?第1.1章 數(shù)與式
1.1.1 絕對值

初中要求
1.借助數(shù)軸理解絕對值的意義，掌握求絕對值的方法，知道的含義(這里表示有理數(shù))
高中要求
1會求含絕對值的方程與不等式；
2 理解含絕對值的函數(shù).


1.絕對值的概念
在數(shù)軸上，一個數(shù)所對的點與原點的距離叫做該數(shù)的絕對值.
絕對值的代數(shù)意義：正數(shù)的絕對值是它的本身，負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，零的絕對值仍是零．即


2. 絕對值的性質
(1)，， ；
(2)或；
(3)，；
(4)三角不等式：，當且僅當同號或其中一個為時取等號.
3.解含絕對值的不等式
的解集是．
的解集是．(從幾何的角度思考)


【題型1】 絕對值的幾何意義
【典題1】 若，則 ， .
解析 依題意可得，，解得 ，.

【典題2】同學們都知道，|7-(-4)|表示7與-4之差的絕對值，實際上也可理解為7與-4兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．|7-4|也可理解為7與4兩數(shù)在數(shù)軸上所對的兩點之間的距離．試探索：
(1)求 ．
(2)找出所有符合條件的整數(shù)x，使得這樣的整數(shù)是 ．
(3)由以上探索猜想對于任何有理數(shù)x，是否有最小值？如果有寫出最小值請嘗試說明理由．如果沒有也要請嘗試說明理由．
解析(1)|7-(-4)|=11；故答案是：11；
(2)式子可理解為：在數(shù)軸上，某點到-6所對應的點的距離和到2所對應的點的距離之和為8，
所以滿足條件的整數(shù)x可為-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2，
故答案為：-6，-5，-4，-3，-2，-1，0，1，2．
(3)有最小值．最小值為4，
理由是：理解為，在數(shù)軸上表示x到1和5的距離之和，
∴當x在1與5間的線段上(即1≤x≤5)時：
即|x-1|+|x-5|的值有最小值，最小值為4．

變式練習
1. 若與互為相反數(shù)，則 .
答案
解析 依題意得，解得，則.
2.三個數(shù)在數(shù)軸上位置如圖所示，且|a|=|b|
(1)求出各數(shù)的絕對值；
(2)比較的大小；
(3)化簡．

答案(1)-c(2)-a＜a＜-c(3)-2c
解析(1)∵從數(shù)軸可知：，；
(2)∵從數(shù)軸可知：；
(3)根據(jù)題意得：，
則
3.設，求a+2b+c的最小值。
答案 6
解析 |x+1|+2|x-1|+|x+3|表示x到-1、-3的距離以及到1的距離的2倍之和，
所以當x在-1和1之間時，它們的距離之和最小，
此時a+2b+c=6；
故答案為：6．

【題型2】解含絕對值的方程
【典題1】 解方程：.
解析 當時，方程可化為，解得；
當時，方程可化為，解得；
綜上，原方程的解為或.

【典題2】 方程解的個數(shù) ( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
解析 當時，方程化為，解得或，均符合；
當時，方程化為，解得或，均符合；
故方程的解是，或，有個解，故選.
變式練習
1. 解方程：.
答案 或
解析 當時，方程可化為，解得；
(注意解要檢驗是否符合前提)
當時，方程可化為，解得；
綜上，原方程的解為或.
2.解方程：.
答案 或
解析 當時，方程可化為，解得；
當時，方程可化為，解得；
綜上，原方程的解為或.
3.解方程：.
解析 當時，方程化為，解得，符合條件；
(注意解要檢驗是否符合前提)
當時，方程化為，無解；
當時，方程化為，解得，符合條件；
綜上，原方程的解為或.


【題型3】 解含絕對值的不等式
【典題1】解不等式
解析 由解得. 故不等式的解集是.

【典題2】解不等式.
解析 不等式可化為或，解得或，
故不等式的解集是.
【典題3】解不等式.
解析 兩邊平方得，，
化簡得，解得，
故不等式的解集是.

變式練習
1.不等式的解集是 .
解析 當時，則不等式可化為，解得，又，；
當時，則不等式可化為，解得，又，；
(此處解題過程采取或這一格式，更好理解些)
綜上，可得不等式的解集是.
2.若關于的不等式的解集是，則的值是 ．
答案
解析 ，
由于解集是，所以.
3. 解不等式.
解析 不等式可化為或，解得或，
故不等式的解集是.

