第二章　直線和圓的方程2.4　圓的方程2.4.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練題組一　認(rèn)識(shí)圓的方程1.(2023廣東廣州仲元中學(xué)月考)方程|x-1|=表示的曲線是 (　　)A.一個(gè)圓　　　　B.兩個(gè)半圓C.兩個(gè)圓　　　　D.半圓2.(2022河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)方程x=表示的圖形是 (　　)A.兩個(gè)半圓　　　　B.兩個(gè)圓C.圓　　　　D.半圓3.(2023浙江杭州期中)圓(x+2)2+(y-3)2=5的圓心坐標(biāo)、半徑分別是 (　　)A.(2,-3),5　　　　B.(-2,3),5C.(-2,3),　　　　D.(3,-2),題組二　求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程4.(2023四川成都期中)在平面直角坐標(biāo)系中,圓心為(1,-3),半徑為2的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A.(x-1)2+(y+3)2=4　　　　B.(x-1)2+(y+3)2=2C.(x+1)2+(y-3)2=4　　　　D.(x+1)2+(y-3)2=25.(2023黑龍江伊春期中)與圓C:(x-1)2+y2=36同圓心,且面積等于圓C面積一半的圓的方程為????????????? (　　)A.(x-1)2+y2=18　　　　B.(x-1)2+y2=9C.(x-1)2+y2=6　　　　D.(x-1)2+y2=36.已知圓的一條直徑的端點(diǎn)分別是A(-1,0),B(3,-4),則該圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為????????????? (　　)A.(x+1)2+(y-2)2=8　　　　B.(x-1)2+(y+2)2=8C.(x+1)2+(y-2)2=32　　　　D.(x-1)2+(y+2)2=327.(2023湖南常德期中)已知△AOB的頂點(diǎn)分別為A(2,0),B(0,4),O(0,0).則△AOB外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為　　　　　. 8.(2021黑龍江鶴崗一中月考)若一圓的圓心坐標(biāo)為(2,-3),一條直徑的端點(diǎn)分別在x軸和y軸上,則此圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是　　　　　　. 9.(2022湖南常德淮陽(yáng)中學(xué)期中)已知點(diǎn)A(1,-2),B(-1,4),求:(1)過(guò)點(diǎn)A,B且周長(zhǎng)最小的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)過(guò)點(diǎn)A,B且圓心在直線2x-y-4=0上的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.題組三　點(diǎn)與圓的位置關(guān)系10.(2022吉林白城一中段考)點(diǎn)(sin 30°,cos 30°)與圓x2+y2=的位置關(guān)系是(　　)A.點(diǎn)在圓上　　　　B.點(diǎn)在圓內(nèi)C.點(diǎn)在圓外　　　　D.不能確定11.(2023山東青島期中)點(diǎn)(2a,a-1)在圓x2+(y-1)2=13內(nèi)部,則a的取值范圍是????????????? (　　)A.-9<a<C.-<a<912.(2023黑龍江雙鴨山期中)已知x,y滿足x2+(y+4)2=4,則的最大值為　　　　,最小值為　　　　. 能力提升練題組　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其應(yīng)用1.(2021吉林長(zhǎng)春外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考,)已知Rt△ABC的斜邊的兩端點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為(-3,0)和(7,0),則直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為 ????????????? (　　)A.x2+y2=25(y≠0)B.x2+y2=25C.(x-2)2+y2=25(y≠0)D.(x-2)2+y2=252.(2023天津河?xùn)|段考)圓(x-1)2+(y+2)2=9關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱的圓的方程是(　　)A.x2+(y-3)2=9　　　　B.x2+(y-3)2=16C.(x-3)2+y2=9　　　　D.(x-3)2+y2=163.(多選題)(2023河北保定四校聯(lián)考)圓上的點(diǎn)(2,1)關(guān)于直線x+y=0的對(duì)稱點(diǎn)仍在圓上,且圓的半徑為,則圓的方程可能是????????????? (　　)A.x2+y2=5　　　　B.(x-1)2+(y-3)2=5C.x2+(y-2)2=5　　　　D.(x-1)2+(y+1)2=54.(2023安徽合肥期中)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O作單位圓x2+y2=1的兩條互相垂直的半徑OA,OB,若在該圓上存在一點(diǎn)C,使得(a,b∈R),則以下說(shuō)法正確的是????????????? (　　)A.