?第2.5章 基本初等函數(shù)
2.5.1 冪函數(shù)

高中要求
1了解冪函數(shù)的概念；
2結(jié)合函數(shù)，， 的圖象，了解它們的變化情況

1 冪函數(shù)的定義
一般地，形如的函數(shù)稱為冪函數(shù)，其中是自變量，為常數(shù)．
注 注意冪函數(shù)中的系數(shù)是，底數(shù)是變量，指數(shù)是常數(shù)；

2正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義
(1)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，規(guī)定：
巧記子內(nèi)母外(根號內(nèi)的作分子，根號外的作為分母)
(2)正數(shù)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義：
Eg ，，.
(3)的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于，的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒有意義.
3冪函數(shù)圖像及其性質(zhì)
(1) 冪函數(shù)的圖象．

(2) 冪函數(shù)的性質(zhì)






圖象X|X|K]





定義域





值域





奇偶性
奇函數(shù)
偶函數(shù)
奇函數(shù)
非奇非偶
奇函數(shù)
單調(diào)性
在上遞增
在上遞減
在上遞增
在上遞增
在
上遞增
在上遞減
在上遞減
定點(diǎn)





(3)性質(zhì)
① 所有的冪函數(shù)在都有定義，并且圖象都過點(diǎn)；
② 時(shí)，冪函數(shù)的圖象通過原點(diǎn)，并且在上是增函數(shù)．
特別地，當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)變化快，圖象下凹；當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)變化慢，圖象上凸.
Eg 圖象上凸，圖象下凹，在上是增函數(shù)．

③ 時(shí)，冪函數(shù)的圖象在上是減函數(shù)．在第一象限內(nèi)，當(dāng)從右邊趨向原點(diǎn)時(shí)，圖象在軸右方無限地逼近軸正半軸，當(dāng)趨于時(shí)，圖象在軸上方無限地逼近軸正半軸．
Eg ，




【題型1】冪函數(shù)的概念
【典題1】已知函數(shù)是冪函數(shù)，則______．




變式練習(xí)
1.已知是冪函數(shù)，則 .

2.冪函數(shù)的圖象過點(diǎn)，則_________．


【題型2】 冪函數(shù)的圖象及其性質(zhì)
【典題1】 冪函數(shù)在第一象限的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系是 (　　)

A． B． C． D．


【典題2】已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱，且在上是減函數(shù)，則 .



【典題3】已知點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上，點(diǎn)在冪函數(shù)的圖象上．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)判斷函數(shù)的單調(diào)性并用定義證明；
(3)問為何值時(shí)有．















變式練習(xí)
1.任意兩個冪函數(shù)圖象的交點(diǎn)個數(shù)是(　　)
A．最少一個，最多三個 B．最少一個，最多二個
C．最少個，最多三個 D．最少個，最多二個
2. 函數(shù)在第一象限內(nèi)的圖象依次是圖中的曲線(　　)

A.，，， B.，，， C.，，， D.，，，
3.冪函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)，則是(　　)
A．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) B．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)
C．奇函數(shù)，且在是減函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)
4.如圖所示是函數(shù)(且互質(zhì))的圖象，則(　　)

是奇數(shù)且 是偶數(shù)，是奇數(shù)，且
是偶數(shù)，是奇數(shù)，且 是偶數(shù)，且
5.已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞增，則的解析式是 .
6.已知，若冪函數(shù)為奇函數(shù)，且在上遞減，則　 ?。?br /> 7.已知冪函數(shù)是偶函數(shù)，且在上是減函數(shù)，求函數(shù)的解析式．








8.已知冪函數(shù)
(1)若為偶函數(shù)，且在上是增函數(shù)，求的解析式；
(2)若在上是減函數(shù)，求的取值范圍．








【題型3】 冪函數(shù)的應(yīng)用
【典題1】 比較下列各組數(shù)的大?。?br /> (1) 和； (2) 和；





變式練習(xí)
1.已知，，，則( )
A． B． C． D．
2.已知為冪函數(shù)，且為奇函數(shù)．
(1)求函數(shù)的解析式；(2)解不等式．





















1.圖中曲線是冪函數(shù)在第一象限的圖象，已知取四個值，則相應(yīng)于曲線，的依次為 (　　)

． ．
2.若三個冪函數(shù)在同一坐標(biāo)系中的圖象如圖所示，則的大小關(guān)系是(　　)


3.下列命題中：
①冪函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)和點(diǎn)；
②冪函數(shù)的圖象不可能在第四象限；
③當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)的圖象是一條直線；
④當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)是增函數(shù)；
⑤當(dāng)時(shí)，冪函數(shù)在第一象限內(nèi)的函數(shù)值隨的值增大而減?。?br /> 其中正確的是(　　)
A．①和④ B．④和⑤ C．②和③ D．②和⑤
4.函數(shù)的圖象是(　　)
A． B．C． D．

5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，則的值為 　 ．
6.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則的值為 　 ．
7.已知冪函數(shù)過點(diǎn)，則的解析式是 ，定義域是 ，在上的單調(diào)性是 .
8.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于y軸對稱，且在上是減函數(shù)，實(shí)數(shù)滿足，則的取值范圍是　 ?。?br /> 9.已知冪函數(shù)，且．
(1)求函數(shù)的解析式；
(2)證明函數(shù)在定義域上是增函數(shù)．







10.已知函數(shù)是冪函數(shù)且在上為減函數(shù)，函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，試求實(shí)數(shù)的值．


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