【暑假初高銜接】初三數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)-專題21《全稱量詞與存在量詞》講學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

全稱量詞與存在量詞一、全稱量詞與全稱命題全稱量詞全稱量詞：在指定范圍內(nèi)，表示整體或者全部的含義的量詞稱為全稱量詞.常見全稱量詞：“所有的”、“任意一個”、“每一個”、“一切”、“任給”等.通常用符號“”表示，讀作“對任意”.全稱命題全稱命題：含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題.一般形式：“對中任意一個，有成立”，記作：，（其中為給定的集合，是關(guān)于的語句）.PS：有些全稱命題在文字?jǐn)⑹錾峡赡軙÷粤巳Q量詞，例如：（1）“末位是0的整數(shù)，可以被5整除”；（2）“線段的垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等”；（3）“負(fù)數(shù)的平方是正數(shù)”；都是全稱命題.要點二、存在量詞與特稱命題存在量詞定義：表示個別或一部分的含義的量詞稱為存在量詞.常見存在量詞：“有一個”，“存在一個”,“至少有一個”，“有的”,“有些”等.通常用符號“ ”表示，讀作“存在 ”.特稱命題特稱命題：含有存在量詞的命題，叫做特稱命題.一般形式：“存在中一個元素，有成立”，記作：，（其中為給定的集合，是關(guān)于的語句）.（1）一個特稱命題中也可以包含多個變量，例如：存在使.（2）有些特稱命題也可能省略了存在量詞.（3）同一個全稱命題或特稱命題，可以有不同的表述要點三、含有量詞的命題的否定對含有一個量詞的全稱命題的否定全稱命題：，的否定：，；從一般形式來看，全稱命題“對M中任意一個x，有p（x）成立”，它的否定并不是簡單地對結(jié)論部分p(x)進(jìn)行否定，還需對全稱量詞進(jìn)行否定，使之成為存在量詞，也即“任意”的否定為“，”.對含有一個量詞的特稱命題的否定特稱命題：，的否定：，；從一般形式來看，特稱命題“，”，它的否定并不是簡單地對結(jié)論部分進(jìn)行否定，還需對存在量詞進(jìn)行否定，使之成為全稱量詞，也即“，”的否定為“，”.PS：(1)全稱命題的否定是特稱命題，特稱命題的否定是全稱命題；(2)命題的否定與命題的否命題是不同的. （3）正面詞：等于、大于、小于、是、都是、至少一個、至多一個、小于等于；否定詞：不等于、不大于、不小于、不是、不都是、一個也沒有、至少兩個、大于等于.要點四、全稱命題和特稱命題的真假判斷①要判定全稱命題“，”是真命題，必須對集合M中的每一個元素x，證明成立；要判定全稱命題“，”是假命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得不成立，即舉一反例即可.②要判定特稱命題“，”是真命題，只需在集合M中找到一個元素x0，使得成立即可；要判定特稱命題“，”是假命題，必須證明在集合M中，使成立得元素不存在.例1：判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題.（1）xR，x2+1≥1；（2）所有素數(shù)都是奇數(shù)；（3）有些整數(shù)只有兩個正因數(shù). 【解析】（1）有全稱量詞“任意”，是全稱命題；（2）有全稱量詞“所有”，是全稱命題；（3）有存在量詞“有些”；是特稱命題。例2：寫出下列命題的否定并判斷真假（1）p：所有末位數(shù)字是0或5的整數(shù)都能被5整除；（2）p：每一個非負(fù)數(shù)的平方都是正數(shù)；（3）p：存在一個三角形，它的內(nèi)角和大于；【解析】（1）存在未位數(shù)字是0或5的整數(shù)但它不能被5整除，假命題；（2）存在一個非負(fù)數(shù)的平方它不是正數(shù)，真命題；（3）任何一個三角形它的內(nèi)角和都不大于180°，真命題；例3：已知，，若是的必要不充分條件，求實數(shù)m的取值范圍. 【解析】，q:x2-2x+1-m2≤0?[x-(1-m)][x-(1+m)]≤0，又∵m>0，∴不等式的解為1-m≤x≤1+m，∵是的必要而不充分條件”的等價命題即逆否命題為“p是q的充分不必要條件”，∴不等式的解集是x2-2x+1-m2≤0(m>0)的解集的子集，，∴實數(shù)m的取值范圍是. 鞏固練習(xí)一、單選題1．下列語句不是全稱量詞命題的是（）A．任何一個實數(shù)乘以零都等于零B．自然數(shù)都是正整數(shù)C．高一(一)班絕大多數(shù)同學(xué)是團(tuán)員D．每一個實數(shù)都有大小【答案】C【解析】由全稱命題的定義，全稱命題應(yīng)包含所有，任意的…等表示全部元素都滿足的語句，如果含有存在、有一個…等表示非全部元素都滿足的語句的命題為特稱命題，由此對四個答案進(jìn)行分析，即可得到答案．【詳解】A中命題可改寫為：任意一個實數(shù)乘以零都等于零，故A是全稱量詞命題；B中命題可改寫為：任意的自然數(shù)都是正整數(shù)，故B是全稱量詞命題；C中命題可改寫為：高一(一)班存在部分同學(xué)是團(tuán)員，C不是全稱量詞命題；D中命題可改寫為：任意的一個實數(shù)都有大小，故D是全稱量詞命題．故選：C.【點睛】本題考查的知識點是全稱命題和特稱命題的定義，熟練掌握全稱命題和特稱命題的定義是解答本題的關(guān)鍵．