【題型4】含絕對值的函數(shù)
對于自變量不同的取值范圍有不同的解析式，這樣的函數(shù)叫做分段函數(shù).
比如狄利克雷函數(shù)函數(shù)等.
【典題1】畫的函數(shù)圖像，并求其最小值.
解析 ，函數(shù)圖像如下圖，

的最小值為。

變式練習
1.對于任意實數(shù)，若不等式恒成立，則的取值范圍是 .
答案 .
解析 表示與對應點的距離之差，畫數(shù)軸易得當時，其值等于
；當時，其值等于；當時，其值在和之間；則的最小值是，故.



1. 下列敘述正確的是 ( )
A.若，則 B. 若，則
C.若，則 D. 若，則
答案
解析 當時錯誤；當時錯誤；當時錯誤；正確故選.
2.以下不等式中，與不等式同解的不等式是 ( )
A. B.
C. D.
答案
3.方程解的個數(shù) ( )
A. 1 B.2 C.3 D.4
答案
解析 當時，方程化為，解得(舍去)或；
當時，方程化為，有一個正根一個負根，故此時有一個解；
故方程的解是個解，故選.
4. 是的三邊，化簡 .
答案
解析 .
5.計算 的值為 .
答案 或±4
解析 當a、b、c、中有一個數(shù)為負數(shù)時，其值為；
當a、b、c、中有兩個數(shù)為負數(shù)時，其值為；
當a、b、c、中三個數(shù)都為負數(shù)時，其值為；
當a、b、c、中三個數(shù)都為正數(shù)時，其值為.
綜上所述，答案為：0或±4．
6.當時，則代數(shù)式 .
答案
解析 當時，，方程無解；當，解得，
則.
7.方程的解的個數(shù)是 個.
答案 無數(shù)
解析 當時，方程化為，解得，符合；
當時，方程化為，該方程有無數(shù)個解；
故方程的解是，有無數(shù)個.
8.不等式的解集是 .
答案
解析 或或，
故不等式的解集是
9.解方程：.
答案 或
解析 當時，方程化為，解得，符合條件；
當時，方程化為，解得，不滿足，舍去；
當時，方程化為，解得，符合條件；
綜上，原方程的解為或.
10.解不等式：．
答案 或
解析 由，得；由，得；
①若，不等式可變?yōu)椋?br /> 即4，解得，又，；
②若，不等式可變?yōu)椋?br /> 即，不存在滿足條件的；
③若，不等式可變?yōu)椋?br /> 即， 解得．
又，．
綜上所述，原不等式的解集為或．
11.畫出分段函數(shù)的圖像，并求其最小值.
解析 ，函數(shù)圖像如下圖，

由圖可知函數(shù)的最小值為，當時取到.
12.結合數(shù)軸與絕對值的知識回答下列問題：
(1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是 ；表示-3和2兩點之間的距離是 ；一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點之間的距離等于|m-n|．
(2)如果|x+1|=3，那么x= ；
(3)若|a-3|=2，|b+2|=1，且數(shù)a、b在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是點A、點B，則A、B兩點間的最大距離是，最小距離是 ．
(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，則|a+4|+|a-2|= ．
答案 (1)3，5； (2)2或-4(3)8，2(4)6．
解析 (1)數(shù)軸上表示4和1的兩點之間的距離是：4-1=3；表示-3和2兩點之間的距離是：2-(-3)=5，故答案為：3，5；
(2)|x+1|=3，
x+1=3或x+1=-3，
x=2或x=-4．
故答案為：2或-4；
(3)∵|a-3|=2，|b+2|=1，
∴a=5或1，b=-1或b=-3，
當a=5，b=-3時，則A、B兩點間的最大距離是8，
當a=1，b=-1時，則A、B兩點間的最小距離是2，
則A、B兩點間的最大距離是8，最小距離是2；
故答案為：8，2；
(4)若數(shù)軸上表示數(shù)a的點位于-4與2之間，
|a+4|+|a-2|=(a+4)+(2-a)=6．?
故答案為：6．

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