?第二章　直線和圓的方程
綜合拔高練
五年高考練
考點　直線與圓的方程及應(yīng)用
1.(2022北京,3)若直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對稱軸,則a=(　　)
A.12　　B.?12　　C.1　　D.-1
2.(2020全國Ⅲ文,8)點(0,-1)到直線y=k(x+1)距離的最大值為(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.2
3.(多選題)(2021全國新高考Ⅰ,11)已知點P在圓(x-5)2+(y-5)2=16上,點A(4,0),B(0,2),則(　　)
A.點P到直線AB的距離小于10
B.點P到直線AB的距離大于2
C.當(dāng)∠PBA最小時,|PB|=32
D.當(dāng)∠PBA最大時,|PB|=32
4.(2020全國Ⅰ文,6)已知圓x2+y2-6x=0,過點(1,2)的直線被該圓所截得的弦的長度的最小值為(　　)
A.1　　　　B.2　　
C.3　　　　D.4
5.(2020全國Ⅱ理,5)若過點(2,1)的圓與兩坐標(biāo)軸都相切,則圓心到直線2x-y-3=0的距離為　(　　)
A.55　　B.255　　C.355　　D.455
6.(2020全國Ⅰ理,11)已知☉M:x2+y2-2x-2y-2=0,直線l:2x+y+2=0,P為l上的動點.過點P作☉M的切線PA,PB,切點為A,B,當(dāng)|PM|·|AB|最小時,直線AB的方程為(　　)
A.2x-y-1=0　　　　B.2x+y-1=0
C.2x-y+1=0　　　　D.2x+y+1=0
7.(2022天津,12)直線x-y+m=0(m>0)與圓(x-1)2+(y-1)2=3相交所得的弦長為m,則m=　　　　.?
8.(2022全國甲文,14)設(shè)點M在直線2x+y-1=0上,點(3,0)和(0,1)均在☉M上,則☉M的方程為　　　　　　　　　　.?
9.(2022全國新高考Ⅰ,14)寫出與圓x2+y2=1和(x-3)2+(y-4)2=16都相切的一條直線的方程　　　　.?
10.(2022全國乙理,14)過四點(0,0),(4,0),(-1,1),(4,2)中的三點的一個圓的方程為　　　　.?
11.(2022全國新高考Ⅱ,15)設(shè)點A(-2,3),B(0,a),若直線AB關(guān)于y=a對稱的直線與圓(x+3)2+(y+2)2=1有公共點,則a的取值范圍是　　　　.?


三年模擬練
應(yīng)用實踐
1.(2023湖南郴州臨武月考)已知在平面直角坐標(biāo)系中,點A(3,0),圓C:x2+y2+2my+m2-1=0上存在點P,使得∠CAP=π6,則m的取值范圍為(　　)
A.(-1,1)　　　　
B.[-1,1]
C.(-∞,-1)∪(1,+∞)　　　　
D.(-∞,-1]∪[1,+∞)
2.(2023廣東深圳高級中學(xué)期中)若對圓(x-1)2+(y-1)2=1上任意一點P(x,y),|3x-4y+a|+|3x-4y-9|的取值與x,y無關(guān),則實數(shù)a的取值范圍是(　　)
A.a≤4　　　　B.-4≤a≤6
C.a≤-4或a≥6　　　　D.a≥6
3.(2023安徽合肥雙鳳高級中學(xué)月考)已知圓O1:(x+2)2+y2=1,圓O2:(x-2)2+y2=1,若在圓O1上存在點M,在圓O2上存在點N,使得點P(x0,3)滿足|PM|=|PN|,則實數(shù)x0的取值范圍是　　　　.?
4.(2023湖北部分重點學(xué)校期中)一束光線從點A(-4,0)處出發(fā),經(jīng)直線x+y-1=0反射到圓C:x2+(y+2)2=2上,當(dāng)光線經(jīng)過的路徑最短時,反射光線所在直線的方程為　　　　　,最短路徑的長度為　　　　.?
5.(2023北師大二附中期中)已知P,Q兩點分別在直線l1:x-y+1=0與直線l2:x-y-1=0上,且PQ⊥l1,點A(-4,4),B(4,0),則|AP|+|PQ|+|QB|的最小值為　　　　.?
6.(2023江蘇宿遷沭陽如東中學(xué)期中)如圖,已知圓C與y軸相切于點T(0,2),與x軸的正半軸交于M,N兩點(點M在點N的左側(cè)),且|MN|=3.
(1)求圓C的方程;
(2)過點M任作一條直線與圓O:x2+y2=4相交于A,B兩點,連接AN,BN,求證:kAN+kBN為定值.






