人教A版 (2019)選擇性必修第一冊2.4 圓的方程學(xué)案-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

專題強(qiáng)化練5　圓系方程、圓的切線系方程的綜合應(yīng)用1.(2022山西太原期中)過點(diǎn)M(2,-1),且經(jīng)過圓x2+y2-4x-4y+4=0與圓x2+y2-4=0的交點(diǎn)的圓的方程為????????????? (　　)A.x2+y2+x+y-6=0　　　　B.x2+y2+x-y-8=0C.x2+y2-x+y-2=0　　　　D.x2+y2-x-y-4=02.(多選題)(2022四川成都郫都期中)設(shè)有一組圓Ck:(x-k+1)2+(y-3k)2=2k4,k∈N*.下列命題中是真命題的是????????????? (　　)A.存在一條定直線與所有的圓均相切B.存在一條定直線與所有的圓均相交C.存在一條定直線與所有的圓均不相交D.所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn)3.(多選題)(2022重慶縉云教育聯(lián)盟模擬)設(shè)直線系M:xcos θ+(y-2)sin θ=1(0≤θ<2π).下列四個(gè)命題中正確的是????????????? (　　)A.存在一個(gè)圓與所有直線均相交B.存在一個(gè)圓與所有直線均不相交C.存在一個(gè)圓與所有直線均相切D.M中的直線所能圍成的正三角形面積都相等4.(2023陜西西安名校期中聯(lián)考)已知圓M:(x-1-cos θ)2+(y-2-sin θ)2=1,直線l:kx-y-k+2=0.有下面五個(gè)命題,其中正確命題的個(gè)數(shù)是????????????? (　　)①對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點(diǎn);②對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l與圓M都相離;③存在實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M相離;④對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l與圓M相切;⑤對(duì)任意實(shí)數(shù)θ,必存在實(shí)數(shù)k,使得直線l與圓M相切.A.2　　　　B.3　　C.4　　　　D.55.(2022河南中原名校聯(lián)考)過點(diǎn)P(2,2)作圓C:(x+2)2+(y+2)2=r2(r>0)的兩條切線,切點(diǎn)分別為A,B,給出下列四個(gè)結(jié)論:①0<r<2;②若△PAB為直角三角形,則r=4;③△PAB外接圓的方程為x2+y2=4;④直線AB的方程為4x+4y+16-r2=0.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)為 (　　)A.②④　　　　B.③④C.②③　　　　D.①②④6.(2023江蘇常州月考)經(jīng)過兩圓C1:x2+y2-4x+2y+1=0與C2:x2+y2-6x=0的交點(diǎn)且半徑最小的圓的一般方程是　　　　　　　　. 7.(2023河南鄭州中學(xué)強(qiáng)基班測試)已知acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0(a≠b),對(duì)任意a,b∈R,經(jīng)過兩點(diǎn)(a,a2),(b,b2)的直線與一定圓相切,則該圓的方程為　　　　　　　　. 8.(2023福建廈門集美中學(xué)質(zhì)檢)設(shè)O是坐標(biāo)原點(diǎn),直線x+2y-3=0與圓C:x2+y2+x-6y+m=0交于P,Q兩點(diǎn).(1)求線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo);(2)若OP⊥OQ,求圓C的面積. 