?第二章　直線和圓的方程
2.5.2　圓與圓的位置關系
基礎過關練
題組一　圓與圓的位置關系
1.(2023福建寧德期中)圓(x-2)2+(y-2)2=1與圓(x+1)2+(y+2)2=25的位置關系是(　　)
A.相切　　　　B.相交
C.內(nèi)含　　　　D.外離
2.(2023天津鐵廠第二中學期中)若圓x2+4x+y2=0與圓(x-2)2+(y-3)2=r2(r>0)有三條公切線,則r=(　　)
A.5　　B.4　　C.3　　D.2
3.(2022四川南充閬中中學期中)已知點M在圓C1:(x+3)2+(y-1)2=4上,點N在圓C2:(x-1)2+(y+2)2=4上,則|MN|的最大值是(　　)
A.5　　B.7　　C.9　　D.11
4.(2022山東棗莊期末)已知圓O1的方程為(x-a)2+(y-b)2=4,圓O2的方程為x2+(y-b+1)2=1,其中a,b∈R.那么這兩個圓的位置關系不可能為(　　)
A.外離　　　　B.外切　　
C.內(nèi)含　　　　D.內(nèi)切
5.設兩圓C1,C2都和兩坐標軸相切,且都過點(4,1),則兩圓圓心的距離等于(　　)
A.4　　B.42　　C.8　　D.82
6.(2023山東四市聯(lián)考)我們把圓心在一條直線上且相鄰圓彼此外切的一組圓叫作“串圓”.在如圖所示的“串圓”中,圓A的方程為x2+(y-1)2=2,圓C的方程為(x-6)2+(y-7)2=2,則圓B的方程為　　　　　　　　.?

題組二　兩圓的公共弦問題
7.(2023江蘇常州二中期中)圓O1:x2+y2-4x+6y+2=0和圓O2:x2+y2-2x=0的公共弦AB的垂直平分線的方程為(　　)
A.3x-y-3=0　　　　B.x+3y-1=0
C.x+3y+1=0　　　　D.3x+y-3=0
8.已知圓C1:x2+y2-4x+2y=0與圓C2:x2+y2-2y-4=0相交于A,B兩點,則圓C:(x+3)2+(y-3)2=1上的動點P到直線AB的距離的最大值為　　　　.?
9.已知圓O1的方程為x2+(y+1)2=4,圓O2的圓心為O2(2,1).
(1)若圓O2與圓O1外切,求圓O2的方程,并求它們的內(nèi)公切線方程;
(2)若圓O2與圓O1交于A,B兩點,且|AB|=22.求圓O2的方程.
能力提升練
題組一　圓與圓的位置關系
1.(2023浙江省舟山中學月考)已知圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0(a∈R)與圓C2:x2+y2-2by-1+b2=0(b∈R)恰有三條公切線,則a+b的最小值為　(　　)
A.32　　　　B.?32
C.6　　　　D.-6
2.已知圓C1:x2+y2=4與x軸交于A,B兩點,圓C2:(x-3)2+(y-4)2=a,若圓C2上存在點P使得∠APB=90°,則a的取值范圍是(　　)
A.[7,+∞)　　　　B.[9,+∞)
C.[9,49]　　　　D.[3,7]
3.(2023浙江湖州六校聯(lián)考)在平面直角坐標系Oxy中,若圓C1:(x-2)2+(y-1)2=4上存在點M,且點M關于直線x+y+1=0的對稱點N在圓C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)上,則r的取值范圍是(　　)
A.[17-2,17+2]　　　　
B.[22-2,22+2]
C.[13-2,13+2]　　　　
D.[5-2,5+2]
4.(多選題)(2023山東煙臺期中)圓C1:x2+y2+2x-6y+6=0與圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0相交于A,B兩點,則(　　)
A.直線AB的方程為4x-4y+5=0
B.公共弦AB的長為148
C.圓C1與圓C2的公切線的長為7
D.線段AB的中垂線方程為x+y-2=0
5.(2023江蘇省金湖中學、洪澤中學聯(lián)考)在平面直角坐標系Oxy中,已知圓O:x2+y2=r2(r>0)與圓M:(x-6)2+y2=4.
(1)若圓O與圓M有公共點,求r的取值范圍;
(2)求過點H(4,3)且與圓M相切的直線l的方程;
(3)當r=2時,設P為平面上的定點,且滿足:存在過點P的無窮多對互相垂直的直線l1和l2,它們分別與圓O和圓M相交,且直線l1被圓O截得的弦的長與直線l2被圓M截得的弦的長相等,試求所有滿足條件的點P的坐標.