遷移創(chuàng)新
7.(2023河北衡水月考)某市公園內(nèi)的人工湖上有一個以點C為圓心的圓形噴泉,沿湖有一條小徑AB,在AB的另一側(cè)建有控制臺O,OA和OB之間均有小徑連接(小徑均為直路),且∠AOB=34π,噴泉中心C點距離B點60米,且CB連線恰與OA平行,在小徑AB上有一休息亭Q,現(xiàn)測得|OB|=402米,|OQ|=20米,且OQ⊥OA.
(1)請計算小徑AB的長度;
(2)現(xiàn)打算改建控制臺O的位置(記為O'),使其離噴泉盡可能近,在點A,B,C的位置及∠AOB大小均不變的前提下,請計算O'C長度的最小值;
(3)一人從小徑一端A處向B處勻速前進(jìn)時,噴泉恰好同時開啟,噴泉開啟t分鐘后的水幕是一個以C為圓心,半徑r=10at米的圓形區(qū)域(含邊界),此人的行進(jìn)速度是v=105米/分鐘,在這個人行進(jìn)的過程中他會被水幕沾染,試求實數(shù)a的最小值.

答案與分層梯度式解析
第二章　直線和圓的方程
綜合拔高練
五年高考練
1.A
2.B
3.ACD
4.B
5.B
6.D


1.A　易知圓(x-a)2+y2=1的圓心坐標(biāo)為(a,0),
∵直線2x+y-1=0是圓(x-a)2+y2=1的一條對稱軸,
∴直線2x+y-1=0過圓心(a,0),
∴2a+0-1=0,解得a=12,故選A.
2.B　由y=k(x+1)可知直線過定點(-1,0),設(shè)為P,設(shè)A(0,-1),當(dāng)直線y=k(x+1)與直線AP垂直時,點A到直線y=k(x+1)的距離最大,此最大距離為|AP|=2.故選B.
3.ACD　由題意可知直線AB的方程為x4+y2=1,即x+2y-4=0,則圓心(5,5)到直線AB的距離d=|5+2×5?4|12+22=1155>4,∴直線AB與圓(x-5)2+(y-5)2=16相離,∴點P到直線AB的距離的取值范圍為1155?4,1155+4,∵1155-4∈(0,1),1155+4∈(8,9),∴A正確,B錯誤.
過點B作圓的兩條切線,切點分別為P1,P2,如圖,當(dāng)點P在切點P1的位置時,∠PBA最小,當(dāng)點P在切點P2的位置時,∠PBA最大,易知|P1B|=|P2B|,圓心(5,5)到點B的距離為34,圓的半徑為4,所以|P1B|=|P2B|=34?16=18=32,故C,D均正確.故選ACD.

4.B　由x2+y2-6x=0得圓心為(3,0),設(shè)此點為C,點(1,2)為A,當(dāng)過點A的弦與AC垂直時,弦長最小,易知|AC|=22+(1?3)2=22,因為半徑、半弦長、弦心距構(gòu)成直角三角形,所以弦的長度的最小值為232?(22)2=2,故選B.
5.B　由于圓上的點(2,1)在第一象限,所以若圓心不在第一象限,則圓至少與一條坐標(biāo)軸相交,不符合題意,所以圓心必在第一象限.
設(shè)圓心的坐標(biāo)為(a,a)(a>0),則圓的半徑為a,圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-a)2=a2.由題意可得(2-a)2+(1-a)2=a2,整理得a2-6a+5=0,解得a=1或a=5.
所以圓心坐標(biāo)為(1,1)或(5,5).圓心(1,1)到直線2x-y-3=0的距離d1=|2×1?1?3|5=255;圓心(5,5)到直線2x-y-3=0的距離d2=|2×5?5?3|5=255.
所以圓心到直線2x-y-3=0的距離為255.故選B.
6.D　☉M的方程化為標(biāo)準(zhǔn)形式為(x-1)2+(y-1)2=4,半徑r=2,圓心為M(1,1),如圖,由題可知,AB⊥PM,

