6 . 4用一次函數(shù)解決問(wèn)題
名聞遐邇的玉龍雪山，位于云南省麗江城北，由 12 座山峰組成主峰海拔 5596 m.遠(yuǎn)眺玉龍雪山，在海拔 4 500 m 處，有一條黑白分明的分界線一雪線，雪線以上是銀光閃爍的冰雪世界，雪線以下是草木蔥蔥的原始森林.
由于氣候變暖等原因，2002 ～ 2007 年間，玉龍雪山的雪線平均每年上升約 10 m.假設(shè)雪線的高度按此速度不斷變化，幾年后玉龍雪山的雪線將由現(xiàn)在的海拔 4500 m 退至山頂而消失?
按照上面的假設(shè)，雪線海拔 y(m)是時(shí)間(年)的一次函數(shù)，函數(shù)表達(dá)式為 y＝4 500＋10x. 于是，我們可以用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)解決上述問(wèn)題.
分析實(shí)際問(wèn)題中變量與變量之間的關(guān)系，如果這種關(guān)系可以用一次函數(shù)表達(dá)式表示，那么就可用一次函數(shù)的相關(guān)知識(shí)來(lái)解決實(shí)際問(wèn)題.
問(wèn)題1 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品，已知該工廠正常運(yùn)轉(zhuǎn)的固定成本為每天 12 000 元，該產(chǎn)品的原料及加工成本合計(jì)為每件 900 元. (1) 寫(xiě)出每天的生產(chǎn)成本(包括固定成本和原料及加工成本)與產(chǎn)量之間的函數(shù)表達(dá)式；
解：(1) 每天的生產(chǎn)成本 (元)與產(chǎn)量 (件)之間的函數(shù)表達(dá)式是： y1＝900x＋12 000；
(2) 如果每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為 1 200 元，那么每天生產(chǎn)多少件產(chǎn)品，該工廠才有贏利?
解：每天銷(xiāo)售收入 y2(元)與產(chǎn)量 (件)之間的函數(shù)表達(dá)式是：y2＝1200x. 當(dāng)銷(xiāo)售收入 y2 大于生產(chǎn)成本 時(shí)，工廠有贏利，即1200x＞900x－12 000. 解得 x ＞40. 每天生產(chǎn)的產(chǎn)品超過(guò) 40 件時(shí)，工廠才有贏利.
“精準(zhǔn)扶貧，暖心助力”．駐村書(shū)記通過(guò)某平臺(tái)直播帶貨，幫助當(dāng)?shù)匕傩彰撠氈赂唬O(píng)果成本價(jià)為每千克5元，銷(xiāo)售價(jià)為每千克8元；蜜橘成本價(jià)為每千克6元，銷(xiāo)售價(jià)為每千克10元．通過(guò)直播，兩種水果共銷(xiāo)售5000千克，蘋(píng)果的銷(xiāo)售量不少于2000 千克； (1) 若銷(xiāo)售的蘋(píng)果和蜜橘的總成本為27400 元，則銷(xiāo)售蘋(píng)果_______千克，銷(xiāo)售蜜橘______ 千克；
(2) 當(dāng)蘋(píng)果的銷(xiāo)量為多少時(shí)，兩種水果的總利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？
解：設(shè)銷(xiāo)售蘋(píng)果a千克，總利潤(rùn)為w 元，則銷(xiāo)售蜜橘(5000－a)千克， w＝(8－5)a＋ (10－6)(5000－a) ＝－a+20 000， ∵－ 1 ＜ 0， ∴ w 隨a 的增大而減?。?br/>又∵ a≥2 000， ∴當(dāng)a＝2 000 時(shí)，總利潤(rùn)最大， 則最大利潤(rùn)為－ 2 000＋20 000＝18 000(元)． 答：當(dāng)蘋(píng)果的銷(xiāo)量為2 000 千克時(shí)，兩種水果的總利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是18 000 元．
在人才招聘會(huì)上，某公司承諾：應(yīng)聘者被錄用后第 1年的月工資為2 000 元，在以后的一段時(shí)間內(nèi)，每年的月工資比上一年的月工資增加300 元. 某人在該公司連續(xù)工作n年，寫(xiě)出他第n年的月工資y (元)與n的函數(shù)表達(dá)式.