答案與分層梯度式解析專題強(qiáng)化練5　圓系方程、圓的切線系方程的綜合應(yīng)用1.A2.BD3.ABC4.A5.A 1.A　易知點(diǎn)M不在圓x2+y2-4=0上,故可設(shè)過圓x2+y2-4x-4y+4=0與圓x2+y2-4=0的交點(diǎn)的圓的方程為(x2+y2-4x-4y+4)+λ(x2+y2-4)=0(λ≠-1),將M的坐標(biāo)代入可得(4+1-8+4+4)+λ(4+1-4)=0,解得λ=-5,所以所求圓的方程為x2+y2+x+y-6=0,故選A.名師指點(diǎn)　圓系方程1.以(a,b)為圓心的同心圓系方程為(x-a)2+(y-b)2=λ2(λ>0),與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0同心的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+λ=0.2.過直線Ax+By+C=0與圓x2+y2+Dx+Ey+F=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+Dx+Ey+F+λ(Ax+By+C)=0(λ∈R).3.過兩圓C1:x2+y2+D1x+E1y+F1=0,C2:x2+y2+D2x+E2y+F2=0的交點(diǎn)的圓系方程為x2+y2+D1x+E1y+F1+λ(x2+y2+D2x+E2y+F2)=0(λ≠-1)和x2+y2+D2x+E2y+F2=0.為了避免利用上述圓系方程時(shí)討論圓C2,可等價(jià)轉(zhuǎn)化為過圓C1和兩圓公共弦所在直線交點(diǎn)的圓系方程:x2+y2+D1x+E1y+F1+λ[(D1-D2)x+(E1-E2)·y+(F1-F2)]=0.2.BD　根據(jù)題意得,圓Ck的圓心坐標(biāo)為(k-1,3k),k∈N*,易知圓心在直線y=3(x+1)上,故存在直線y=3(x+1)與所有的圓都相交,所以B正確;以圓Ck與圓Ck+1為例,考慮兩圓的位置關(guān)系:圓Ck:圓心為(k-1,3k),半徑r=k2,圓Ck+1:圓心為(k+1-1,3(k+1)),即(k,3k+3),半徑R=(k+1)2,兩圓的圓心距d=,R-r=(k+1)2-,對(duì)任意的k∈N*,R-r>d,故Ck含于Ck+1之中,所以A錯(cuò)誤;當(dāng)k取無窮大時(shí),可以認(rèn)為所有直線都與圓相交,所以C錯(cuò)誤;將(0,0)代入圓的方程,可得(-k+1)2+9k2=2k4,即10k2-2k+1=2k4(k∈N*),因?yàn)榈仁阶筮厼槠鏀?shù),右邊為偶數(shù),故不存在k∈N*使此式成立,即所有的圓均不經(jīng)過原點(diǎn),所以D正確.故選BD.3.ABC　易知點(diǎn)(0,2)到M中每條直線的距離d==1,即M中的每條直線都是圓x2+(y-2)2=1的切線,所以存在圓心為(0,2),半徑大于1的圓與M中所有直線均相交,故A正確;由上述分析知,存在圓心為(0,2),半徑小于1的圓與M中所有直線均不相交,故B正確;由上述分析知,存在圓心為(0,2),半徑等于1的圓與M中所有直線均相切,故C正確;因?yàn)?/span>M中的直線與以(0,2)為圓心,1為半徑的圓相切,所以不妨取M中的直線AB,AC,BC,DE,它們圍成正三角形ADE與正三角形ABC,如圖,△ABC與△ADE的面積不相等,故D錯(cuò)誤.故選ABC.知識(shí)拓展　圓的切線系方程直線方程(x-a)cos θ+(y-b)sin θ=r(其中a,b,r均為實(shí)常數(shù),且r>0,θ∈R)表示以(a,b)為圓心,r為半徑的圓的切線系.事實(shí)上,設(shè)點(diǎn)(a,b)到此直線的距離為d,易得d==r,即此切線系中的每條直線都是圓(x-a)2+(y-b)2=r2的切線.4.A　對(duì)于①②,由題可知圓M的圓心為M(1+cos θ,2+sin θ),半徑r=1,直線l的方程可以寫成y=k(x-1)+2,易知直線l過定點(diǎn)(1,2),記A(1,2),因?yàn)辄c(diǎn)A在圓上,所以直線l與圓相切或相交,故對(duì)任意實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M有公共點(diǎn),①正確,②錯(cuò)誤.