題組二　圓與圓的位置關系的綜合運用
6.(2023河南安陽期中)已知圓O:x2+y2=r2(r>0)與圓C:x2+y2+8x+6y+16=0交于A,B兩點,且四邊形OACB的面積為3r,則|AB|=(　　)
A.95　　B.165　　C.245　　D.365
7.(多選題)(2023廣東深圳實驗學校期中)已知圓O:x2+y2=r2(r>0)與圓C:(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點,則下列結論正確的是(　　)
A.x1+x2=a,y1+y2=b　　　　
B.00),直線l:y=kx(k>0)分別交圓C1,C2于點A,B(A,B在第一象限內(nèi)),過點A作x軸的平行線交圓C2于M,N兩點(N在第一象限內(nèi)),若點A既是線段OB的中點,又是線段MN的三等分點,求k的值.



10.(2022湖北黃岡期中)已知圓C過點M(1,4),N(3,2),且圓心在直線4x-3y=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)已知平面上有兩點A(-2,0),B(2,0),點P是圓C上的動點,求|AP|2+|BP|2的最小值;
(3)若Q是x軸上的動點,QR,QS與圓C相切,切點分別為R,S,試問直線RS是否恒過定點?若是,求出定點坐標;若不是,請說明理由.




答案與分層梯度式解析
第二章　直線和圓的方程
2.5.2　圓與圓的位置關系
基礎過關練
1.B
2.C
3.C
4.C
5.C
7.D


1.B　圓(x-2)2+(y-2)2=1的圓心坐標為(2,2),半徑為1,
圓(x+1)2+(y+2)2=25的圓心坐標為(-1,-2),半徑為5,
則兩圓圓心距為(2+1)2+(2+2)2=5,
又5-1r1+r2=4,所以兩圓外離,從而|MN|的最大值為5+2+2=9.故選C.
4.C　根據(jù)題意,圓O1的圓心為O1(a,b),半徑r=2,圓O2的圓心為O2(0,b-1),半徑R=1,
所以r+R=3,r-R=1,
因為|O1O2|=a2+1≥1,所以|O1O2|≥r-R,
故兩圓的位置關系不可能是內(nèi)含.故選C.
5.C　∵兩圓都與兩坐標軸相切,且都經(jīng)過點(4,1),
∴兩圓圓心均在第一象限且每個圓心的橫、縱坐標相等.
設兩圓的圓心坐標分別為(a,a),(b,b),a>0,b>0,
則有(4-a)2+(1-a)2=a2,(4-b)2+(1-b)2=b2,
∴a,b為方程(4-x)2+(1-x)2=x2,即x2-10x+17=0的兩個實數(shù)根,∴a+b=10,ab=17.
∴(a-b)2=(a+b)2-4ab=100-4×17=32,
∴|C1C2|=(a?b)2+(a?b)2=32×2=8.
6.答案　(x-3)2+(y-4)2=8
解析　依題意可得,A(0,1),C(6,7),且B為線段AC的中點,所以B(3,4).
又|AC|=62,圓A,圓C的半徑都是2,所以圓B的半徑r=22.
故圓B的方程為(x-3)2+(y-4)2=8.
7.D　圓O1:x2+y2-4x+6y+2=0可化為(x-2)2+(y+3)2=11,其圓心為O1(2,-3),
圓O2:x2+y2-2x=0可化為(x-1)2+y2=1,其圓心為O2(1,0),
由于O1O2垂直平分弦AB,所以所求直線即為直線O1O2,因為kO1O2=?3?02?1=-3,
所以兩圓的公共弦AB的垂直平分線的方程為y-0=-3(x-1),即3x+y-3=0.故選D.
8.答案　722+1
解析　圓C1:x2+y2-4x+2y=0與圓C2:x2+y2-2y-4=0的方程相減,可得x-y-1=0,即直線AB的方程為x-y-1=0.
圓C:(x+3)2+(y-3)2=1的圓心為C(-3,3),半徑r=1,
點C(-3,3)到直線AB的距離d=|?3?3?1|2=722,
則圓C上的動點P到直線AB的距離的最大值為d+r=722+1.
9.解析　(1)由圓O1的方程可得其圓心為O1(0,-1),半徑r1=2,設圓O2的半徑為r2(r2>0),
由題意可得|O1O2|=22+(1+1)2=22,
由兩圓外切可得r1+r2=|O1O2|,即2+r2=22,可得r2=22-2,
所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=(22-2)2.
將圓O1與圓O2的方程作差,可得x+y+1-22=0,即內(nèi)公切線方程為x+y+1-22=0.
(2)設圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=r2(r>0).
將兩圓的方程相減,即得兩圓公共弦AB所在直線的方程,即4x+4y+r2-8=0,
O1(0,-1)到直線AB的距離d=|?4+r2?8|42+42=|r2?12|42,
由弦長|AB|=24?d2=22,可得d2=2,即|r2?12|422=2,可得r2=4或r2=20,所以圓O2的方程為(x-2)2+(y-1)2=4或(x-2)2+(y-1)2=20.
方法歸納　將兩圓方程作差得直線方程時,若兩圓外切,則此直線方程是兩圓的內(nèi)公切線方程;若兩圓內(nèi)切,則此直線方程是兩圓的外公切線方程;若兩圓相交,則此直線方程是兩圓公共弦所在的直線方程.
能力提升練
1.B
2.C
3.D
4.ACD
6.C
7.ACD
8.B

