?第1.1章 數(shù)與式
1.1.4 分式與二次根式

初中要求
1 了解分式和最簡(jiǎn)分式的概念，能利用分式的基本性質(zhì)進(jìn)行約分和通分；能進(jìn)行簡(jiǎn)單的分式加、減、乘、除運(yùn)算。
2 了解平方根、算術(shù)平方根的概念，會(huì)用根號(hào)表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根;
3 了解乘方與開(kāi)方互為逆運(yùn)算，會(huì)用平方運(yùn)算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會(huì)用計(jì)算器求平方根;
4 了解二次根式、最簡(jiǎn)二次根式的概念，了解二次根式（根號(hào)下僅限于數(shù)）加、減、乘、除運(yùn)算法則，會(huì)用它們進(jìn)行有關(guān)的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算。
高中要求
1 掌握分式的齊次化變形.
2二次根式的簡(jiǎn)單四則運(yùn)算；
3 理解共軛二次根式；
4 會(huì)求解含二次根式的方程與不等式.

1.分式的概念
一般地，如果不等于零)表示兩個(gè)整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式.
2.分式的基本性質(zhì)
分式的分子與分母都乘以(或除以)同一個(gè)不等于零的整式，分式的值不變.用式子表示是
(其中是的整式).
3.分式方程
分母里含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.
解分式方程的思想是將“分式方程”轉(zhuǎn)化為“整式方程”，其一般解題步驟：①去分母；②求解所得整式方程；③驗(yàn)根.
3.二次根式
一般地，形如的代數(shù)式叫做二次根式.
二次根式必須滿足：①含有二次根號(hào)“”；②被開(kāi)方數(shù)必須大于等于.
4.最簡(jiǎn)二次根式
若二次根式滿足：①被開(kāi)方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整式；②被開(kāi)方數(shù)中不含能開(kāi)得盡方的因數(shù)或因式，這樣的二次根式叫做最簡(jiǎn)二次根式，如，是最簡(jiǎn)二次根式；不是最簡(jiǎn)二次根式.
5.二次根式的性質(zhì)
性質(zhì)
例子
若則
.

，
.

，
.

， .


【題型1】分式的變形
情況1 齊次化分式
形如為常數(shù))的分式的分子、分母均為一次齊次式，我們稱之為一次齊次化分式，如，
形如，其中為常數(shù)，這樣的分式的分子、分母均為二次齊次式，我們稱之為二次齊次化分式，如，.
對(duì)于齊次分式，我們可以怎么處理呢？
【典題1】 已知正數(shù)滿足，求和的值.
解析 由已知有，解得，
，.
變式練習(xí)
1.已知，求.
答案 .
解析 ，即.
2.已知，求.
答案 或
解析 ，
解方程得或，即或.

情況2 分子的降次處理
解題技巧提煉
我們遇到類似的分式，常常要把它化為的形式，其中為常數(shù).
這方法稱之為分離常數(shù)法.
【典題1】把化為的形式.
解析 方法1 令，則，
.
方法2 利用多項(xiàng)式除以多項(xiàng)式的豎式








.
變式練習(xí)
1.把化為的形式.
答案
解析 .
2.把化為的形式.
答案
解析 令，則，
.

【題型2】 二次根式的運(yùn)算
【典題1】化簡(jiǎn)

解析 ；
(2)


.
.

變式練習(xí)
1.若，則的取值范圍是________.
答案
解析 依題意得，解得.
2.化簡(jiǎn)
(1) ；
(2；
(3．
答案
解析 ，
.

；
.
3.先觀察下列等式，再回答問(wèn)題
①；
②；
③.
(1)根據(jù)上面三個(gè)等式，請(qǐng)猜想的結(jié)果(直接寫(xiě)出結(jié)論)
(2)根據(jù)上面各等式反映的規(guī)律，試寫(xiě)出含為正整數(shù))表示一般規(guī)律的等式，并加以驗(yàn)證；
(3)根據(jù)上述的規(guī)律，解答問(wèn)題：
設(shè)，
求不超過(guò)的最大整數(shù).
答案
解析 觀察可得，；
，
；




，
不超過(guò)的最大整數(shù)是.

【題型2】含根號(hào)的方程
【典題1】解方程.
解析 移項(xiàng)得，
兩邊平方得，
解得，
把代入原方程檢驗(yàn)得是方程的增根，是原方程的根，
故原方程的根是.

變式練習(xí)
1.解方程.
答案
解析 方程兩邊平方得，解得，
把代入原方程檢驗(yàn)得是方程的增根，是原方程的根，
故原方程的根是.
2.解方程.
答案
解析 方程等價(jià)于，
兩邊平方得，化簡(jiǎn)得，解得，
代回方程檢驗(yàn)可得是方程的根，故方程的根式.


1.小明的作業(yè)本有以下四題：①，②，③，④，他做錯(cuò)的題是 ( )
A. ① B.② C.③ D.④
答案
解析 ③錯(cuò)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.
2.把二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，結(jié)果是 ( )
A. B. C. D.以上都不對(duì)
答案
解析 ，故選.
3.若，則 .
答案
解析 .
4.若關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍是 .
答案 且
解析 方程解得，
依題意得且，解得且.
5.已知，化簡(jiǎn)下列根式：

答案
解析 ；
；
.
6.正數(shù)滿足，則 ， .
答案
解析 ，兩邊同除以得，解得或(舍去)，
，.
7.化簡(jiǎn)________.
答案
解析 .
8.比較大?。? (填，或)．
答案
解析 方法 比較與大小，等價(jià)于比較與大小，
而，
所以，即.
方法 ， ，
顯然，所以，即.
9.已知，且，那么滿足條件的整數(shù)對(duì)有 組.
答案
解析 ，是正整數(shù)，
設(shè)，，其中，且是整數(shù)，
解得或，故所求整數(shù)對(duì)為共組.
10.把化為的形式.
答案 .
解析 令，則，
.
11.已知正數(shù)滿足，求的值.
答案
解析 由已知有，解得，
.
12.若是整數(shù)，則點(diǎn)叫整點(diǎn).若，則有多少個(gè)整點(diǎn)?
答案
解析 ，(在分子上“湊”出分母，達(dá)到分離常數(shù)的效果)
若要是整數(shù)，則也是整數(shù)，又因?yàn)槭钦麛?shù)，所以是的約數(shù)，
所以或，
所以滿足的點(diǎn)有，，，，共個(gè).


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