2．設(shè)，命題“存在，使方程有實根”的否定是（）A．對，方程無實根 B．對，方程有實根C．對，方程無實根 D．對，方程有實根【答案】A【解析】【分析】只需將“存在”改成“任意”，有實根改成無實根即可.【詳解】由特稱命題的否定是全稱命題，知“存在，使方程有實根”的否定是對，方程無實根故選：A3．設(shè)命題，則的否定為（）A． B．C． D．【答案】B【解析】【分析】由特稱命題的否定可直接得到結(jié)果.【詳解】命題，則的否定為：.故選：B【點睛】全稱量詞命題的否定是特稱（存在）量詞命題，特稱（存在）量詞命題的否定是全稱量詞命題．4．下列結(jié)論中，錯誤的是（）A．“”是“”的充分不必要條件B．已知命題，則C．若復(fù)合命題是假命題，則都是假命題D．命題“若，則的逆否命題“若，則【答案】C【解析】對A，可利用子集法確定；對B,D直接利用定義；對C，根據(jù)復(fù)合命題的真假判斷；【詳解】對A，或，所以“”“”，反之不成立，故A正確；對B，D都是可以直接判斷為正確的.對C，復(fù)合命題假，只需至少有一假就可以了，所以C錯誤.故選：C.二、多選題5．已知下列說法：①命題“，”的否定是“，”；②命題“，，”的否定是“，，”；③“”是“”的充分不必要條件；④命題：對任意，總有.其中說法錯誤的是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】ACD【解析】【分析】①根據(jù)特稱命題的否定是全稱命題即可判斷；②根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題即可判斷；③根據(jù)必要條件和充分條件的概念即可判斷；④判斷命題的真假.【詳解】對于①，命題“，”的否定是“，”，故錯誤；對于②，命題“，，”的否定是“，，”，正確；對于③，“”是“”的必要不充分條件，故錯誤；對于④，當(dāng)時，故錯誤.故選：ACD.6．下列命題的否定中，是全稱量詞命題且為真命題的有A．B．所有的正方形都是矩形C．D．至少有一個實數(shù)，使【答案】AC【解析】【分析】通過原命題的否定為全稱量詞命題且為真命題，確定原命題是特稱量詞命題且為假命題，根據(jù)此結(jié)論逐項分析.【詳解】由條件可知：原命題為特稱量詞命題且為假命題，所以排除BD；又因為，，所以AC均為假命題，故選AC.【點睛】（1）含一個量詞的命題的否定方法：改變量詞，否定結(jié)論；（2）常見的：含有全部、都、所有等詞時，對應(yīng)的是全稱命題；含有存在、有一個等詞對應(yīng)的是特稱命題.7．下列說法中正確的個數(shù)是（）A．命題“所有的四邊形都是矩形”是存在量詞命題；B．命題“”是全稱量詞命題；C．命題“，”是存在量詞命題．D．命題“不論取何實數(shù)，方程必有實數(shù)根”是真命題；【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)存在量詞命題和全稱量詞命題的定義判斷ABC，根據(jù)判別式判斷D.【詳解】A中命題“所有的四邊形都是矩形”是全稱量詞命題,故A錯誤；B中命題“ ”是全稱量詞命題,故B正確；C中命題“,”是存在量詞命題,故C正確；D中選項中當(dāng)時，即當(dāng)時，方程沒有實數(shù)根,因此，此命題為假命題.故選：BC8．使“”成立的必要不充分條件是（）A．， B．， C．， D．，【答案】BCD【解析】根據(jù)不等式的關(guān)系結(jié)合必要不充分條件分別進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：若，，則，，，即，則不一定成立；故錯誤，若，當(dāng)，，，有成立，反之不一定成立；故滿足條件．，由得，，，即則成立，故滿足條件，若，當(dāng)，，，有成立，反之不一定成立；故滿足條件．故選：BCD．【點睛】本題主要考查充分條件與必要條件，屬于基礎(chǔ)題．三、填空題9．命題“所有無理數(shù)的平方都是有理數(shù)”的否定是__________．【答案】存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【解析】【分析】根據(jù)全稱命題的否定形式，即可求解結(jié)論.【詳解】存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)，全稱性命題的否定是先改變量詞，然后否定結(jié)論，故所求的否定是“存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)”．故答案為：存在一個無理數(shù)，它的平方不是有理數(shù)【點睛】本題考查命題的否定形式，要注意量詞之間的轉(zhuǎn)化，屬于基礎(chǔ)題.10．已知命題，.若為假命題，則的取值范圍為___________【答案】【解析】【分析】首先寫出命題的否命題，根據(jù)為假命題即可得出為真命題即可求出的取值范圍.【詳解】為假命題為真命題，故在的最小值為∴ 故答案為：11．已知命題“”是假命題，則實數(shù)m的取值范圍是_________.【答案】【解析】求得原命題的否定，根據(jù)其為真命題，即可結(jié)合二次不等式恒成求得參數(shù)范圍【詳解】若命題“”是假命題，則“”為真命題，顯然時，不滿足題意，故只需滿足，解得.故答案為：.