對(duì)于③,由以上分析知不存在實(shí)數(shù)k與θ,直線l和圓M相離,③錯(cuò)誤.對(duì)于④,當(dāng)直線l與圓M相切時(shí),點(diǎn)A恰好為直線l與圓M的切點(diǎn),故直線AM與直線l垂直,當(dāng)k=0時(shí),直線AM與x軸垂直,則1+cos θ=1,即cos θ=0,解得θ=k'π+(k'∈Z),故存在θ使得直線l與圓M相切;當(dāng)k≠0時(shí),若直線AM與直線l垂直,則cos θ≠0,直線AM的斜率kAM==tan θ,所以kAM·k=-1,即tan θ=-,對(duì)任意的k≠0,均存在實(shí)數(shù)θ,使得tan θ=-,從而使得直線AM與直線l垂直.綜上所述,對(duì)任意實(shí)數(shù)k,必存在實(shí)數(shù)θ,使得直線l與圓M相切,④正確.對(duì)于⑤,點(diǎn)M(1+cos θ,2+sin θ)到直線l的距離d=,令θ=0,則當(dāng)k=0時(shí),d=0;當(dāng)k≠0時(shí),d=<1,故當(dāng)θ=0時(shí),d<1恒成立,即直線l與圓M必相交,故不存在實(shí)數(shù)k,使得直線l與圓M相切,⑤錯(cuò)誤.所以正確命題的個(gè)數(shù)為2,故選A.5.A　由題意可得P在圓外,則(2+2)2+(2+2)2>r2,又r>0,所以0<r<4,故①錯(cuò)誤;若△PAB為直角三角形,則四邊形PACB是邊長為r的正方形,可得|PC|=,解得r=4,故②正確;由PA⊥AC,PB⊥BC及四點(diǎn)共圓的判定可得P,A,C,B是以PC為直徑的圓上四點(diǎn),又線段PC的中點(diǎn)為(0,0),|PC|=4,所以所求圓的方程為x2+y2=8,故③錯(cuò)誤;易知△PAB的外接圓和圓C相交于點(diǎn)A,B,由x2+y2=8和(x+2)2+(y+2)2=r2兩式相減,可得4x+4y+16-r2=0,此方程即為直線AB的方程,故④正確.故選A.6.答案　x2+y2-=0解析　要使圓的面積最小,則所求圓以已知兩相交圓的公共弦為直徑.設(shè)所求圓的方程為x2+y2-4x+2y+1+λ(x2+y2-6x)=0(λ≠-1),即(1+λ)x2+(1+λ)y2-(4+6λ)x+2y+1=0,其圓心為,將兩已知圓的方程作差可得相交弦所在直線的方程為2x+2y+1=0,將代入2x+2y+1=0,得2×+2×+1=0,解得λ=-,故所求圓的方程為x2+y2-4x+2y+1-(x2+y2-6x)=0,即x2+y2-=0.7.答案　x2+y2=4解析　∵acos θ+a2sin θ-2=0,bcos θ+b2sin θ-2=0,a≠b,∴(a,a2),(b,b2)都在直線xcos θ+ysin θ-2=0上,故經(jīng)過兩點(diǎn)(a,a2),(b,b2)的直線是xcos θ+ysin θ-2=0,∴點(diǎn)(0,0)到該直線的距離d==2,故所求圓的方程為x2+y2=4.8.解析　(1)易知圓C的圓心為C,直線x+2y-3=0的斜率為-,所以線段PQ的垂直平分線的斜率為2,且經(jīng)過C,所以線段PQ的垂直平分線的方程為y-3=2,即y=2x+4,由所以線段PQ的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(-1,2).(2)設(shè)過直線x+2y-3=0與圓x2+y2+x-6y+m=0交點(diǎn)的圓的方程為x2+y2+x-6y+m+λ(x+2y-3)=0,即x2+y2+(1+λ)x+2(λ-3)y+m-3λ=0.(*)依題意知,O在以PQ為直徑的圓上,則圓心在直線x+2y-3=0上,則-+2(3-λ)-3=0,解得λ=1.又O(0,0)滿足方程(*),所以m-3λ=0,故m=3.所以圓C:x2+y2+x-6y+3=0,其半徑為,所以圓C的面積為π·.

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