1. 探索并證明角平分線的性質(zhì)定理和判定定理；
2.了解角平分線是具有特殊性質(zhì)的點(diǎn)的集合.
1.下圖中表示點(diǎn)P到直線l的距離的是________________.
點(diǎn)到直線的距離是指：點(diǎn)到直線的垂線段的長(zhǎng)度.
2. 如果點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，那么____________；
反過來，如果QA=QB，那么點(diǎn)Q在______________________.
線段AB的垂直平分線上
操作1 在一張薄紙上畫∠AOB．
活動(dòng)一 探究角的軸對(duì)稱性
操作2 折疊紙片使角的兩邊重合．
思考 它是軸對(duì)稱圖形嗎？對(duì)稱軸在哪里？如何描述角的對(duì)稱軸？
角是軸對(duì)稱圖形，角平分線所在的直線是它的對(duì)稱軸.
活動(dòng)二 探究角平分線性質(zhì)
操作1 在折痕上任取一點(diǎn)P，分別畫點(diǎn)P到OA和OB的垂線段PC和PD.
操作2 沿原折痕折疊，你有什么發(fā)現(xiàn)？
點(diǎn)D和點(diǎn)E重合，PD=PE.
思考1 你能利用角的軸對(duì)稱性驗(yàn)證你的結(jié)論嗎？
理由如下：把△POD沿OP翻折，∵∠AOP=∠BOP，∴OA與OB重合．∵PD⊥OA，PE⊥OB，依據(jù)基本事實(shí)“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”，∴PD與PE重合，∴PD=PE．
思考2 你還有其他的證明方法嗎？
思考3 像這樣的點(diǎn)P還有嗎？為什么？
角平分線上的點(diǎn) 到角兩邊的距離相等．
∵OC平分∠AOB，點(diǎn)P在OC上， PD⊥OA，PE⊥OB，
∴PD＝PE（角平分線上的點(diǎn) 到角兩邊的距離相等）.
注意：一定要表明是兩條垂線段.
（1）∵ 如圖，AD平分∠BAC（已知）
∴ = ，( ).
角的平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
BD CD
判斷下列的寫法是否正確？
理由：沒有垂直，不能確定BD、CD是點(diǎn)D到角兩邊的距離.
(2)∵ 如圖， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = , ( )
角內(nèi)任意一條線上的點(diǎn)到這個(gè)角的兩邊的距離相等
理由：無法確定點(diǎn)D在∠BAC的平分線上.
在角平分線上和垂直這兩個(gè)條件缺一不可．
活動(dòng)三 探究角平分線的判定方法
討論1：你能寫出角平分線的性質(zhì)定理的逆命題嗎？
猜想：如果一個(gè)點(diǎn)到角兩邊的距離相等，那么這個(gè)點(diǎn)在角的平分線上.
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
求證：角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
已知：如圖，若點(diǎn)Q在∠AOB內(nèi)部，QD⊥OA，QE⊥OB，且QD＝QE，求證：點(diǎn)Q在∠AOB的角平分線上.
∵QD＝QE，QD⊥OA，QE⊥OB，
∴點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上 . （角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上）.
證明點(diǎn)在角平分線上，即可以判定角平分線.
角的內(nèi)部到角兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上.
討論2：如果點(diǎn)到角兩邊的距離不相等，那么這個(gè)點(diǎn)會(huì)在這個(gè)角的平分線上嗎？為什么？
解：這個(gè)點(diǎn)不會(huì)在這個(gè)角的平分線上.理由如下：如圖，假設(shè)點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上，∵QD⊥OA，QE⊥OB，∴ QD =QE．這與QD≠Q(mào)E矛盾.∴ 如果點(diǎn)到角兩邊的距離不相等，那么這個(gè)點(diǎn)不會(huì)在這個(gè)角的平分線上.
在角平分線上的點(diǎn)都具有同一個(gè)性質(zhì)而毫無例外;反之,具有這一性質(zhì)的點(diǎn)都在這個(gè)角平分線上而無一遺漏.由此發(fā)現(xiàn)了：
角平分線是角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點(diǎn)的集合.
1. 如圖，①∵OC平分_______，點(diǎn)P在OC上，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分別為M、N，PM=2，∴PN=　 　 　=　 .?②∵PM⊥OA，PN⊥OB，PM=　　　　，∴點(diǎn)P在∠AOB的平分線上,即OC平分　　　　.?
(1)在BC上找一點(diǎn)P，使點(diǎn)P到AB和AC的距離相等；
(2)在射線AP上找一點(diǎn)Q，使QB=QC.
例 已知：如圖，在△ABC中，AD是它的角平分線，且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC，垂足分別為E、F.求證：EB=FC.
證明： ∵AD是∠BAC的平分線， DE⊥AB，DF⊥AC，
∴ DE=DF，∠DEB=∠DFC=90 °.
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF(HL).
變式：如圖所示，在△ABC中，BD=CD，∠ABD=∠ACD.求證：AD平分∠BAC.
1. 應(yīng)用角平分線的性質(zhì)時(shí)，“角的平分線”“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離”兩個(gè)條件缺一不可，不能錯(cuò)用為“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊任意點(diǎn)的距離相等”.
2. 應(yīng)用角平分線的判定時(shí)，需要滿足兩個(gè)條件：“垂直”和“相等”.
3.常用輔助線：過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段.
一個(gè)點(diǎn)：角平分線上的點(diǎn)；二距離：點(diǎn)到角兩邊的距離；兩相等：兩條垂線段的長(zhǎng)度相等
在一個(gè)角的內(nèi)部，到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上
常用輔助線：過角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線段.
1. 如圖，P是∠AOB的平分線OC上一點(diǎn)，PD⊥OB，垂足為D，若PD=2，則點(diǎn)P到邊OA的距離是(　　) A.2 B.3 C. 1 D.4
2. 如圖，OP平分∠AOB，PA⊥OA，PB⊥OB，垂足分別為A，B.下列結(jié)論中不一定成立的是(　　)A．PA＝PB B．PO平分∠APBC．OA＝OB D．AB垂直平分OP
3.如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6 cm，則△DBE的周長(zhǎng)是_____
4.如圖，Q是OA上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)P在∠AOB的平分線上，PD⊥OB于點(diǎn)D，PD=3，則PQ的最小值是　　　　.?
5.如圖，AD為△ABC的角平分線，DF⊥AC于點(diǎn)F，∠B=90°，DE=DC.求證：BE=FC.
6.已知：如圖，P是OC上一點(diǎn)，PD⊥OA于點(diǎn)D，PE⊥OB于點(diǎn)E，F(xiàn)、G分別是OA、OB上的點(diǎn)，且PF=PG，DF=EG.求證：OC是∠AOB的平分線.

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2.4 線段、角的軸對(duì)稱性

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