點(diǎn)P(a,b)一定在單位圓內(nèi)B.點(diǎn)P(a,b)一定在單位圓上C.點(diǎn)P(a,b)一定在單位圓外D.當(dāng)且僅當(dāng)ab=0時(shí),點(diǎn)P(a,b)在單位圓上5.(2022遼寧省實(shí)驗(yàn)中學(xué)月考)點(diǎn)A(2sin θ,2cos θ)總在圓C:(x-3)2+(y-4)2=m內(nèi),則實(shí)數(shù)m的取值范圍是????????????? (　　)A.(5,+∞)　　　　B.[5,+∞)C.(25,+∞)　　　　D.(49,+∞)6.(2022江西南昌八一中學(xué)月考)經(jīng)過(guò)拋物線y=x2-3x+2與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)的圓的方程為　　　　　　　　　　. 7.(2023江蘇常州二中調(diào)研)已知在△ABC中,A(-1,-3),∠B,∠C的平分線所在的直線分別是l1:y+1=0,l2:x+y+1=0.(1)求邊BC所在直線的方程;(2)求△ABC的內(nèi)切圓的方程.   8.(2022上海楊浦月考,)已知a∈N*,在平面直角坐標(biāo)系中,△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)分別為A(a,0),B(-2,2),C(-3,3).設(shè)△ABC的外接圓為M.(1)若a=2,求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)求圓M面積最小時(shí)a的值.    答案與分層梯度式解析第二章　直線和圓的方程2.4　圓的方程2.4.1　圓的標(biāo)準(zhǔn)方程基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練1.A2.D3.C4.A5.A6.B10.C11.B1.A　原方程可化為(x-1)2+(y+1)2=1,它表示的曲線是以(1,-1)為圓心,1為半徑的圓.故選A.2.D　根據(jù)題意得x≥0,將原方程兩邊同時(shí)平方并整理得x2+y2=1,由此確定表示的圖形為半圓.故選D.3.C　由(x+2)2+(y-3)2=5,得[x-(-2)]2+(y-3)2=()2,∴圓(x+2)2+(y-3)2=5的圓心坐標(biāo)為(-2,3),半徑是.故選C.4.A　5.A　圓C:(x-1)2+y2=36的圓心坐標(biāo)為(1,0),半徑為6,則所求圓的圓心為(1,0),根據(jù)所求圓的面積為圓C面積的一半可知所求圓的半徑為3,所以所求圓的方程為(x-1)2+y2=18.故選A.6.B　由題意可知,線段AB的中點(diǎn)為(1,-2),所求圓的半徑r=,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y+2)2=8.故選B.課外拓展　以A(x1,y1),B(x2,y2)為直徑端點(diǎn)的圓的方程是(x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0.7.答案　(x-1)2+(y-2)2=5解析　解法一:設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),因?yàn)閳A過(guò)點(diǎn)A(2,0),B(0,4),O(0,0),所以則圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)2=5.解法二:由題得,kOA=0,線段OA的中點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0),lOA的中垂線方程為x=1,同理lOB的中垂線方程為y=2,聯(lián)立兩中垂線方程得△AOB外接圓的圓心為(1,2),利用兩點(diǎn)間距離公式可求出圓心到點(diǎn)O的距離為,即半徑為,故圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-1)2+(y-2)=5.解后反思　三角形外接圓的圓心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等,是三角形三邊的中垂線的交點(diǎn).8.答案　(x-2)2+(y+3)2=13解析　易知此直徑兩端點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(4,0),(0,-6),可得圓的半徑為.因?yàn)閳A心坐標(biāo)為(2,-3),所以所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是(x-2)2+(y+3)2=13.9.解析　(1)當(dāng)AB為直徑時(shí),過(guò)點(diǎn)A,B的圓的周長(zhǎng)最小.易知線段AB的中點(diǎn)為(0,1),|AB|=2,故所求圓的圓心為(0,1),半徑為,故所求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-1)2=10.(2)設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y-2)2=20.10.C　因?yàn)?/span>sin230°+cos230°=,所以點(diǎn)在圓外.11.B　∵點(diǎn)(2a,a-1)在圓x2+(y-1)2=13的內(nèi)部,∴(2a)2+(a-1-1)2<13,解得-1<a<,故選B.12.答案　+2;-2解析　易知點(diǎn)(x,y)是圓x2+(y+4)2=4上的任意一點(diǎn),記該圓為圓C.