|PM|·|AB|=2S四邊形APBM=2(S△PAM+S△PBM)=2(|PA|+|PB|).
∵|PA|=|PB|,
∴|PM|·|AB|=4|PA|=4|PM|2?|AM|2=4|PM|2?4,
當(dāng)|PM|最小時,|PM|·|AB|最小,易知|PM|min=54+1=5,此時|PA|=1,AB∥l,設(shè)直線AB的方程為y=-2x+b(b≠-2),
圓心M到直線AB的距離d=|3?b5,
|AB|=4|PA||PM|=45,∴d2+AB22=|MA|2,即(3?b)25+45=4,解得b=-1或b=7(舍去).綜上,直線AB的方程為y=-2x-1,即2x+y+1=0,故選D.
7.答案　2
解析　圓心(1,1)到直線x-y+m=0的距離為m2,則m22+m22=3,解得m=2(負(fù)值舍去).
8.答案　(x-1)2+(y+1)2=5
解析　由點M在直線2x+y-1=0上,可設(shè)M(a,1-2a),
因為點(3,0)和點(0,1)均在☉M上,
所以(a?3)2+(1?2a?0)2=(a?0)2+(1?2a?1)2,
解得a=1,則☉M的圓心為M(1,-1),半徑為(1?0)2+(?1?1)2=5,
故☉M的方程為(x-1)2+(y+1)2=5.
9.答案　x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0(寫出一個即可)
解析　設(shè)圓(x-3)2+(y-4)2=16的圓心為O1,
如圖所示,

顯然兩圓外切,
由圖可知l1:x=-1與兩圓均外切.
易知直線OO1的方程為y=43x,設(shè)直線OO1與l1的交點為P,∴P?1,?43,
易知過點P的兩圓的公切線l2的斜率存在,設(shè)為k,則切線l2的方程為y=k(x+1)-43,即kx-y+k-43=0.
易知點O(0,0)到切線l2的距離為1,∴k?43k2+1=1,∴k=724,∴切線l2的方程為7x-24y-25=0.
設(shè)兩圓相切于點M,垂直于直線OO1的切線l3的方程為y=-34x+n,即3x+4y-4n=0,
易知點O(0,0)到切線l3的距離為1,∴|?4n32+42=1,∴|n|=54,易知n>0,∴切線l3的方程為y=-34x+54,即3x+4y-5=0,∴與兩圓都相切的切線方程為x=-1或7x-24y-25=0或3x+4y-5=0.
10.答案　(x-2)2+(y-3)2=13或(x-2)2+(y-1)2=5或x?432+y?732=659或x?852+(y-1)2=16925(寫出一個即可)
解析　若圓過(0,0),(4,0),(-1,1),根據(jù)圓的幾何性質(zhì)知圓心在弦的中垂線上,設(shè)A(0,0),B(4,0),C(-1,1),易得AB的中垂線方程為x=2,AC的中垂線方程為y=x+1.聯(lián)立x=2,y=x+1,解得圓心坐標(biāo)為(2,3).此時圓的半徑r=4+9=13.所以圓的方程為(x-2)2+(y-3)2=13.同理,其他三種情況下圓的方程分別為(x-2)2+(y-1)2=5,x?432+y?732=659,x?852+(y-1)2=16925.
11.答案　 13,32
解析　由題易知kAB=a?32,所以直線AB關(guān)于直線y=a對稱的直線為y-a=-a?32x,即(3-a)x-2y+2a=0,由題意可得圓心(-3,-2)到該直線的距離小于或等于半徑,
所以|3(a?3)+4+2a(?2)2+(3?a)2≤1?6a2-11a+3≤0,解得13≤a≤32.
三年模擬練
1.B　圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y+m)2=1,圓心為(0,-m),半徑r=1.
易知點A在圓C外,設(shè)過點A的直線與圓C相切于點M,若P點存在,則∠CAP=π6≤∠CAM

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2.4 圓的方程

版本： 人教A版 (2019)

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