6 . 3-次函數(shù)的圖像
正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)，正比例函數(shù)的圖象是一條直線，那么一次函數(shù)的圖象也是一條直線嗎？從表達式上看，正比例函數(shù)與一次函數(shù)相差什么？如果體現(xiàn)在圖象上又會有怎樣的關系呢？ 通過本節(jié)課的學習，同學們就會明白了，下面就讓我們一起來學習本節(jié)課的內容.
知識點 1 一次函數(shù)的圖像
一次函數(shù) y＝kx＋b (k、b 為常數(shù)，且k≠0)的圖像是一條直線，我們稱它為直線y＝kx＋b.
觀察上面的圖片，并將你獲得的信息填入下表：
設燃燒過程中香的長度為 y (cm)，燃燒時間為x (min)，你能寫出y與x之間的函數(shù)表達式嗎?
依次連接圖片中香的頂端，你有什么發(fā)現(xiàn)?
由圖片可知，點燃后，香的長度越來越短，平均每分鐘縮短0.8 cm，直至燃盡，所以y與x之間的函數(shù)表達式為 y＝－0.8x＋16.
如圖 6－7，以 x 軸表示香的燃燒時間，y 軸表示香的長度，建立平面直角坐標系，并分別描點(0，16)、(5，12)、(10，8)、(15，4)、(20，0).
圖 6－7 中描出的5個點在一條直線上嗎?
這些點都在一條直線上.
按下列步驟，在平面直角坐標系中，畫一次函數(shù)y＝2x＋1 的圖像.
(1) 列表：恰當?shù)剡x取自變量 x 的幾個值，計算函數(shù) y 對應的值；
(2) 描點：以表中各對 x、y 的值為點的坐標，在平面直角坐標系中描出相應的點；
(3) 連線：順次連接描出的各點.
你能用上面的方法畫一次函數(shù) y＝－x＋2 的圖像嗎?
一次函數(shù) y＝kx＋b ( k、b為常數(shù)，且 k≠0)的圖像是一條直線.
由于兩點確定一條直線，畫一次函數(shù)的圖像時，只要先確定這個圖像上兩個點的位置，再過這兩點畫直線就可以了.
例 在平面直角坐標系中，畫一次函數(shù) y＝－3x＋3的圖像.
解：把x＝0代入y＝－3x＋3，得 y＝3. 把 y＝0代入y＝－3x＋3，得x＝1. 過點(0，3)、(1，0)畫一條直線，這條直線就是一次函數(shù) y＝－3x＋3的圖像.
2. 在同一平面直角坐標系中，畫函數(shù) y＝2x＋1和 y＝2x－1的圖像.這兩條直線的位置有什么關系?
知識點 2 一次函數(shù)的圖像與性質
像上山越走越高那樣，有些一次函數(shù)的圖像從左向右不斷上升；像下山越走越低那樣，有些一次函數(shù)的圖像從左向右不斷下降.
比較圖 6－11、圖 6－12 中兩個一次函數(shù)的圖像，你有什么發(fā)現(xiàn)?
從左向右看，函數(shù) y＝2x＋4的圖像是上升的. x 的值越大，對應的 y 值也越大.
在一次函數(shù) y＝kx＋b中： 如果 k＞0 那么函數(shù)值 y 隨自變量 x 增大而增大 ； 如果 k＜0，那么函數(shù)值 y 隨自變量 x 增大而減小.
根據(jù)函數(shù)表達式 y1＝2x、y2 ＝2x＋3、y3＝2x－3，你能說出這 3個函數(shù)的圖像有怎樣的位置關系嗎?
對于同一個 x 的值， y2比y1大3，y3比y1小3.
函數(shù) y2＝2x＋3、y3＝2x－3的圖像，可以由函數(shù) y1＝2x的圖像平移得到.
把函數(shù) y1＝2x 的圖像分別向上、向下平移 3 個單位長度，就分別得到函數(shù) y2＝2x＋3、y3＝2x－3 的圖像.
一般地，正比例函數(shù) y＝kx 的圖像是經過原點的一條直線； 一次函數(shù) y＝kx＋b 的圖像可以由正比例函數(shù) y＝kx 的圖像向上( b＞0)或向下( b＜0 )平移 | b | 個單位長度得到.
2. 畫一次函數(shù) y＝2x－4 的圖像，并根據(jù)圖像回答問題： (1)當x＝3.5時，y的值是多少? (2)當y＝－2 時，x 的值是多少? (3) 當x為何值時，y＞0、y＝0、y＜0?
解：在y＝2x－4中，當x＝0時，y＝－4； 當y＝0時，x＝2.
過點(0，－4)，(2，0) 畫直線，得函數(shù) y＝2x － 4的圖像，如圖所示.
(1) 當x＝3.5時， y＝2×3.5－4＝3. (2) 當y＝－2時，－2＝2x－4，解得x＝1. (3) 觀察圖像可知，當x＞2時，y＞0；當x＝2時，y＝0；當x＜2時，y＜0.
1. 在同一平面直角坐標系中，畫一次函數(shù) y＝4x－4 和 y＝－4x＋4 的圖像，并寫出它們的交點坐標.
解：過點(0，－4)，(1，0)作直線，即得一次函數(shù) y＝4x－4 的圖像；過點(0，4)，(1，0)作直線，即得一次函數(shù) y＝－4x＋4 的圖像，如圖所示.它們的交點坐標是(1，0).
2. 根據(jù)所給函數(shù)圖像，寫出函數(shù)表達式：
解：在函數(shù) y＝kx＋b(k≠0)中，當 k＞0時，函數(shù)的值隨自變量增大而增大，當 k＜0 時，函數(shù)的值隨自變量增大而減小，當k≠0，b＝0 時，函數(shù)的圖像經過原點. 因此，所給函數(shù)中， 函數(shù)的值隨白戀景增大而增大的有(3)(4)(5)； 函數(shù)的值隨自變量增大而減小的有(1)(2)(6)； 函數(shù)的圖像經過原點的有(3)(6).
4. 根據(jù)下列一次函數(shù) y＝k＋b的圖像填空： (1) k_____0，b______0； (2) k_____0，b______0； (3) k_____0，b______0； (4) k_____0，b______0；
5. (1)如圖，指出平面直角坐標系中的兩個圖像 l1、l2 可以怎樣由 y＝2x 的圖像得到，并寫出相應的函數(shù)表達式；
解：將 y＝2x 的圖像向上平移3個單位長度得到l1，函數(shù)表達式為 y＝2x＋3； 將 y＝2x 的圖像向下平移2個單位長度得到 l2 函數(shù)表達式為 y＝2x－2.

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6.3 一次函數(shù)的圖像

版本： 蘇科版（2024）

年級： 八年級上冊

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