【暑假初高銜接】初三數(shù)學(xué)暑假預(yù)習(xí)-專題18《集合間的運(yùn)算》講學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?集合間的運(yùn)算
一、并集
一般地，由所有屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，稱為集合A與B的并集，記作：A∪B讀作：“A并B”，即：A∪B={x|xA，或xB}
Venn圖表示如下：

1. “xA，或xB”包含三種情況：“”；“”；“”．
2. 兩個(gè)集合求并集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有元素組成的集合(重復(fù)元素只出現(xiàn)一次)．
二、并集
一般地，由屬于集合A且屬于集合B的元素所組成的集合，叫做集合A與B的交集；記作：A∩B，讀作：“A交B”，即A∩B={x|xA，且xB}；
交集的Venn圖表示如下：

1. 并不是任何兩個(gè)集合都有公共元素，當(dāng)集合A與B沒(méi)有公共元素時(shí)，不能說(shuō)A與B沒(méi)有交集，而是．
2. 概念中的“所有”兩字的含義是，不僅“A∩B中的任意元素都是A與B的公共元素”，同時(shí)“A與B的公共元素都屬于A∩B”．
3. 兩個(gè)集合求交集，結(jié)果還是一個(gè)集合，是由集合A與B的所有公共元素組成的集合．
三、集合間運(yùn)算的常見(jiàn)結(jié)論

若A∩B=A，則，反之也成立
若A∪B=B，則，反之也成立
若x(A∩B)，則xA且xB
若x(A∪B)，則xA，或xB
例1：并集
設(shè)A、B分別是一元二次方程2x2+px+q=0與6x2+(2-p)x+5+q=0的解集，且A∩B={}，求A∪B．
【解答】A∪B={ ，，-4}
【解析】∵A∩B={ }，
∴是方程2x2+px+q=0的解，
則有： (1)，同理有：6()2+(2-p)·+5+q=0(2)
聯(lián)立方程(1)(2)得到：，
∴方程(1)為2x2+7x-4=0，
∴方程的解為：x1= ， x2=-4，，
由方程(2) 6x2-5x+1=0，解得：x3= ， x4= ，
∴B={ ，}，則A∪B={ ，，-4}．
例2：交集
設(shè)集合，，，求．
【解答】
【解析】先將集合A、B、C、D轉(zhuǎn)化為文字語(yǔ)言敘述，以便弄清楚它們的構(gòu)成，再求其交集即可．
集合表示3的倍數(shù)所組成的集合；
集合表示除以3余1的整數(shù)所組成的集合；
集合表示除以3余2的整數(shù)所組成的集合；
集合表示除以6余1的整數(shù)所組成的集合；
．
例3：并集、交集綜合
已知U=R，集合A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
（1）若a=3，求A∪B，；
（2）若BA，求a的范圍．
【答案】（1）A∪B={x｜1≤x≤5}，；（2）1≤a≤2
【解析】（1）若a=3，∴B={x｜3≤x≤5}．
∴A∪B={x｜1≤x≤5}，
，
∴．
（2）∵BA，A={x｜1≤x≤4}，B={x｜a≤x≤a+2}．
∴，即，
解得1≤a≤2．
鞏固練習(xí)
一．選擇題（共6小題）
1．設(shè)全集U＝R，集合A＝{x||x﹣1|≤1}，B＝{x|2x﹣4≥0}，則集合A∩（?UB）＝（　　）
A．（0，2） B．（0，2] C．[0，2） D．[0，2]
【解答】解：∵2x﹣4≥0，∴x≥2．∴B＝{x|x≥2}．
∵|x﹣1|≤1，∴0≤x≤2，∴A＝{x|0≤x≤2}．
∴?UB＝{x|x＜2}，則A∩（?UB）＝{x|0≤x＜2}．
故選：C．
2．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}，則A∪B＝（　　）
A．{x|0≤x＜1} B．{x|﹣2＜x≤2} C．{x|1＜x≤2} D．{x|0＜x＜1}
【解答】解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|0≤x≤2}．
∴A∪B＝{x|﹣2＜x≤2}．
故選：B．
3．已知全集U＝R，集合A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，則圖中陰影部分表示的集合為（　?。?br />
A．[﹣2，2] B．（﹣2，2] C．（﹣2，2） D．[﹣2，2）
【解答】解：∵A＝{x|x≥2}，B＝{x|﹣2＜x＜3}，
∴A∩B＝{x|2≤x＜3}，
∴?B（A∩B）＝{x|﹣2＜x＜2}．
故選：C．
