?第2.1章
2.1.1 集合的含義與表示

高中要求
1了解集合的含義; ,體會(huì)元素與集合的“屬于”關(guān)系;
2針對(duì)不同的具體問題，能選擇自然語言、圖形語言、集合語言（列舉法或描述法）加以描述.

元素與集合的概念
一般地，把一些能夠確定的不同的對(duì)象看成一個(gè)整體，就說這個(gè)整體是由這些對(duì)象的全體構(gòu)成的集合(或集)，構(gòu)成集合的每個(gè)對(duì)象叫做這個(gè)集合的元素(或成員).
集合的元素特征
① 確定性：給定一個(gè)集合，那么任何一個(gè)元素在不在這個(gè)集合中就確定了.?
Eg：街上叫聲帥哥，是男的都回個(gè)頭，帥哥沒有明確的標(biāo)準(zhǔn)，故帥哥不能組成集合.
② 互異性：一個(gè)集合中的元素是互不相同的，即集合中的元素是不重復(fù)出現(xiàn)的.?
Eg：兩個(gè)學(xué)生名字都是“熊濤”，老師也要給他們起小名熊大熊二，以視區(qū)別.
若集合，就意味且.
③ 無序性：集合中的元素?zé)o順序，可以任意排列、調(diào)換.
Eg：高一(1)班每月都換座位也改變不了它是(1)班的事實(shí)，.
元素與集合的關(guān)系
若是集合的元素，則稱屬于集合，記作；?
若不是集合的元素，則稱不屬于集合，記作.?
Eg：菱形，.
常用數(shù)集?
自然數(shù)集(或非負(fù)整數(shù)集)，記作；正整數(shù)集，記作或；整數(shù)集，記作；
有理數(shù)集，記作；實(shí)數(shù)集，記作.
集合的分類
有限集，無限集，空集.
Eg：奇數(shù)集屬于無限集，.
集合的表示方法
① 列舉法?
把集合中的元素一一列舉出來，并用花括號(hào)括起來表示集合的方法叫列舉法.
② 描述法?
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，稱為描述法.?
方法：在花括號(hào)內(nèi)先寫上表示這個(gè)集合元素的一般符號(hào)及取值(或變化)范圍，再畫一條豎線，在豎線后寫出這個(gè)集合中元素所具有的共同特征.?一般格式：.?
用符號(hào)描述法表示集合時(shí)應(yīng)注意：?
弄清元素所具有的形式(即代表元素是什么)是數(shù)還是點(diǎn)、還是集合、還是其他形式？?
元素具有怎么的屬性？當(dāng)題目中用了其他字母來描述元素所具有的屬性時(shí)，要去偽存真，而不能被表面的字母形式所迷惑.?
Eg
集合
元素
化簡(jiǎn)結(jié)果

方程的解


不等式的解集


函數(shù)中取值范圍(定義域)


函數(shù)中取值范圍(值域)


函數(shù)的圖像上的點(diǎn)
----
看集合先看元素類型.





【題型1】 集合元素的特征
【典題1】 下列說法正確的是 ( )?
數(shù)學(xué)成績(jī)較好的同學(xué)組成一個(gè)集合；?
所有小的正數(shù)組成的集合；?
集合和表示同一個(gè)集合；?
這些數(shù)組成的集合有五個(gè)元素.?
解析 由于較好、小的沒有一個(gè)明確的標(biāo)準(zhǔn)，的對(duì)象不具備確定性；
中的三個(gè)數(shù)相等，相等，故集合只有個(gè)元素；
集合具有無序性，所以是正確的；故選.