他第5年的年收入能否超過(guò) 40 000 元?
某人在該公司連續(xù)工作 n 年，第 n 年的月工資y(元)與n的函數(shù)表達(dá)式為y＝2 000＋300(n－1)，即y＝300n＋1 700. 第5年他的年收入為(300×5＋1700)×12－3200×12＝38400(元)， 第5年的年收人不能超過(guò)40 000元.
1. 根據(jù)本節(jié)開(kāi)頭提供的有關(guān)數(shù)據(jù)和所作的假設(shè)，多少年 后玉龍雪山的雪線會(huì)消失?
解：根據(jù)題意，得5596＝4 500＋10x， 解得 x＝109.6， ∴x≈110. ∴大約110年后玉龍雪山的雪線會(huì)消失.
2. 某市出租車(chē)的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：不超過(guò) 3 千米計(jì)費(fèi)為 7.0 元， 3 千米后按 2.4 元/千米計(jì)費(fèi). (1) 寫(xiě)出車(chē)費(fèi) y (元)與路程x(千米)之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2)小亮乘出租車(chē)出行，付費(fèi)19元，計(jì)算小亮乘車(chē)的路程.
解：∵19＞7， ∴路程大于3千米，把y＝19 代入 y＝2.4x－0.2， 得19＝2.4x－0.2， 解得x＝8， ∴小亮乘車(chē)的路程是8千米.
問(wèn)題2 甲、乙兩家公司出租汽車(chē)收取的租車(chē)費(fèi) y1(元)、y2(元)都是用車(chē)?yán)锍?x(千米)的函數(shù)，它們的圖像如圖.
(1) 用車(chē)?yán)锍潭嗌贂r(shí)，甲、乙兩公司的租車(chē)費(fèi)相等?
解：由圖可知： 當(dāng)x＝2000 時(shí)，兩個(gè)函數(shù)的圖像相交于一點(diǎn)，y1＝y(tǒng)2. 用車(chē)?yán)锍虨?2000 千米時(shí)，兩家公司的租車(chē)費(fèi)相等.
(2) 用車(chē)?yán)锍潭嗌贂r(shí)，甲公司的租車(chē)費(fèi)比乙公司少?
解：當(dāng)x＜2000時(shí)，y1＜y2. 用車(chē)?yán)锍绦∮?2000 千米時(shí)，甲公司的租車(chē)費(fèi)比乙公司少.
(3) 用車(chē)?yán)锍潭嗌贂r(shí)，乙公司的租車(chē)費(fèi)比甲公司少?
解：當(dāng) x＞2000時(shí)，y2＜y1. 用車(chē)?yán)锍檀笥?2 000 千米時(shí)，乙公司的租車(chē)費(fèi)比甲公司少.
Ⅰ 號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔10 m 處出發(fā)，以10m/min的速度勻速上升，Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)從海拔30 m 處同時(shí)出發(fā)，以a m/min的速度勻速上升，經(jīng)過(guò)5 min 兩架無(wú)人機(jī)位于同一海拔高度b m．無(wú)人機(jī)海拔高度y(m)與時(shí)間x(min)的關(guān)系如圖．兩架無(wú)人機(jī)都上升了15 min．
(1) 求b 的值及Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)海拔高度y(m)與時(shí)間x(min)的關(guān)系式；
解：(1)由題意，得經(jīng)過(guò)5 min 無(wú)人機(jī)位于海拔高度b＝10＋10×5＝60(m)處． 設(shè)Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)海拔高度y(m)與時(shí)間x(min)的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx＋t.
(2) 問(wèn)無(wú)人機(jī)上升了多少時(shí)間，Ⅰ號(hào)無(wú)人機(jī)比Ⅱ號(hào)無(wú)人機(jī)高28 m ？
某蔬菜基地要把一批新鮮蔬菜運(yùn)往外地，有兩種運(yùn)輸方式可供選擇，主要參考數(shù)據(jù)如下：
(1) 請(qǐng)分別寫(xiě)出汽車(chē)、火車(chē)運(yùn)輸?shù)目傎M(fèi)用 y1(元)、y2(元)與運(yùn)輸路程 (千米)之間的函數(shù)表達(dá)式；
(2) 你認(rèn)為用哪種運(yùn)輸方式較好?