4．已知集合M＝{x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}，N＝{x|2x＞4}，則M∩N＝（　?。?br /> A．{x|2＜x＜4} B．R C．{x|2＜x≤4} D．{x|x＞2}
【解答】解：∵M(jìn)＝{x|（x﹣1）（x﹣4）≤0}＝[1，4]，N＝{x|2x＞4}＝（2，+∞），
∴M∩N＝{x|1≤x≤4}∩{x|x＞2}＝{x|2＜x≤4}．
故選：C．
5．已知集合A＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）＜0}，B＝{x|x2＞0}，則A∩B＝（　?。?br /> A．{0，1，2} B．{﹣1，0，1，2} C．{﹣1，1，2} D．{1，2}
【解答】解：集合A＝{x∈Z|（x+1）（x﹣3）＜0}＝{x∈Z|﹣1＜x＜3}＝{0，1，2}，
B＝{x|x2＞0}＝{x|x≠0}，
∴A∩B＝{1，2}．
故選：D．
6．已知集合A＝{x|x2+x﹣2＜0}，B＝{x|x+m＞0}，且A∪B＝（﹣2，+∞），則m的取值范圍為（　?。?br /> A．[﹣1，2] B．[﹣2，1] C．（﹣1，2] D．[﹣2，1）
【解答】解：A＝{x|x2+x﹣2＜0}＝{x|﹣2＜x＜1}，
∵B＝{x|x+m＞0}＝{x|x＞﹣m}，A∪B＝（﹣2，+∞），
∴﹣2≤﹣m＜1，∴﹣1＜m≤2，
∴m的取值范圍為（﹣1，2]．
故選：C．
二．多選題（共6小題）
（多選）7．設(shè)全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，則（　?。?br /> A．A∩B＝{0，1} B．?UB＝{4}
C．A∪B＝{0，1，3，4} D．集合A的真子集個(gè)數(shù)為8
【解答】解：∵全集U＝{0，1，2，3，4}，集合A＝{0，1，4}，B＝{0，1，3}，
∴A∩B＝{0，1}，故A正確，
?UB＝{2，4}，故B錯(cuò)誤，
A∪B＝{0，1，3，4}，故C正確，
集合A的真子集個(gè)數(shù)為23﹣1＝7，故D錯(cuò)誤
故選：AC．
（多選）8．已知集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}，若A∪B＝{1，2，3，4}，則a的取值可以是（　?。?br /> A．2 B．3 C．4 D．5
【解答】解：集合A＝{1，4，a}，B＝{1，2，3}，
A∪B＝{1，2，3，4}，
∴a的取值可以是2或3．
故選：AB．
（多選）9．如圖所示，陰影部分表示的集合是（　?。?br />
A．（?UB）∩A B．（?UA）∩B C．?U（A∩B） D．A∩?U（A∩B）
【解答】解：由圖可知，陰影部分表示的集合包含于A，且包含于B的補(bǔ)集，且包含于?U（A∩B），
∴陰影部分表示的集合為：（?UB）∩A或A∩?U（A∩B），
故選：AD．
（多選）10．圖中陰影部分的集合表示正確的是（　?。?br />
A．N∩?UM B．M∩?UN
C．[?U（M∩N）]∩N D．（?UM）∩（?UN）
【解答】解：由已知中陰影部分在集合N中，
而不在集合M中，
故陰影部分所表示的元素屬于N，不屬于M（屬于M的補(bǔ)集），
即可表示為（?UM）∩N或[?U（M∩N）]∩N，
故選：AC．
（多選）11．江蘇省實(shí)驗(yàn)中學(xué)科技城校舉行秋季運(yùn)動(dòng)會(huì)，高一某班共有30名同學(xué)參加比賽，有20人參加田賽，13人參加徑賽，有19人參加球類比賽，同時(shí)參加田賽與徑賽的有8人，同時(shí)參加田賽與球類比賽的有9人，沒(méi)有人同時(shí)參加三項(xiàng)比賽．以下說(shuō)法正確的有（　　）
A．同時(shí)參加徑賽和球類比賽的人數(shù)有3人
B．只參加球類一項(xiàng)比賽的人數(shù)有2人
C．只參加徑賽一項(xiàng)比賽的人數(shù)為0人
D．只參加田賽一項(xiàng)比賽的人數(shù)為3人
【解答】解：設(shè)全班同學(xué)組成全集U，參加田賽的同學(xué)組成集合A，參加徑賽的同學(xué)組成集合B，參加球類比賽的同學(xué)組成集合C，
設(shè)同時(shí)參加徑賽和球類比賽的人數(shù)為x，
根據(jù)題意，畫(huà)出韋恩圖如圖所示，

則3+8+9+x+（13﹣8﹣x）+（19﹣9﹣x）＝30，
解得x＝5，
所以同時(shí)參加徑賽和球類比賽的人數(shù)有5人，
只參加球類一項(xiàng)比賽的人數(shù)有5人，
只參加徑賽一項(xiàng)比賽的人數(shù)為0人，
只參加田賽一項(xiàng)比賽的人數(shù)為3人．
故選：CD．

（多選）12．已知（?RA）∩B＝?，則下面選項(xiàng)中不成立的是（　?。?br /> A．A∩B＝A B．A∩B＝B C．A∪B＝B D．A∪B＝R