變式練習(xí)
1.下列選項(xiàng)能組成集合的是(　　)
A．著名的運(yùn)動(dòng)健兒 B．英文26個(gè)字母 C．非常接近0的數(shù) D．勇敢的人
答案
解析 著名的運(yùn)動(dòng)健兒，元素不確定，不能組成集合；
英文26個(gè)字母，滿足集合元素的特征，所以能組成集合；
非常接近0的數(shù)，元素不確定，不能組成集合；
勇敢的人，元素不確定，不能組成集合；
故選．
2.若集合中三個(gè)元素為邊可構(gòu)成一個(gè)三角形，則該三角形一定不可能是(　　)
A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰三角形
答案
3.下列所給的對(duì)象能構(gòu)成集合的是__________．
(1)所有直角三角形；(2)全國(guó)高聳的山脈；(3)比較接近的正整數(shù)全體；
(4)某校高一年級(jí)的16歲以下的學(xué)生；(5) ，，，．
解析 (1)能，集合元素是直角三角形；
(2)不能，“高聳”的標(biāo)準(zhǔn)是模糊的、不確定的，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；
(3)不能，“比較接近”的標(biāo)準(zhǔn)不明確，所以元素不確定，故不能構(gòu)成集合；
(4)能，集合元素是“16歲以下的學(xué)生”；
(5)不能，，有兩個(gè)數(shù)字重復(fù)，不符合元素的互異性.故答案是(1)(4)

【題型2】 元素與集合的關(guān)系
【典題1】已知集合含有兩個(gè)元素和，若，則實(shí)數(shù) ．
解析 ， 或.
若，則，
此時(shí)集合含有兩個(gè)元素，，符合題意．
若，則，
此時(shí)集合含有兩個(gè)元素，，符合題意．
綜上所述，滿足題意的實(shí)數(shù)的值為或.

變式練習(xí)
1.下列所給關(guān)系正確的個(gè)數(shù)是(　　)
① ； ② ； ③ ； ④ .
A．1　 　 B．2 C．3 D．4
答案 B
解析 ① ②對(duì)，故選.
2.設(shè)不等式的解集為，下列關(guān)系中正確的是(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 當(dāng)時(shí)，，所以；
當(dāng)時(shí)，，所以．
3.對(duì)于集合，若，則，那么的取值是________．
解析 當(dāng)滿足題意，當(dāng)時(shí)，.
4.已知非空集合滿足：若，則，則當(dāng)時(shí)，集合的所有元素之積等于　 ?。?br /> 答案
解析 依題意，得當(dāng)時(shí)，有，從而，，
于是集合的元素只有，，所有元素之積等于．

【題型3】 集合的表示
【典題1】用列舉法表示下列集合
(1)以內(nèi)偶數(shù)的集合；
(2)方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合；
(3)一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)組成的集合．
解析 (1)；
(2)解方程，得，
故方程的所有實(shí)數(shù)根組成的集合為；
(3)解方程組得，
因此一次函數(shù)與的圖象的交點(diǎn)為，故所求的集合為．

【典題2】設(shè)集合．
(1)試判斷元素與集合的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合．
解析 (1)當(dāng)時(shí)，．
當(dāng)時(shí)， ．因此．
(2) ，只能?。?br /> 只能取，.


【典題3】若集合則實(shí)數(shù)的取值集合為(　　)

解析 當(dāng)時(shí)，不等式等價(jià)于，此時(shí)不等式無解；
當(dāng)時(shí)，要使原不等式無解，應(yīng)滿足
即解得；
綜上，的取值范圍是．
故選：．