【點睛】本題考查根據(jù)含量詞命題的真假求參數(shù)范圍的問題，涉及二次不等式在上恒成立求參數(shù)的問題，屬綜合基礎(chǔ)題.12．若命題“，使得成立”是假命題，則實數(shù)的取值范圍是_________.【答案】【解析】【分析】由題意可知，命題“，使得成立”是真命題，可得出，結(jié)合基本不等式可解得實數(shù)的取值范圍．【詳解】若命題“，使得成立”是假命題，則有“，使得成立”是真命題.即，則，又，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，故．故答案為：四、解答題13．已知命題p：，命題q：.（1）若命題p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若命題q為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（3）若命題p、q至少有一個為真命題，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）或；（3）或.【解析】（1）p為真命題，可得判別式；（2）q為真命題，可得判別式；（3）m的范圍為（1）和（2）中m的并集.【詳解】（1）若命題p：為真命題，則，解得.（2）若命題q：為真命題，則，解得或.（3）若命題p、q至少有一個為真命題，則，或，或，∴或.14．已知集合（1）若，求實數(shù)m的取值范圍.（2）命題q：“，使得”是真命題，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1），分B為空集和B不是空集兩種情況討論求解即可；（2）由，使得，可知B為非空集合且，然后求解的情況，求出m的范圍后再求其補(bǔ)集可得答案【詳解】解：（1）①當(dāng)B為空集時，成立.②當(dāng)B不是空集時，∵，，∴綜上①②，.（2），使得，∴B為非空集合且.當(dāng)時，無解或，，∴.15．選擇合適的量詞、，加在的前面，使其成為一個真命題：（1）；（2）；（3）是偶數(shù)；（4）若x是無理數(shù)，則是無理數(shù)；（5）這是含有三個變量的語句，用表示【答案】答案見解析.【解析】【分析】根據(jù)勾股定理等知識，用全稱量詞和存在量詞改寫命題，使其成為真命題即可.【詳解】（1），.（2），；，都是真命題.（3），x是偶數(shù)；（4），若x是無理數(shù)，則是無理數(shù)；例如.（5），b，，有.【點睛】本題主要考查了用全稱量詞和存在量詞改寫命題，屬于中檔題.16．設(shè)命題對任意，不等式恒成立；命題q：存在，使得不等式成立.（1）若p為真命題，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若命題p、q有且只有一個是真命題，求實數(shù)m的取值范圍.【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）命題為真，只需，根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為求關(guān)于的一元二次不等式；（2）命題為真，只需，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，求出的范圍，依題意求出真假，和假真時，實數(shù)m的取值范圍.【詳解】（1）對于命題p：對任意，不等式恒成立，而，有，，，所以p為真時，實數(shù)m的取值范圍是；（2）命題q：存在，使得不等式成立，只需，而，，，，即命題q為真時，實數(shù)m的取值范圍是，依題意命題一真一假，若p為假命題， q為真命題，則，得；若q為假命題， p為真命題，則，得，綜上，或.【點睛】本題考查不等式恒（或存在）成立與函數(shù)最值關(guān)系，以及命題真假關(guān)系求參數(shù)范圍，考查等價轉(zhuǎn)化思想，計算求解能力，屬于中檔題.17．已知集合，（1）若命題是真命題，求m的取值范圍；（2）命題是真命題，求m的取值范圍.【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）由命題是真命題得，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可；（2）由命題是真命題得，故，進(jìn)而得，再根據(jù)集合關(guān)系求解即可得答案.【詳解】解：（1）因為命題是真命題，所以，當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得.綜上，m的取值范圍為.（2）因為是真命題，所以，所以，即，所以，所以只需滿足即可，即. 故m的取值范圍為.【點睛】本題考查根據(jù)命題真假求參數(shù)取值范圍，解題的關(guān)鍵在于將命題關(guān)系轉(zhuǎn)化為集合關(guān)系，考查化歸轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.18．設(shè)證明:的充要條件是.【答案】見解析【解析】分別證明充分性與必要性即可.【詳解】證明:(1)充分性:如果,那么,.(2)必要性:如果,那么,,.由(1)(2)知,的充要條件是.【點睛】本題主要考查了充分必要條件的證明,需要分別證明充分性與必要性,屬于中等題型.

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