【解答】解：因?yàn)椋?RA）∩B＝?，所以B?A，
因?yàn)锳∩B＝A，則A?B，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，
因?yàn)锳∩B＝B，則B?A，故選項(xiàng)B正確；
因?yàn)锳∪B＝B，則A?B，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
因?yàn)锳∪B＝R，不能確定是否B?A，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤．
故選：ACD．
三．填空題（共5小題）
13．已知集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x∈Z|2≤x≤5}，則A∩B＝　{3，5}?。?br /> 【解答】解：∵B＝{x∈Z|2≤x≤5}＝{2，3，4，5}，
∴A∩B＝{3，5}．
故答案為：{3，5}．
14．設(shè)集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，若A∩?RB＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ?。ī仭蓿?]?。?br /> 【解答】解：∵集合A＝{x|﹣2＜x＜3}，B＝{x|x＞a}，
∴?RB＝{x|x≤a}，
∵A∩?RB＝?，
∴a≤﹣2，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，﹣2]．
故答案為：（﹣∞，﹣2]．
15．已知A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝?，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 ?。ī仭?，﹣4]∪[5，+∞）　．
【解答】解：∵A＝{x|a≤x≤a+3}，b＝{x|﹣1＜x＜5}，A∩B＝?，
∴a≥5或a+3≤﹣1，解得a≥5或a≤﹣4，
故答案為：（﹣∞，﹣4]∪[5，+∞）．
16．已知A＝（﹣∞，0]，B＝[a，+∞），且A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為 ?。ī仭?，0]　．
【解答】解：∵A＝（﹣∞，0]，B＝[a，+∞），且A∪B＝R，
∴a≤0，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（﹣∞，0]．
故答案為：（﹣∞，0]．
17．建黨百年之際，影片《1921》《長(zhǎng)津湖》《革命者》都已陸續(xù)上映，截止2021年10月底，《長(zhǎng)津湖》票房收入已超56億元，某市文化調(diào)查機(jī)構(gòu)，在至少觀看了這三部影片中的其中一部影片的市民中隨機(jī)抽取了100人進(jìn)行調(diào)查，得知其中觀看了《1921》的有51人，觀看了《長(zhǎng)津湖》的有60人，觀看了《革命者》的有50人，數(shù)據(jù)如圖，則圖中a＝　9　；b＝　8　；c＝　10?。?br />
【解答】解：由題意得28+a+b+6=5135+a+c+6=6026+b+c+6=50，
解得a＝9，b＝8，c＝10．
故答案為：9，8，10．
四．解答題（共7小題）
18．已知S＝{x|x是小于9的正整數(shù)}，A＝{4，5，6，7}，B＝{3，5，7，8}．求：
（1）A∩B；
（2）A∪B；
（3）（?SA）∪B．
【解答】解：（1）A∩B＝{5，7}；
（2）A∪B＝{3，4，5，6，7，8}；
（3）?SA＝{1，2，3，8}，（?SA）∪B＝{1，2，3，5，7，8}．
19．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}．
（1）若A∩B＝?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若A∪B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，A∩B＝?，
∴當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m-12m-1＜-2或m+1≤2m-1m+1＞5，
解得m＞4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，2）∪（4，+∞）；
（2）∵A∪B＝A，∴B?A，
當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，解得m＜2；
