?第1.2章 方程與函數(shù)
1.2.1 一元二次方程

初中要求
1 掌握代入消元法和加減消元法，能解二元一次方程組;
2理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;
3了解一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（不要求應(yīng)用這個(gè)關(guān)系解決其他問(wèn)題）。
高中要求
1 會(huì)用韋達(dá)定理求解簡(jiǎn)單的方程根的變式；
2 會(huì)構(gòu)造一元二次方程解決一些實(shí)際問(wèn)題；
3 掌握求解二次方程組的方法.


1.一元二次方程的判別式
一元二次方程可用配方法變形成，該方程根的情況由判別式來(lái)判定.
(1)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根: ；
(2)方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根: ；
(3)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.
2.一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系
如果一元二次方程的兩個(gè)根為，那么；
.
由此得出，一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：
如果一元二次方程 的兩個(gè)根是，那么，.
這個(gè)結(jié)論稱為韋達(dá)定理.
【題型1】 韋達(dá)定理的應(yīng)用
【典題1】 若是方程的兩根，不解方程，求下列各式的值.
(1) ； (2) ；
(3) ()； (4) ().
解析 由韋達(dá)定理可得，，
(1)；
(2)；
(3)設(shè)，則，代入，，得，
，解得；
(4)，，
，，
.


變式練習(xí)
1.若關(guān)于的一元二次方程的一個(gè)根為，則這個(gè)一元二次方程的另一個(gè)根為　 ?。?br /> 答案 .
2.已知關(guān)于的方程的一個(gè)根為，則另一個(gè)根等于 .
答案
解析 設(shè)另一根為，則相加，得.
3.已知是關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，且滿足，則的值為 　 ．
答案
解析 是關(guān)于x的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
．
，即，
，整理，得，
解得．
關(guān)于的方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，
，
解得，
．
4.已知關(guān)于的一元二次方程．
(1)求證：無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)若方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，求的值．
答案 (1) 略 (2)
解析 (1)
無(wú)論取何值，此方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
(2)由根與系數(shù)的關(guān)系得出，
由得，
解得．

5.已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值.
答案 (1) 不存在 (2).
解析 (1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，
一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，(不要忽略判別式的要求)
由韋達(dá)定理得，

，
但， 不存在實(shí)數(shù)，使得成立.
(2) ，
要使其值是整數(shù)，只需要能被整除，
故，即，
，.


【題型2】 構(gòu)造一元二次方程
【典題1】解方程組.
解析 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解方程得或，故方程組的解是或.

【典題2】若為實(shí)數(shù)，且， ，求的值.
解析 (1)當(dāng)時(shí)，；
(2)當(dāng)時(shí)，由已知及根的定義可知，分別是方程的兩根，
由韋達(dá)定理得，，
.

變式練習(xí)
1.若且，則的值是 .
答案
解析 因?yàn)?，由根的定義知為方程的二不等實(shí)根，
再由韋達(dá)定理，得，
.
2.解方程組.
答案 或.
解析 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解方程得或，故方程組的解是或.
3.已知為實(shí)數(shù)，且滿足條件：，求證.
證明 由已知得.
　　根據(jù)韋達(dá)定理的逆定理知，以為根的關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次方程為
　?、?br /> 　　由為實(shí)數(shù)知此方程有實(shí)根.
　.
，從而.這表明①有兩個(gè)相等實(shí)根，即有.
4.已知都是實(shí)數(shù)，且，求證中必有一個(gè)大于
證明 ，可知中一個(gè)正數(shù)，兩個(gè)負(fù)數(shù)，不妨設(shè)，
由題意得，
于是是關(guān)于的方程的兩個(gè)根，
該方程有實(shí)數(shù)，
，
中必有一個(gè)大于


1. 如果，且，那么等于( )
A. B. C. D.
答案
解析 是方程的兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根，則，選.
2.已知是的三邊長(zhǎng)，且方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則這個(gè)三角形是 ( )
A. 等腰三角形 B.等邊三角形 C.直角三角形 D.不確定
答案
解析 方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則，
又有，
，又，故是等腰三角形，故選.
3.關(guān)于的二元二次方程組共有( )解
A. B. C. D.與有關(guān)
答案
解析 把代入消去，
得，
其判別式，
則方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則原方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，
故選.
4.若是正整數(shù)，并且，則 ..
答案
解析 ，
是方程的兩個(gè)根，
該方程的根為，， 或，
又是正整數(shù)，，
.
5.已知是方程的二實(shí)根，則_____________.
答案
解析 由，


.

6. 解方程組.
答案 或.
解析 是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
解方程得或，故方程組的解是或..
7.已知是一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
(1)是否存在實(shí)數(shù)，使得成立？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(2)求使的值為整數(shù)的實(shí)數(shù)的整數(shù)值.
答案 (1) 不存在 (2)
解析 (1) 假設(shè)存在實(shí)數(shù)，使得成立，
一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，
，(不要忽略判別式的要求)
由韋達(dá)定理得，

，
但， 不存在實(shí)數(shù)，使得成立.
(2) ，
要使其值是整數(shù)，只需要能被整除，
故，即，
，.
8.若且，試求代數(shù)式的值.
答案
解析 因?yàn)?，由根的定義知為方程的二不等實(shí)根，
再由韋達(dá)定理，得，
.

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