?第2.4章 函數(shù)的概念與性質(zhì)
2.4.2 函數(shù)的值域

高中要求
1理解函數(shù)值域的概念;
2會(huì)求常見函數(shù)的值域。

一 函數(shù)的概念
1 概念
設(shè)是非空的數(shù)集，如果按照某個(gè)確定的對(duì)應(yīng)關(guān)系，使對(duì)于集合中的任意一個(gè)數(shù)，在集合中都有唯一確定的數(shù)和它對(duì)應(yīng)，那么就稱為從集合到集合的一個(gè)函數(shù)．記作：．其中，叫做自變量，的取值范圍叫做函數(shù)的定義域；與的值相對(duì)應(yīng)的值叫做函數(shù)值，函數(shù)值的集合叫做函數(shù)的值域．
2 定義域
① 概念：函數(shù)自變量的取值范圍.
② 求函數(shù)的定義域主要應(yīng)考慮以下幾點(diǎn)
若為整式，則其定義域?yàn)閷?shí)數(shù)集．
若是分式，則其定義域是使分母不等于的實(shí)數(shù)的集合．
若為偶次根式，則其定義域是使根號(hào)內(nèi)的式子大于或等于的實(shí)數(shù)的集合．
若是由幾個(gè)部分的數(shù)學(xué)式子構(gòu)成的，那么函數(shù)的定義域是使各部分都有意義的實(shí)數(shù)的集合，即交集．[來源:Zxxk.Com]
實(shí)際問題中，定義域要受到實(shí)際意義的制約．
3 值域
① 概念：函數(shù)值的取值范圍
② 求值域的方法
配方法 數(shù)形結(jié)合 換元法 函數(shù)單調(diào)性法 分離常數(shù)法 基本不等式法

【題型1】 函數(shù)值域的概念
【典題1】 函數(shù)，的值域是(　　)
A． B． C． D．
答案
解析 ，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，
函數(shù)，的值域是，故選：．

變式練習(xí)
1.的圖像如右下圖，則的值域?yàn)? ；

答案
2.函數(shù)的定義域是，則其值域是________．
答案
解析：當(dāng)取時(shí)，，故函數(shù)值域?yàn)椋?br /> 3.已知函數(shù)，則的值域是 　 ．
答案
解析 ；的值域?yàn)椋?br />
【題型2】 求函數(shù)的值域
【典題1】 求函數(shù)的值域．
由題意：函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸，
畫出函數(shù)如下，

函數(shù)在區(qū)間上的值域?yàn)椋?br />
【典題2】求函數(shù)的值域．
解析 ．
，，
，．
函數(shù)的值域?yàn)椋?br />
【典題3】求函數(shù)的值域．
解析 令，，(要注意新變量的取值范圍)
則，
則，其在上的值域是，
(把函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)值域問題)
即函數(shù)的值域?yàn)?


變式練習(xí)
1.函數(shù)的值域?yàn)? .
答案
解析 在上遞減，在上遞增，
所以時(shí)，f(x)取得最小值；
時(shí)，取得最大值，故值域?yàn)椋?br /> 2.函數(shù)的值域?yàn)? .
答案
解析 ，
函數(shù)圖象如圖：

由圖可知，函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 3.若函數(shù)的值域是　 　．
答案
解析 ，
時(shí)，，時(shí)，，時(shí)，，
函數(shù)的值域是：，
4.已知函數(shù)的定義域和值域都是，則實(shí)數(shù)的值為　 ?。?br /> 答案 3
解析 ，
其圖象如圖，

由圖可知，函數(shù)在上為增函數(shù)，
又函數(shù)的定義域和值域都是，
，解得：．
故答案為：．
5.若函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)?，則的取值范圍是 　 ．
答案
解析 函數(shù)的圖象是開口向上，且以直線為對(duì)稱軸的拋物線

，
函數(shù)的定義域?yàn)?，值域?yàn)椋?br /> ，即的取值范圍是.
6.函數(shù)的值域?yàn)? 　 ．
答案
解析 設(shè)，則

值域?yàn)椋?br /> 7. 已知二次函數(shù)，如果存在實(shí)數(shù)，使得的定義域和值域分別是和，求的值．
答案
解析 根據(jù)題意，二次函數(shù)的對(duì)稱軸為，最大值為；
分種情況討論：
①當(dāng)時(shí)，在上遞增，則有，
解可得，，此時(shí)；
②當(dāng)時(shí)，f(x)的最小值為，解可得，
與矛盾，不符合題意；
③當(dāng)時(shí)，在上遞減，
若的值域分別是，必有，則有不符合題意；
故.


1.函數(shù)在上的值域?yàn)?，則的值為(　　)
A． B． C．或1 D．
答案
解析 因?yàn)楹瘮?shù)為單調(diào)函數(shù)，
當(dāng)為單調(diào)遞增函數(shù)時(shí)，若，則，所以，
當(dāng)為單調(diào)遞減函數(shù)時(shí)，若，則，所以，
所以或，
故選：．
2.設(shè)，若函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍為，則的值為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
答案
解析 ，函數(shù)，當(dāng)時(shí)，的范圍為，，
，解得．故選：．
3.函數(shù)的值域?yàn)?　　)
A．R B．[，+∞) C．(0，] D．(﹣∞，]
答案
解析
函數(shù)值域?yàn)椋海?br /> 故選：．
4.函數(shù)的值域?yàn)?　　)

答案
解析 由題意：函數(shù)，
令，則函數(shù)的值域?yàn)?，可得：?br /> 那么：函數(shù)轉(zhuǎn)化為，開口向下，對(duì)稱軸，
，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最大值為，
即函數(shù)的最大值為．
函數(shù)的值域?yàn)?－∞，]．
故選：．
5.函數(shù)的值域?yàn)?，則實(shí)數(shù)的取值范圍為　 　
答案
解析 ，對(duì)稱軸為，由，得或，
，，，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.
6.函數(shù)的值域是　 ．
答案
解析 ，
當(dāng)時(shí)，，，即函數(shù)的值域?yàn)?
7.函數(shù)的值域是　 ?。?注：其中表示不超過的最大整數(shù))
答案
解析 根據(jù)高斯函數(shù)的性質(zhì)，，
那么，則
由，
函數(shù)的值域?yàn)椋?br /> 8.若函數(shù)的定義域是，則的值域是 　　．
答案
解析 當(dāng)時(shí)，．
9.已知函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t實(shí)數(shù)的取值范圍為　 ?。?br /> 答案
解析 的值域?yàn)椋?br /> ，解可得或，
則實(shí)數(shù)的取值范圍為．
10.求函數(shù)的值域.
答案
解析 令，則
，
當(dāng)，即時(shí)，無最小值.
函數(shù)的值域?yàn)?
11.求函數(shù)的值域。
答案
解析 原函數(shù)可化為，
令，則，且當(dāng)時(shí)取等號(hào)，
所以．故函數(shù)的值域?yàn)椋?br />

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