當(dāng)B≠?時(shí)，m+1≤2m-1m+1≥-22m-1≤5，解得2≤m≤3．
綜上，實(shí)數(shù)m的取值范圍是（﹣∞，3]．
20．已知全集為R，集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|（2x﹣3）（x﹣4）≤0}．
（Ⅰ）求A∪B，（?RA）∩B；
（Ⅱ）若C＝{x|m+1＜x＜2﹣m}，且A∩C＝C，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（Ⅰ）∵全集為R，集合A＝{x|1≤x＜3}，B＝{x|（2x﹣3）（x﹣4）≤0}＝{x|32≤x≤4}，
∴?RA＝{x|x≥3或x＜1}，
∴A∪B＝{x|1≤x≤4}，（?RA）∩B＝{x|3≤x≤4}；
（Ⅱ）∵C＝{x|m+1＜x＜2﹣m}，且A∩C＝C，
∴C?A，
∴當(dāng)m+1≥2﹣m，即m≥32時(shí)，C＝?，滿足題意，
當(dāng)C≠?時(shí)，m＜32，需滿足m+1≥12-m≤3m＜32，即0≤m＜32，
綜上可得，實(shí)數(shù)m的取值范圍為{m|m≥0}．
21．已知集合A＝{x|log2（x+1）≥1}，B＝{x|x2﹣2x﹣m＜0}．
（1）當(dāng)m＝3時(shí)，求?RB；
（2）若A∩B＝{x|1≤x＜4}，求A∪B．
【解答】解：（1）當(dāng)m＝3時(shí)，B＝{x|x2﹣2x﹣3＜0}＝（﹣1，3），
所以?RB＝{x|x≥3或x≤﹣1}；
（2）因?yàn)锳＝{x|log2（x+1）≥1}＝{x|x≥1}，A∩B＝{x|1≤x＜4}，
所以x＝4是x2﹣2x﹣m＝0的一個(gè)根，
故m＝8，B＝{x|x2﹣2x﹣8＜0}＝{x|﹣2＜x＜4}，
所以A∪B＝{x|x＞﹣2}．
22．已知全集U＝R，若集合A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x﹣m≤0}．
（1）若m＝3，求?UB，A∪B；
（2）若A∩B＝A，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）∵m＝3，∴B＝{x|x≤3}，
∵U＝R，∴?UB＝{x|x＞3}，
∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，∴A∪B＝{x|x≤4}．
（2）∵A∩B＝A，∴A?B，
∵A＝{x|﹣2≤x≤4}，B＝{x|x≤m}，
∴m≥4，
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍是[4，+∞）．
23．已知集合A＝{x|2≤x＜4}，B＝{x|a+2≤x≤3a}．
（1）當(dāng)a＝2時(shí)，求A∩B；
（2）若B?A，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．
【解答】解：（1）當(dāng)a＝2時(shí)，B＝{x|a+2≤x≤3a}＝{x|4≤x≤6}，
∵A＝{x|2≤x＜4}，
∴A∩B＝?．
（2）若B?A，
①當(dāng)B＝?時(shí)，則a+2＞3a，∴a＜1，
②當(dāng)B≠?時(shí)，則a+2≤3aa+2≥23a＜4，∴1≤a＜43，
綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍為（﹣∞，43）．
24．已知集合A＝{x|﹣2≤x≤5}，B＝{x|m+1≤x≤2m﹣1}，U＝R．
（1）若A∪?UB＝U，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；
（2）若A∩B≠?，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．
【解答】解：（1）A∪?UB＝U，
所以B?A，
當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
當(dāng)B≠?時(shí)，2m-1≥m+1m+1≥-22m-1≤5，
解得2≤m≤3，
綜上，m的取值范圍為{m|m≤3}；
（2）當(dāng)A∩B＝?時(shí)，
當(dāng)B＝?時(shí)，m+1＞2m﹣1，即m＜2，
當(dāng)B≠?時(shí)，2m-1≥m+12m-1＜-2或2m-1≥m+1m+1＞5，
解得，m＞4，
綜上，A∩B＝?時(shí)，m＞4或m＜2，
故當(dāng)A∩B≠?時(shí)，實(shí)數(shù)m的取值范圍為[2，4]．

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