數(shù)學(xué)第二章直線和圓的方程2.4 圓的方程學(xué)案設(shè)計(jì)-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

?第二章　直線和圓的方程
2.4.2　圓的一般方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
題組一　二元二次方程與圓的關(guān)系
1.(2023陜西咸陽(yáng)普集高中期末)若方程x2+y2-2y-m=0表示的圖形是圓,則實(shí)數(shù)m的取值范圍為(　　)
A.(-∞,1)　　　　B.(1,+∞)
C.(-∞,-1)　　　　D.(-1,+∞)
2.(2022湖北武漢部分重點(diǎn)中學(xué)期中)若圓C:x2+y2-2(m-2)x+2(m-2)y+2m2-6m+4=0過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn),則實(shí)數(shù)m的值為(　　)
A.2或1　　　　B.-2或-1
C.1　　　　D.-2
題組二　圓的一般方程
3.(2023江蘇南通通州期中)已知圓M:x2+y2-6x+2y+5=0,則該圓的圓心坐標(biāo)為(　　)
A.(-3,1)　　　　B.(-3,-1)
C.(3,1)　　　　D.(3,-1)
4.(2023河北衡水期中)已知圓C的圓心在直線x+y=0上,且圓C與y軸的交點(diǎn)分別為A(0,4),B(0,-2),則圓C的一般方程為(　　)
A.x2+y2-2x+2y-8=0　　　　
B.x2+y2+2x-2y-8=0
C.x2+y2-2x+2y+2-10=0　　　　
D.x2+y2+2x-2y+2-10=0
5.(2022安徽安慶一中期中)若圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心位于第三象限,那么直線x+ay+b=0一定不經(jīng)過(guò)(　　)
A.第一象限　　　　B.第二象限
C.第三象限　　　　D.第四象限
6.(2023河北邢臺(tái)六校聯(lián)考)圓x2+y2-4x+3=0關(guān)于直線y=33x對(duì)稱的圓的一般方程是(　　)
A.x2+y2-23x-2y+3=0　　　　
B.x2+y2-4y+3=0
C.x2+y2-2y=0　　　　
D.x2+y2-2x-23y+3=0
7.(2023江蘇連云港期中)河道上有一座圓拱橋,在正常水位時(shí),拱圈內(nèi)部最高點(diǎn)距水面9 m,拱圈內(nèi)部水面寬22 m.一條船在水面以上部分高6.5 m,船頂部寬4 m,可以通行無(wú)阻,近日水位暴漲了2.7 m,為此,必須加重船載,降低船身,才能使船通過(guò)橋洞,試問(wèn)船身應(yīng)該降低多少?(精確到0.01)

題組三　與圓有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題
8.(2023陜西延安期中)已知△ABC的頂點(diǎn)A(0,0),B(4,0),且AC邊上的中線BD的長(zhǎng)為3,則頂點(diǎn)C的軌跡方程是　　　　　.?
9.(2023四川成都雙流中學(xué)期中)已知點(diǎn)A(-2,0),B(2,0),C(1,3).
(1)求△ABC的外接圓圓O的方程;
(2)在圓O上任取一點(diǎn)P,過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線段PD,D為垂足,當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí),求線段PD的中點(diǎn)M的軌跡方程.

能力提升練
題組一　圓的方程
1.(2022湖南岳陽(yáng)期中)已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),且與圓O:x2+y2=36交于M,N兩點(diǎn),則線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程為　　　　.?
2.已知定點(diǎn)M(-3,4),動(dòng)點(diǎn)N在圓O:x2+y2=4上運(yùn)動(dòng),以O(shè)M,ON為鄰邊作平行四邊形MONP,則點(diǎn)P的軌跡為　　　　.?
3.(2022浙江臺(tái)州天臺(tái)月考,)如圖,已知正方形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)分別為A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求對(duì)角線AC所在直線的方程;
(2)求正方形ABCD外接圓的方程;
(3)若動(dòng)點(diǎn)P為外接圓上一點(diǎn),點(diǎn)N(-2,0)為定點(diǎn),問(wèn)線段PN中點(diǎn)M的軌跡是什么?并求出軌跡方程.

