1.探索并理解線段垂直平分線是具有特殊性質得點的集合；
2.能運用線段垂直平分線的判定定理解決問題；
3.會用直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平分線.
如果一個點在一條線段的垂直平分線上，那么這個點到這條線段________的距離相等.
反過來， 如果一個點到一條線段兩端的距離相等，那么這個點在這條線段的垂直平分線上嗎？
操作 在一張薄紙上畫一條線段AB．
活動一 探究“到線段兩端距離相等的點”與“線段的垂直平分線”之間的關系
思考1 你能在線段AB上找到一點到線段AB兩端距離相等嗎？
思考2 你能在線段AB外找到一點到線段AB兩端距離相等嗎？
以線段AB為底邊的等腰三角形的頂點
思考3 這樣的點你能找到多少個？
猜想：這條直線與線段AB有什么關系？
這條直線是線段AB的垂直平分線
思考4 怎樣證明你的猜測呢？小組合作完成猜想的證明．
已知：如圖，點P是線段AB外一點，且PA =PB．求證：點P 在線段AB 的垂直平分線上．
你還有其他的證明方法嗎？
方法2：取線段AB的中點為O，連接PO并延長.
在△POA和△POB中,
∴△POA≌△POB(SSS)，∴∠POA=∠POB，
∵∠POA+∠POB=180°，∴2∠POA=180°,∠POA=90°.∴PO⊥AB.∵ AO =BO，∴點P在線段AB的垂直平分線上.
方法3:作∠APB的角平分線所在的直線PO,交AB于點O.
∴ △POA ≌△POB（SAS）．∴ ∠POA=∠POB，AO =BO.
在△POA 和△POB 中，
到線段兩端距離相等的點，在線段的垂直平分線上．
線段的垂直平分線的判定定理：
∴點P在線段AB的垂直平分線上（到線段兩端距離相等的點，在線段的垂直平分線上）.
判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
線段垂直平分線是到線段兩端距離相等的點的集合．
思考1 若PA=PB，過點P作直線l，則l是線段AB的垂直平分線嗎？
不一定是，經過一點的直線有無數條.
活動二 探究用直尺和圓規(guī)作線段的垂直平分線的方法
思考2 若PA=PB，同時MA=MB，則直線PM是線段AB的垂直平分線嗎？
是，理由：兩點確定一條直線.
∵PA =PB，MA =MB，∴點P、M均在線段AB的垂直平分線上.　根據兩點確定一條直線，∴直線PM垂直平分線段AB.
判定線段垂直平分線的方法
思考3 你能用尺規(guī)畫出任一條已知線段的垂直平分線嗎？如果能，說說你作圖的依據．
2.過C、D兩點作直線.
直線CD就是線段AB的垂直平分線．
例 已知：如圖，△ABC中，AB、AC的垂直平分線l1、l2相交于點O. 求證：點O在BC的垂直平分線上
證明：連接OA、OB、OC.∵ 點O在AB的垂直平分線上， ∴ OA＝OB，（線段垂直平分線上的點與線段兩端距離相等）同理 OA＝OC.∴ OB＝OC.∴ 點O在BC的垂直平分線上（與線段兩端距離相等的點在這條線段的垂直平分線上) .
1. 已知：如圖，點D在BC邊上． （1）若AD＝BD，則點D在線段_______的垂直平分線上； （2）若AC＝CD，則點C在線段_______ 的垂直平分線上； （3）若AB＝AC，則點A在線段_______ 的垂直平分線上.
2. 如圖，四邊形ABCD是一個“風箏”骨架，其中AB=AD，CB=CD.
(1)小明認為四邊形ABCD的兩條對角線AC⊥BD，垂足為E，并且BE=ED，你同意他的說法嗎？
解：同意，理由∵AB=AD，CB=CD，∴AC是BD的垂直平分線，∴AC⊥BD，BE=EB.
(2)設對角線AC=a，BD=b，請用含a、b的式子表示四邊形ABCD的面積.
解：S四邊形ABCD=S△CBD+S△ABD
3. 用直尺和圓規(guī)作圖:如圖，已知∠AOB和C、D兩點，在OB上求作一點P，使PC=PD.
解：連接CD，作CD的垂直平分線與OB相交，交點即為所求.
用直尺和圓規(guī)作已知線段的垂直平分線
1.如圖，AC＝AD，BC＝BD，則有(　 　)A．AB垂直平分CD B．CD垂直平分ABC．AB與CD互相垂直平分 D．以上都不正確
2.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB，FA＝FB，這樣的點的組合共有( )種.A. 1 B. 2 C. 3 D. 無數
3. 已知△ABC的三邊的垂直平分線交點在△ABC的邊上，則△ABC的形狀為(　　　)A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．不能確定
4. 如圖，點D在△ABC的邊BC上，且BC=BD+DA，則點D在線段( )的垂直平分線上. A. AB B. AC C. BC D.不能確定
6.如圖，在△ABC中，BC的垂直平分線分別交AC，BC于點D，E.若△ABC的周長為30，BE＝6，則△ABD的周長為______．
證明：∵AD⊥BC，BD＝DC，∴AD是BC的垂直平分線， ∴AB＝AC.∵AB＋BD＝DE， ∴AB＋BD＝DC＋CE，∴AC＝CE， ∴點C在AE的垂直平分線上．
7. 如圖，已知AD⊥BC，BD＝DC，AB＋BD＝DE， 求證：點C在AE的垂直平分線上．
8. 已知：如圖，點E是∠AOB的平分線上一點，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分別為C、D，連接CD.求證：OE是CD的垂直平分線.
∵OE平分∠AOB，∴∠DOE=∠COE.
∴ OE是CD的垂直平分線.
又∵OE=OE， ∴△OED≌△OEC（AAS）.
∴DO=CO，DE=CE.
∵EC⊥OA，ED⊥OB，∴∠EDO=∠ECO=90°.
9. 某城區(qū)規(guī)劃局為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區(qū)A、B、C（如圖所示）之間建購物商場，該購物商場建在何處才能使這三個住宅小區(qū)的居民到該購物商場距離相等？(1)在圖中用尺規(guī)作圖確定購物商場的位置；(保留作圖痕跡)
解：(1)作△ABC任意兩邊的垂直平分線,交點即為所求.
(2)證明：如答圖②，連接PA，PB，PC.∵PF，PQ是BC，AB的垂直平分線，∴PB＝PC，PB＝PA， ∴PA＝PB＝PC.
(2)證明你所確定的位置到三個住宅小區(qū)的距離相等．
10. 如圖，在△ABC中，AB邊的垂直平分線l1交BC于點D，AC邊的垂直平分線l2交BC于點E，l1與l2相交于點O，連接AD，AE，△ADE的周長為12 cm.(1)求BC的長；
解：(1)∵l1垂直平分AB，∴DB＝DA， 同理可得EA＝EC.∴BC＝BD＋DE＋EC ＝DA＋DE＋EA＝12 cm.
(2)分別連接OA，OB，OC，若△OBC的周長為26 cm，求OA的長．
解：(2)∵l1垂直平分AB，∴OB＝OA.同理可得OA＝OC，∴OA＝OB＝OC.又∵△OBC的周長為26 cm， BC＝12 cm，∴OB＋OC＝26－12＝14(cm)，∴OB＝OC＝7 cm， ∴OA＝7 cm.

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2.4 線段、角的軸對稱性

版本： 蘇科版（2024）

年級： 八年級上冊

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