圓C的圓心為C(0,-4),半徑r=2.易知表示點(diǎn)(-1,-1)與圓C上的點(diǎn)的距離,記A(-1,-1).因?yàn)?/span>|AC|2=(-1-0)2+(-1+4)2>4,所以點(diǎn)A(-1,-1)在圓外.又|AC|=,所以+2,最小值為|AC|-r=-2.能力提升練1.C2.C3.AD4.B5.D   1.C　解法一:設(shè)C(x,y),則|CA|2+|CB|2=|AB|2,∴(x+3)2+y2+(x-7)2+y2=100,∴(x-2)2+y2=25.∵A,B,C三點(diǎn)構(gòu)成三角形,∴y≠0.∴直角頂點(diǎn)C的軌跡方程是(x-2)2+y2=25(y≠0).解法二:依題意得,直角頂點(diǎn)C在以AB為直徑的圓上運(yùn)動(dòng),且點(diǎn)C與點(diǎn)A,B不重合.易知線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(2,0),|AB|=10,所以直角頂點(diǎn)C的軌跡方程為(x-2)2+y2=25(y≠0).故選C.易錯(cuò)警示　若A,B,C三點(diǎn)能構(gòu)成三角形,則三點(diǎn)不共線,在設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)以及求出方程后注意排除不滿足題目要求的取值.2.C　圓(x-1)2+(y+2)2=9的圓心坐標(biāo)為(1,-2),半徑為3,設(shè)點(diǎn)(1,-2)關(guān)于直線x+y-1=0的對(duì)稱點(diǎn)為(m,n),則則圓(x-1)2+(y+2)2=9關(guān)于直線x+y-1=0對(duì)稱的圓的圓心坐標(biāo)為(3,0),則該圓的方程為(x-3)2+y2=9.故選C.3.AD　由題意及圓的對(duì)稱性可得圓心在直線x+y=0上,設(shè)圓心坐標(biāo)為(a,-a).由圓的半徑為,點(diǎn)(2,1)在圓上,得(2-a)2+(1+a)2=5,解得a=0或a=1,∴所求圓的方程為x2+y2=5或(x-1)2+(y+1)2=5.故選AD.4.B　易知|,∵⊥,||=1,∴|,又C在圓上,∴||=1,∴=1,∴|OP|==1,又單位圓的半徑為1,∴點(diǎn)P一定在單位圓上.故選B.5.D　由題意得(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2<m 恒成立,即m>[(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2]max.(2sin θ-3)2+(2cos θ-4)2=4sin2θ-12sin θ+9+4cos2θ-16cos θ+16=29-12sin θ-16cos θ=29-20sin(θ+φ),其中tan φ=.∵-1≤sin(θ+φ)≤1,∴9≤29-20sin(θ+φ)≤49,∴m>49.故選D.6.答案　解析　對(duì)于y=x2-3x+2,令x=0,則y=2;令y=0,則x=1或x=2.所以拋物線y=x2-3x+2與坐標(biāo)軸的三個(gè)交點(diǎn)分別為(0,2),(1,0),(2,0).設(shè)所求圓的方程為(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0),則,b=,r2=,故所求圓的方程為.7.解析　(1)設(shè)點(diǎn)A關(guān)于l1對(duì)稱的點(diǎn)為A1,點(diǎn)A關(guān)于l2對(duì)稱的點(diǎn)為A2,則A1(-1,1),A2(2,0),邊BC所在直線即為直線A1A2,即x+3y-2=0.(2)由題意可知,△ABC的內(nèi)切圓的圓心即為l1,l2的交點(diǎn),聯(lián)立l1,l2的方程,得所以△ABC內(nèi)切圓的圓心坐標(biāo)為(0,-1).設(shè)內(nèi)切圓的半徑為r,圓心到直線BC的距離為d,則r=d=,故內(nèi)切圓的方程為x2+(y+1)2=.解題關(guān)鍵　三角形內(nèi)切圓的圓心是三角形三條內(nèi)角平分線的交點(diǎn).8.解析　(1)當(dāng)a=2時(shí),A(2,0),此時(shí)線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為(0,1),線段BC的中點(diǎn)坐標(biāo)為,∴線段AB的中垂線方程為y-1=-(x-0),即y=2x+1,線段BC的中垂線方程為y-,即y=x+5.聯(lián)立即圓心M(4,9),∴|BM|=,∴圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-4)2+(y-9)2=85.(2)∵A(a,0),B(-2,2),∴線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為,∴線段AB的中垂線方程為y-1=-,即y=.由(1)知線段BC的中垂線方程為y=x+5.聯(lián)立即圓心M,∴|BM|2=,∴圓M的面積S=π|BM|2=+26.∵a+≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=2時(shí),等號(hào)成立,a∈N*,∴當(dāng)a=3或a=4時(shí),a+有最小值,此時(shí)S最小. 

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2.4 圓的方程

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