充分條件與必要條件一、充分條件、必要條件、充要條件的概念1. 符號與的含義 “若，則”為真命題，記作：；“若，則”為假命題，記作：.2. 充分條件、必要條件與充要條件①若，稱是的充分條件，是的必要條件.②如果既有，又有，就記作，這時是的充分必要條件，稱是的充要條件.PS：對的理解：指當成立時，一定成立，即由通過推理可以得到.①“若，則”為真命題；②是的充分條件；③是的必要條件以上三種形式均為“”這一邏輯關系的表達.二、充分條件、必要條件與充要條件的判斷從邏輯推理關系看命題“若，則”，其條件p與結論q之間的邏輯關系①若，但，則是的充分不必要條件，是的必要不充分條件；②若，但，則是的必要不充分條件，是的充分不必要條件；③若，且，即，則、互為充要條件；④若，且，則是的既不充分也不必要條件.從集合與集合間的關系看若p：x∈A，q：x∈B， ①若AB，則是的充分條件，是的必要條件；②若A是B的 真子集，則是的充分不必要條件；③若A=B，則、互為充要條件；④若A不是B的子集且B不是A的子集，則是的既不充分也不必要條件.PS：充要條件的判斷通常有四種結論：充分不必要條件、必要不充分條件、充要條件、既不充分也不必要條件.判斷方法通常按以下步驟進行：①確定哪是條件，哪是結論；②嘗試用條件推結論，③再嘗試用結論推條件，④最后判斷條件是結論的什么條件.三、充要條件的證明要證明命題的條件是結論的充要條件，既要證明條件的充分性（即證原命題成立），又要證明條件的必要性（即證原命題的逆命題成立）對于命題“若，則”①如果是的充分條件，則原命題“若，則”與其逆否命題“若，則”為真命題；②如果是的必要條件，則其逆命題“若，則”與其否命題“若，則”為真命題；③如果是的充要條件，則四種命題均為真命題.例1：若: ， : ，則是的什么條件？解：∵: 或, : ∴且,∴是的必要不充分條件．例2：已知p：0<x<3，q：|x-1|<2，則p是q的（     ）A充分不必要條件    B必要不充分條件C充要條件          D既不充分也不必要條件【解析】q：|x-1|<2，解得-1<x<3，亦即q：-1<x<3.　如圖，在數軸上畫出集合P=(0,3)，Q=(-1,3)，從圖中看P?Q， pq，但qp，所以選擇（A）.例3：設x、y∈R，求證：|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0.【解析】（1）充分性：若xy=0，那么①x=0，y≠0；②x≠0，y=0；③x=0，y=0，于是|x+y|=|x|+|y|如果xy＞0，即x＞0，y＞0或x＜0，y＜0，當x＞0，y＞0時，|x+y|=x+y=|x|+|y|.當x＜0，y＜0時，|x+y|=－(x+y)=－x+(－y)=|x|+|y|.總之，當xy≥0時，有|x+y|=|x|+|y|.（2）必要性：由|x+y|=|x|+|y|及x、y∈R，得(x+y)2=(|x|+|y|)2，即x2+2xy+y2=x2+2|xy|+y2，|xy|=xy，∴xy≥0.綜上可得|x+y|=|x|+|y|成立的充要條件是xy≥0．例4：已知若p是q的充分不必要條件，求m的取值范圍.【答案】【解析】由解得，又由解得，p是q的充分不必要條件，所以或解得．   鞏固練習一、單選題1．“不等式在R上恒成立”的充要條件是（       ）A． B． C．  D． 2．“”是“”的（       ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件3．關于的不等式成立的一個充分不必要條件是，則的取值范圍是（       ）A． B． C． D．4．“關于x的不等式ax2+ax-1<0的解集為R”的一個必要不充分條件是（       ）A．-4≤a≤0 B．-4<a≤0C．-4≤a<0 D．-4<a<0二、多選題5．使成立的一個充分條件可以是（       ）A． B．C． D．6．一元二次方程有一個正根和一個負根的充分不必要條件是（       ）A． B．C． D．7．下列敘述中正確的是（       ）A．，若二次方程無實根，則B．若，則“”的充要條件是“”C．“”是“方程有一個正根和一個負根”的必要不充分條件D．“”是“”的充分不必要條件8．設全集，則下面四個命題中是“”的充要條件的命題是（       ）A． B． C． D．三、填空題9．若“”是““的充分不必要條件，則實數的取值范圍是_____.10．已知，且q是p的必要不充分條件，則實數m的取值范圍是____________．11．下列不等式：①x<1；②0<x<1；③－1<x<0；④－1<x<1.其中可以作為“x2<1”的一個充分條件的所有序號為________．12．命題p：（x﹣m）2＞3（x﹣m）是命題q：x2+3x﹣4＜0成立的必要不充分條件，則實數m的取值范圍為____.四、解答題13．已知,,若是的必要不充分條件,求實數的取值范圍.    14．已知集合，集合.(1)若；求實數m的取值范圍；(2)命題，命題，若p是q的充分條件，求實數m的取值集合.  15．已知A＝{x|x2﹣6x+8≤0}，B＝{x| ≥0}，C＝{x|x2﹣mx+6＜0}且“x∈A∩B”是“x∈C”的充分不必要條件，求實數m的取值范圍．  16．已知P＝{x|﹣2≤x≤10}，非空集合S＝{x|1﹣m≤x≤1+m}．（1）若x∈P是x∈S的必要條件，求m的取值范圍；（2）是否存在實數m，使x∈P是x∈S的充要條件．   17．已知全集為，集合，.（1）若，求實數a的取值范圍；（2）從下面所給的三個條件中選擇一個，說明它是的什么條件（充分必要性）.①；②；③.  18．判斷下列命題是否為全稱量詞命題或存在量詞命題，如果是，寫出這些命題的否定，并說明這否定的真假，不必證明；如果不是全稱量詞命題和存在量詞命題，則不用寫出否命題，只需判斷合題真假，并給出證明.（1）存在實數x，使得；（2）有些三角形是等邊三角形；（3）方程的每一個根都不是奇數.（4）若，則的充要條件是.

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