問(wèn)題3 根據(jù)圖 6－15 中的函數(shù)圖像，說(shuō)出 x、y 變化過(guò)程的實(shí)際意義.
分析：x、y 的變化過(guò)程可以分為三個(gè)部分. (1) 當(dāng)x從0增大到8時(shí)，y從0增大到 2； (2) 當(dāng)x從8增大到14 時(shí)， y的值不變； (3) 當(dāng)x從14 增大到24 時(shí)， y從2減小到0. 如果給 x、y 這兩個(gè)變量以某種實(shí)際意義，那么這個(gè)圖像就可以表示某種實(shí)際的變化過(guò)程.
解：設(shè) x 表示時(shí)間(min)，y 表示離出發(fā)地的路程(km)，則圖6－15的實(shí)際意義可以是： 小明以250m/min的速度勻速騎自行車(chē)8 min到達(dá)某地； 在該地休息了6min； 然后以200m/min的速度速騎自行車(chē)10min返回出發(fā)地
仿照上面的過(guò)程，試根據(jù)圖 6－15，說(shuō)出 x、y 變化過(guò)程的另一種實(shí)際意義.
x 代表時(shí)間(秒)，y 代表速度(米/秒)，小明推一輛小車(chē)沿斜面滑下，速度逐漸增大，經(jīng)過(guò) 8 秒鐘，速度變?yōu)?2米/秒，然后在光滑的水平而勻速行駛，6 秒后速度開(kāi)始逐漸變小，又過(guò)了 10 秒后速度變?yōu)?0. (答案不唯一)
甲、乙兩人沿同一直道從A 地去B 地． 甲比乙早1min出發(fā)，乙的速度是甲的2倍．在整個(gè)行程中，甲離A 地的距離y1(單位：m)與時(shí)間x(單位：min)之間的函數(shù)關(guān)系如圖6.4－3 所示．
(1) 在圖中畫(huà)出乙離A 地的距離y2(單位：m)與時(shí)間x(單位：min)之間的函數(shù)圖像；
(2) 若甲比乙晚5min到達(dá)B地，求甲整個(gè)行程所用的時(shí)間．
解：設(shè)甲的速度是 v m / min，乙整個(gè)行程所用的時(shí)間為t min， 由題意，得2v·t＝ (t＋1＋5)v． 解得 t＝6， 則 6＝1＋5＝12(min)．答：甲整個(gè)行程所用的時(shí)間為12 min．
1. 甲汽車(chē)出租公司按每 100 km 150 元收取租車(chē)費(fèi)；乙汽 車(chē)出租公司按每 100 km 50 元收取租車(chē)費(fèi)，另加管理 費(fèi) 800 元你認(rèn)為應(yīng)如何選擇合適的汽車(chē)出租公司?
解：設(shè)汽車(chē)行駛路程為x km，甲汽車(chē)出租公司收取租車(chē)費(fèi) y1元，乙汽車(chē)出租公司收取租車(chē)費(fèi) y2 元，
由圖像可知：①當(dāng)汽車(chē)行駛路程為 800 km 時(shí)，y1＝y(tǒng)2，租用兩家公司的汽車(chē)費(fèi)用相等； ②當(dāng)汽車(chē)行駛路程不足 800 km 時(shí)， y1＜ y2 ，租用甲公司的汽車(chē)費(fèi)用較低； ③當(dāng)汽車(chē)行駛路程大于800 km 時(shí)，y1＞y2，租用乙公司的汽車(chē)費(fèi)用較低.
當(dāng)x＝3時(shí)，y1＝y(tǒng)2； 當(dāng)x＞3時(shí)，y1＜y2； 當(dāng)x＜3時(shí)，y1＞y2. 故當(dāng)有 3人參加旅游時(shí)，選擇兩家旅行社的費(fèi)用一樣；當(dāng)旅游人數(shù)超過(guò)3人時(shí)，選擇A 旅行社費(fèi)用低；當(dāng)旅游人數(shù)不足3人時(shí)，選擇 B 旅行社費(fèi)用低.