1.B　圓C1:x2+y2+2ax+a2-4=0可化為(x+a)2+y2=4,其圓心為(-a,0),半徑r1=2.
圓C2:x2+y2-2by-1+b2=0可化為x2+(y-b)2=1,其圓心為(0,b),半徑r2=1.
由題意知兩圓外切,∴a2+b2=3,得a2+b2=9.
∵a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時等號成立),(a+b)2-2ab=a2+b2=9,
∴(a+b)2=9+2ab≤9+9=18,∴-32≤a+b≤32,
∴a+b的最小值為-32.故選B.
2.C　由題意可得AB為圓C1的直徑,要使圓C2上存在點P使得∠APB=90°,只需兩個圓有交點即可.由題意知兩圓圓心距|C1C2|=32+42=5,
而圓C1的半徑r1=2,圓C2的半徑r2=a,
所以|r1-r2|≤5≤r1+r2,即|2-a|≤5≤2+a,
可得3≤a≤7,可得9≤a≤49.故選C.
3.D　設圓C1:(x-2)2+(y-1)2=4關于直線x+y+1=0對稱的圓為C0:(x-a)2+(y-b)2=4,
則a+22+b+12+1=0,b?1a?2=1,解得a=?2,b=?3,
故C0:(x+2)2+(y+3)2=4.
由題意可知,圓C0:(x+2)2+(y+3)2=4與圓C2:(x+1)2+(y+1)2=r2(r>0)有交點,
圓C0與圓C2的圓心分別為C0(-2,-3),C2(-1,-1),半徑分別為2,r,
則兩圓圓心距|C0C2|=(?2+1)2+(?3+1)2=5,
則滿足|r-2|≤5≤r+2,解得5-2≤r≤5+2.
∴r的取值范圍是[5-2,5+2].故選D.
4.ACD　圓C1與圓C2的方程相減可得直線AB的方程,即為4x-4y+5=0,故A正確;
圓C2:x2+y2-2x-2y+1=0的圓心為C2(1,1),半徑r2=1,則|AB|=21?4?4+516+162=144,故B錯誤;
圓C1:x2+y2+2x-6y+6=0的圓心為C1(-1,3),半徑r1=2,由|C1C2|=(?1?1)2+(3?1)2=22,r1=2,r2=1,可得公切線的長度為(22)2?(2?1)2=7,故C正確;
易知線段AB的中垂線為直線C1C2,其方程為y-1=3?1?1?1(x-1),即x+y-2=0,故D正確.故選ACD.
5.解析　(1)因為圓M與圓O有公共點,所以|r-2|≤|MO|=6≤r+2,即4≤r≤8.故r的取值范圍為[4,8].
(2)當直線l的斜率不存在時,其方程為x=4,符合題意;
當直線l的斜率存在時,設直線l的方程為y-3=k(x-4),即kx-y+3-4k=0,因為直線l與圓M相切,
所以|2k+3|k2+1=2,解得k=-512,
此時直線l的方程為5x+12y-56=0.
綜上,直線l的方程為x=4或5x+12y-56=0.
(3)設點P的坐標為(m,n).
由題可設直線l2與l1的方程分別為y-n=k(x-m),y-n=-1k(x-m),即kx-y+n-km=0,-1kx?y+n+1km=0.因為直線l1被圓O截得的弦的長與直線l2被圓M截得的弦的長相等,兩圓半徑相等,所以由垂徑定理可得,原點O到直線l1的距離與圓心M到直線l2的距離相等,故有n+1km1k2+1=|6k+n?km|k2+1,
即(6-m-n)k=m-n或(6-m+n)k=-m-n,由題知此關于k的方程有無窮多個解,故有6?m?n=0,m?n=0或6?m+n=0,?m?n=0,解得m=3,n=3或m=3,n=?3,
故點P的坐標為(3,3)或(3,-3).
6.C　圓C:x2+y2+8x+6y+16=0的圓心為C(-4,-3),半徑為3.圓O與圓C的方程相減可得直線AB的方程,即為8x+6y+16+r2=0,
由弦長公式可得|AB|=29?|?32?18+16+r2|64+362=29?(r2?34)2100.
易知OC⊥AB,且|OC|=5,又四邊形OACB的面積為3r,故3r=12|AB|·5,即|AB|=6r5,
所以29?(r2?34)2100=6r5,解得r=4(負值舍去),
則|AB|=245.故選C.
7.ACD　設線段AB的中點為M,則M的坐標為x1+x22,y1+y22,
又兩圓半徑相等,故M也是線段OC的中點,M的坐標為a2,b2,故x1+x2=a,y1+y2=b,故A正確;
設兩圓圓心距為d,則d=|OC|=a2+b2,因為兩圓相交,所以0

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2.4 圓的方程

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