變式練習(xí)
1.集合，，，P，，
設(shè)，則有 (　　)
A． B． C． D．以上都不對(duì)
答案
解析 ，，，
設(shè)，，，，
，
又，.
2. 已知集合，且，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 集合，
，故錯(cuò)誤；
又，故錯(cuò)誤；
又，故錯(cuò)誤；故選.
(為什么？令，
)
3.集合，其中，且，若，則中的元素之和為 .
答案
解析 因?yàn)?，所以若，則集合不成立．所以．
若因?yàn)?，所以，所以必有，所以?br /> 因?yàn)?，，所以或?br /> 若，此時(shí)不成立，舍去．
若，則，成立．
所以元素之和為．
4 .用列舉法表示集合　 ??；
答案
解析 ；．
5. 設(shè)是一個(gè)非空集合，#是它的一種運(yùn)算，如果滿足以下條件：
(1)對(duì)中任意元素都有；
(2)對(duì)中任意兩個(gè)元素，滿足．
則稱對(duì)運(yùn)算#封閉．
下列集合對(duì)加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉的為 .
① } ② ③ ④．
答案 ②③④．
解析 (1)的意思是滿足結(jié)合律，(2)的意思是兩個(gè)元素運(yùn)算后還屬于原集合的.
①中，當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
故①中集合對(duì)加法和乘法都不封閉，
②中集合滿足：(1)對(duì)中任意元素都有；
(2)對(duì)中任意兩個(gè)元素，滿足．
故②中集合對(duì)加法運(yùn)算封閉，同理可得對(duì)乘法運(yùn)算也封閉；
③中集合，整數(shù)加法和乘法運(yùn)算均滿足結(jié)合律，滿足第一點(diǎn)，整數(shù)加整數(shù)，整數(shù)乘以整數(shù)還是整數(shù)，滿足第二點(diǎn)，故③中集合對(duì)加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉；
④中集合，有理數(shù)加法和乘法運(yùn)算均滿足結(jié)合律，滿足第一點(diǎn)，有理數(shù)加有理數(shù)，有理數(shù)乘以有理數(shù)還是整數(shù)，滿足第二點(diǎn)，故④中集合對(duì)加法運(yùn)算和乘法運(yùn)算都封閉；故答案為：②③④
6.用描述法表示下列集合：
(1) 大于且小于的所有自然數(shù)組成的集合；
(2) 不等式的解集；
(3) (陰影部分的點(diǎn)(包括邊界上的點(diǎn))的坐標(biāo)的集合)
答案 (1) 用描述法表示為；
(2) 用描述法表示為；
(3)用描述法表示為.
7.若集合至多有一個(gè)元素，求的取值范圍．
答案
解析 集合至多有一個(gè)元素，
或解得或
的取值范圍是．
故答案為：．



1.下列各組對(duì)象能構(gòu)成集合的是(　　)
A．充分接近的所有實(shí)數(shù) B．所有的正方形
C．著名的數(shù)學(xué)家 D．1，2，3，3，4，4，4，4
答案
解析 選項(xiàng)不滿足集合的確定性；集合正方形是確定的，故能構(gòu)成集合；選項(xiàng)不滿足集合的互異性．故選：．
2.集合中的不能取得值是( )
A.2 B.3 C.4 D.5
答案
解析 根據(jù)集合元素的互異性，，可以把四個(gè)選項(xiàng)代入集合用排除法.
3.已知集合，且，，則(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 ，，，解得，故選：．
4.已知集合，那么下列結(jié)論正確的是(　　)
A． B． C． D．
解析 都不是的解，則，故選：．
5.若集合則集合中的元素個(gè)數(shù)為(　　)
A．9 B．6 C．4 D．3
答案
解析 通過列舉，可知的數(shù)對(duì)共9對(duì)，
即共9種，

易得滿足
集合中的元素個(gè)數(shù)共個(gè)．故選：．
6.已知且，則由的值構(gòu)成的集合是 .
答案
解析 ，；
或，解得，
故答案：．
7.已知含有三個(gè)實(shí)數(shù)的集合既可表示成，又可表示成則　 ?。?br /> 答案
解析 根據(jù)題意，由可得或，
又由的意義，則必有
則，
則有即或
集合中則必有
則.
8.試分別用列舉法和描述法表示下列集合：
(1)方程的解集；(2)大于且小于的所有整數(shù)組成的集合．
解析 (1)方程的根可以用x表示，它滿足的條件是，
因此，用描述法表示為；
方程的根是，因此，用列舉法表示為．
(2)大于且小于的整數(shù)可以用x表示，它滿足的條件是且，
因此，用描述法表示為；
大于且小于的整數(shù)有，因此，用列舉法表示為．
9.設(shè)集合.
(1)試判斷元素與集合的關(guān)系；(2)用列舉法表示集合.
答案 (1) ； (2)
解析 (1)當(dāng)時(shí)，滿足，而，故；
當(dāng)時(shí)，滿足，且，故；
(2)根據(jù)題意，，，
又因，，且是的整數(shù)倍，
或或，或或，
集合．
10.若集合至多有一個(gè)元素，求的取值范圍．
答案
解析 集合至多有一個(gè)元素，
或解得或
的取值范圍是．
故答案為：．
11.已知由實(shí)數(shù)構(gòu)成的集合滿足條件：若則則集合中至少有幾個(gè)元素？證明你的結(jié)論．
答案 四
解析 設(shè)集合中有元素，
，則，
進(jìn)而有又有

假設(shè)則，矛盾，
類似方法可證、、和四個(gè)數(shù)互不相等，
這就證得集合中至少有四個(gè)元素．


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