函數(shù)的表示方法一、構成函數(shù)的三要素：定義域、對應關系、值域1. 構成函數(shù)的三個要素是定義域、對應關系和值域.由于值域是由定義域和對應關系決定的，所以，如果兩個函數(shù)的定義域和對應關系完全—致，即稱這兩個函數(shù)相等(或為同一函數(shù))；2. 兩個函數(shù)相等當且僅當它們的定義域和對應關系完全—致，而與表示自變量和函數(shù)值的字母無關.二、函數(shù)的表示法1． 函數(shù)的三種表示方法：解析法：用數(shù)學表達式表示兩個變量之間的對應關系．  優(yōu)點：簡明，給自變量求函數(shù)值.圖象法：用圖象表示兩個變量之間的對應關系．        優(yōu)點：直觀形象，反應變化趨勢.列表法：列出表格來表示兩個變量之間的對應關系．    優(yōu)點：不需計算就可看出函數(shù)值.2． 分段函數(shù)：若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因對應法則不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)。分段函數(shù)的定義域等于各段函數(shù)的定義域的并集，其值域等于各段函數(shù)的值域的并集，分段函數(shù)雖由幾個部分組成，但它表示的是個函數(shù)。3. 相等函數(shù)如果兩個函數(shù)的定義域相同，并且對應關系完全一致，則這兩個函數(shù)為相等函數(shù)。三、函數(shù)的定義域、值域1. 函數(shù)定義域的求法(1)確定函數(shù)定義域的原則①當函數(shù)是以解析式的形式給出時，其定義域就是使函數(shù)解析式有意義的自變量的取值的集合.具體地講，就是考慮分母不為零，偶次根號的被開方數(shù)、式大于或等于零，零次冪的底數(shù)不為零以及我們在后面學習時碰到的所有有意義的限制條件.②當函數(shù)是由實際問題給出時，其定義域不僅要考慮使其解析式有意義，還要有實際意義.③當函數(shù)用表格給出時，函數(shù)的定義域是指表格中實數(shù)的集合。（2）抽象函數(shù)定義域的確定所謂抽象函數(shù)是指用表示的函數(shù)，而沒有具體解析式的函數(shù)類型，求抽象函數(shù)的定義域問題，關鍵是注意對應法則。在同一對應法則的作用下，不論接受法則的對象是什么字母或代數(shù)式，其制約條件是一致的，都在同一取值范圍內。2. 函數(shù)值域的求法實際上求函數(shù)的值域是個比較復雜的問題，雖然給定了函數(shù)的定義域及其對應法則以后，值域就完全確定了，但求值域還是特別要注意講究方法，常用的方法有：觀察法：通過對函數(shù)解析式的簡單變形，利用熟知的基本函數(shù)的值域，或利用函數(shù)的圖象的“最高點”和“最低點”，觀察求得函數(shù)的值域；配方法：對二次函數(shù)型的解析式可先進行配方，在充分注意到自變量取值范圍的情況下，利用求二次函數(shù)的值域方法求函數(shù)的值域；判別式法：將函數(shù)視為關于自變量的二次方程，利用判別式求函數(shù)值的范圍，常用于一些“分式”函數(shù)等；此外，使用此方法要特別注意自變量的取值范圍；換元法：通過對函數(shù)的解析式進行適當換元，將復雜的函數(shù)化歸為幾個簡單的函數(shù)，從而利用基本函數(shù)的取值范圍來求函數(shù)的值域.求函數(shù)的值域沒有通用的方法和固定的模式，除了上述常用方法外，還有最值法、數(shù)形結合法等.總之，求函數(shù)的值域關鍵是重視對應法則的作用，還要特別注意定義域對值域的制約.例1：是否為同一個函數(shù)類問題下列函數(shù)f（x）與g（x）是否表示同一個函數(shù)，為什么？（1）；（2）；（3）；（4）；【解答】（1）不是（2）不是（3）不是（4）是【解析】(1) 的定義域不同，前者是，后者是，因此是不同的函數(shù)；(2) ，因此的對應關系不同，是不同的函數(shù)；(3) 的對應關系不同，因此是不相同的函數(shù)；(4) 的定義域相同，對應關系相同，是同一函數(shù).例2：函數(shù)的定義域求下列函數(shù)的定義域(用區(qū)間表示).(1)；       (2)；　　　　(3).【解答】（1）；（2）；（3）．【解析】(1) 的定義域為x2-3≠0，∴定義域為；(2) 由解得，∴定義域為；(3) 由得，∴定義域為.例3：函數(shù)解析式求函數(shù)的解析式（1）已知是二次函數(shù)，且，求；（2）若f(2x-1)=x2，求f(x)；（3）已知，求.【解答】（1）；（2）；（3）．【解析】求函數(shù)的表達式可由兩種途徑.(1)設，由，得，由，得恒等式2ax+a+b=x-1,得，故所求函數(shù)的解析式為.(2) ∵f(2x-1)=x2，∴令t=2x-1，則，，（3）因為，① 用代替得，②由①②消去，得.