1. 拖拉機(jī)開(kāi)始工作時(shí)，油箱中有油 40 L，已知該拖拉機(jī) 每小時(shí)耗油6L.寫(xiě)出油箱中的剩余油量 Q(L)與工作時(shí)間 t (h)之間的函數(shù)表達(dá)式，并計(jì)算工作 2.5h后油箱中的剩 余油量.
2. 如圖，公路上有A、B、C三個(gè)汽車(chē)站，一輛汽車(chē)8∶00 從離A站10 km的P地出發(fā)，向C站勻速行駛，15min 后 離A站30km. (1) 設(shè)出發(fā) x h后，汽車(chē)離 A 站 y km，寫(xiě)出 y 與 x 之間的函數(shù)表達(dá)式.
(2) 當(dāng)汽車(chē)行駛到離 A 站250 km的B站時(shí)，接到通知要在 12∶00 前趕到離 B站60 km的C站，汽車(chē)按原速行駛，能否準(zhǔn)時(shí)到達(dá)?如果能，那么汽車(chē)何時(shí)到達(dá) C站?
3. 某電信公司推出甲、乙兩種收費(fèi)方式供手機(jī)用戶選擇： 甲種方式每月收月租費(fèi) 8元，每分鐘通話費(fèi)為 0.2元； 乙種方式不收月租費(fèi)，每分鐘通話費(fèi)為 0.3元. 試根據(jù) 通話時(shí)間的多少選擇合適的付費(fèi)方式.
解：設(shè)每月通話時(shí)間為x分鐘，甲種方式費(fèi)用為y1元，乙種方式費(fèi)用為 y2 元，則 y1＝8＋0.2x(x＞0，x為整數(shù))，y2＝0.3x(x＞0，x為整數(shù)). 作出函數(shù)圖像如圖所示.
當(dāng)x＝80時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)x＜80時(shí)，y1＝y(tǒng)2；當(dāng)x＞80時(shí)，y1＜y2.
故當(dāng)通話時(shí)間為 80分鐘時(shí)，兩種方式都可以； 當(dāng)通話時(shí)間不足80分鐘時(shí)，乙種方式費(fèi)用低，應(yīng)選乙種方式； 當(dāng)通話時(shí)間超過(guò) 80 分鐘時(shí)，甲種方式費(fèi)用低，應(yīng)選甲種方式.
4. 某廠計(jì)劃生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品共 50件，已知A產(chǎn)品每件 可獲利潤(rùn)700元，B 產(chǎn)品每件可獲利潤(rùn) 1200元，設(shè)生 產(chǎn)兩種產(chǎn)品的獲利總額為 y(元)，寫(xiě)出y與生產(chǎn)A 產(chǎn)品 的件數(shù) 之間的函數(shù)表達(dá)式.
解：生產(chǎn)A種產(chǎn)品件，則生產(chǎn)B 種產(chǎn)品(50－x)件， ∴ y＝700x＋1200(50－x) ＝60 000－500x (0＜x＜50，x為整數(shù)).
5.某技工培訓(xùn)中心有鉗工 20名、車(chē)工30名，現(xiàn)將這 50 名 技工派往A、B兩地工作，兩地技工的月工資情況如下：
(1) 若派往A地x名鉗工，余下的技工全部派往B地，寫(xiě)出這 50名技工的月工資總額 y(元)與之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出x的取值范圍；
解：派往 A 地 x 名工，則派往 B 地的工為(20－x)名，車(chē)工為30名，則 y＝1800x＋1600(20－x) ＋1200×30 ＝200x＋68 000 (0≤x≤20，x為整數(shù)).
(2) 若派往A地 x 名車(chē)工，余下的技工全部派往 B 地，寫(xiě)出這 50 名技工的月工資總額 y (元)與之間的函數(shù)表達(dá)式，并寫(xiě)出 x 的取值范圍.
解：派往 A 地車(chē)工 名，則派往 B 地的車(chē)工為(30－x)名，鉗工為 20名， 則 y＝1 600x＋1 200× (30－x) ＋1600×20 ＝400x＋68 000 (0＜x＜30，x為整數(shù)).

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6.4 用一次函數(shù)解決問(wèn)題

版本： 蘇科版（2024）

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