6－2＝4.故選B

變式1：圓(x－1)2＋(y－1)2＝1上的點到直線x－y＝2的距離的最大值是________．
【解析】圓(x－1)2＋(y－1)2＝1的圓心為C(1,1)，
則圓心到直線x－y＝2的距離d＝＝，
故圓上的點到直線x－y＝2的距離的最大值為＋1.

【例3-4】已知點P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動點，則x2－4y的最小值為________．
【解析】∵點P(x，y)為圓x2＋y2＝1上的動點，
∴x2－4y＝1－y2－4y＝－(y＋2)2＋5.
∵y∈[－1,1]，
∴當(dāng)y＝1時，－(y＋2)2＋5有最小值－4.

考點四圓的一般方程
解題方略：
1、圓的一般方程辨析
判斷二元二次方程與圓的關(guān)系時，一般先看這個方程是否具備圓的一般方程的特征，當(dāng)它具備圓的一般方程的特征時，再看它能否表示圓．此時有兩種途徑：一是看D2＋E2－4F是否大于零；二是直接配方變形，看方程等號右端是否為大于零的常數(shù)．
2、方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的圖形
條件
圖形
D2＋E2－4F0
表示以為圓心，以為半徑的圓

3、利用待定系數(shù)法求圓的方程的解題策略
(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.
(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關(guān)系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D，E，F(xiàn).　　　　
（一）圓的一般方程辨析
【例4-1】已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是(　　)
A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)
C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D.
【解析】方程可化為：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k

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