例4：分段函數(shù)如圖所示，等腰梯形的兩底分別為，作直線交于，交折線于.設試將梯形位于直線左側的面積表示為的函數(shù).   【解答】【解析】作BH⊥AD，H為垂足，CG⊥AD，G為垂足，依題意，則有   （1）當M位于點H的左側時，，由于（2）當M位于點H、G之間時，由于；（3）當M位于點G的右側時，由于綜上有鞏固練習一．單選題1．已知函數(shù)，那么f（﹣1）＝（　　）A．﹣2 B．﹣1 C． D．22．設函數(shù)，則f（x+1）＝（　?。?/span>A． B． C． D．3．已知，則（　　）A． B． C．5 D．﹣54．已知函數(shù)，則f（2）的值為（　?。?/span>A．6 B．5 C．4 D．35．在某個時期，某水域的一種外來生物總數(shù)為a個，每天以3%的增長率增長，經(jīng)過30天，要估計該生物總數(shù)變?yōu)樵瓉淼亩嗌?/span>倍？以經(jīng)過時間x（天）為自變量，可得到該生物總數(shù)y關于x的函數(shù)解析式是（　?。?/span>A．y＝a（1﹣3%）x B．y＝a（1+3%）x C．y＝a（1﹣3%）x D．y＝a（1+3%）x6．已知函數(shù)f（x+1）＝x2+2x﹣3，則f（x）＝（　?。?/span>A．x2+4x B．x2﹣4 C．x2+4x﹣6 D．x2﹣4x﹣17．已知函數(shù)f（x+1）＝x2+2x+1，那么f（x﹣1）＝（　?。?/span>A．x2 B．x2+1 C．x2﹣2x+1 D．x2﹣2x﹣18．我們從商標中抽象出一個圖象如圖所示，其對應的函數(shù)解析式可能是f（x）＝（　?。?/span>A． B． C． D．二．多選題（多選）9．已知函數(shù)y＝f（x）用列表法表示如表，若f（f（x））＝x﹣1，則x可?。ā　。?/span>x12345f（x）23423A．2 B．3 C．4 D．5（多選）10．下列函數(shù)中，滿足f（2x）＝2f（x）的是（　　）A．f（x）＝2|x| B．f（x）＝3x﹣|3x| C．f（x）＝﹣x D．f（x）＝x+2（多選）11．已知函數(shù)f（x）是一次函數(shù)，滿足f（f（x））＝9x+8，則f（x）的解析式可能為（　?。?/span>A．f（x）＝3x+2 B．f（x）＝3x﹣2 C．f（x）＝﹣3x+4 D．f（x）＝﹣3x﹣4（多選）12．具有性質f（x）的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)，其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是（　　）A．f（x）＝x B．f（x）＝x C．f（x） D．f（x）＝x2三．填空題13．已知f（x﹣2）＝x2﹣4x，那么f（x）＝　   　．14．已知函數(shù)f（x2+1）＝x4+x2+1，則f（2）＝　   　．15．已知一等腰三角形的周長為12cm，則將該三角形的底邊長y（單位：cm）表示為腰長x（單位：cm）的函數(shù)解析式為 　   　．（請注明函數(shù)的定義域）16．設f（x）＝2x+1，g（x）＝4x2+5，則g[f（2）]＝　   　．17．若函數(shù)f（2x+1）＝x+1，則f（1﹣x）＝　   　．18．寫出一個滿足f（1+x）＝f（1﹣x），且f（0）＞f（3）的函數(shù)f（x）的解析式 　   　．四．解答題19．已知定義在R上的偶函數(shù)f（x），當x≥0時，f（x）＝﹣2x+1．（1）求f（x）的解析式；（2）若f（a）＝﹣7，求實數(shù)a的值．     20．已知函數(shù)f（x）是二次函數(shù)，f（﹣1）＝0，f（﹣3）＝f（1）＝4．（1）求f（x）的解析式；（2）函數(shù)h（x）＝f（x）﹣ln（|x|+1）在R上連續(xù)不斷，試探究，是否存在n（n∈Z），函數(shù)h（x）在區(qū)間（n，n+1）內存在零點，若存在，求出一個符合題意的n，若不存在，請說明由．      21．（1）已知，求；（2）已知，求f（x）的解析式．     22．求下列函數(shù)的解析式：（1）已知2f（x﹣1）﹣f（1﹣x）＝2x2﹣1，求二次函數(shù)f（x）的解析式；（2）已知f（﹣1）＝x，求f（x）的解析式．    23．（1）已知，求f（x）的解析式；（2）已知，求g（x）的解析式．      24．設f（x）是定義在R上的函數(shù)，且對任意實數(shù)x，有f（x﹣2）＝x2﹣3x+3．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）若{x|f（x﹣2）＝﹣（a+2）x+3﹣b}＝{a}，求a和b的值．

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