題組二　圓的方程的應(yīng)用
4.(2022黑龍江哈師大附中期中)若曲線C:x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0上所有的點(diǎn)均在第二象限內(nèi),則a的取值范圍為(　　)
A.(-∞,-2)　　　　B.(-∞,-1)
C.(1,+∞)　　　　D.(2,+∞)
5.(2022天津期中)已知圓C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),則當(dāng)圓C的面積最小時(shí),圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為(　　)
A.5　　B.6　　C.5?1　　D.5+1
6.(2022江蘇蘇州昆山七校聯(lián)考)已知直線l:xsinθ+ycosθ=1,θ∈0,π2與兩坐標(biāo)軸的交點(diǎn)分別為A,B,則線段AB的中點(diǎn)C的軌跡與坐標(biāo)軸圍成的圖形的面積為(　　)
A.π2　　B.π4　　C.π8　　D.π16
7.(2023江蘇徐州睢寧文華中學(xué)檢測(cè))已知圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,直線l:(3-2t)x+(t-1)y+2t-1=0恒過(guò)定點(diǎn)A.若一條光線從點(diǎn)A射出,經(jīng)直線x-y-5=0上一點(diǎn)M反射后到達(dá)圓C上的一點(diǎn)N,則|AM|+|MN|的最小值為　　　　.?
8.(2023湖北襄陽(yáng)四中期中)已知?jiǎng)狱c(diǎn)M與兩定點(diǎn)Q,P的距離之比|MQ||MP|=λ(λ>0,λ≠1),那么點(diǎn)M的軌跡就是阿波羅尼斯圓.已知?jiǎng)狱c(diǎn)M的軌跡是阿波羅尼斯圓,其方程為x2+y2=1,定點(diǎn)Q為x軸上一點(diǎn),P?12,0,且λ=2,若點(diǎn)B(1,1),則2|MP|+|MB|的最小值為　　　　.?
9.(2022江蘇蘇州實(shí)驗(yàn)中學(xué)調(diào)研)已知以點(diǎn)C為圓心的圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(-1,2)和點(diǎn)B(3,4),且圓心在直線x+3y-15=0上.
(1)求圓C的方程;
(2)設(shè)點(diǎn)P在圓C上,求△PAB的面積的最大值.
答案與分層梯度式解析
第二章　直線和圓的方程
2.4.2　圓的一般方程
基礎(chǔ)過(guò)關(guān)練
1.D
2.C
3.D
4.B
5.D
6.D

1.D　解法一:因?yàn)榉匠瘫硎镜膱D形是圓,所以4+4m>0,解得m>-1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-1,+∞).
解法二:方程x2+y2-2y-m=0可化為x2+(y-1)2=m+1,因?yàn)榉匠瘫硎镜膱D形是圓,所以m+1>0,解得m>-1.故實(shí)數(shù)m的取值范圍為(-1,+∞).
故選D.
2.C　由題意得2m2-6m+4=0,解得m=1或m=2.
當(dāng)m=2時(shí),方程為x2+y2=0,不符合題意,舍去;
當(dāng)m=1時(shí),方程為x2+y2+2x-2y=0,即(x+1)2+(y-1)2=2,滿足題意.
綜上所述,實(shí)數(shù)m的值為1.故選C.
3.D　圓M:x2+y2-6x+2y+5=0,其標(biāo)準(zhǔn)方程為(x-3)2+(y+1)2=5,故該圓的圓心坐標(biāo)為(3,-1).
故選D.
4.B　設(shè)圓C的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0),則圓心C的坐標(biāo)為?D2,?E2,由圓心在直線x+y=0上可得D+E=0.
由圓C與y軸的交點(diǎn)分別為A(0,4),B(0,-2),可得16+4E+F=0,4?2E+F=0,解得E=?2,F=?8,∴D=2,
∴該圓的一般方程是x2+y2+2x-2y-8=0.故選B.
5.D　圓x2+y2-2ax+3by=0的圓心為a,?3b2.由圓心位于第三象限,得a0,
因?yàn)閳AO經(jīng)過(guò)A(-2,0),B(2,0),C(1,3)三點(diǎn),
所以(?2)2?2D+F=0,22+2D+F=0,12+(3)2+D+3E+F=0,解得D=0,E=0,F=?4,
所以圓O的一般方程為x2+y2-4=0.
(2)設(shè)M(x,y),P(xP,yP),則D(xP,0),
∵M(jìn)為線段PD的中點(diǎn),即xP=x,yP=2y,
又點(diǎn)P在圓O:x2+y2=4上,
∴x2+(2y)2=4,即x24+y2=1,
故點(diǎn)M的軌跡方程為x24+y2=1.
能力提升練
4.D
5.D
6.D

1.答案　(x-1)2+y2=1
解析　設(shè)線段MN的中點(diǎn)G的坐標(biāo)為(x,y),
當(dāng)直線l的斜率存在且不為0時(shí),設(shè)其為k,則l的方程為y=k(x-2),由題知kMN·kOG=-1,即yx?2·yx=-1,整理得y2+x2-2x=0,即(x-1)2+y2=1(x≠2且x≠0).
當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí),其方程為x=2,此時(shí)由圓的對(duì)稱性可得G(2,0),其坐標(biāo)也滿足(x-1)2+y2=1.
當(dāng)直線l的斜率為0時(shí),易得G(0,0),其坐標(biāo)也滿足(x-1)2+y2=1.
綜上,線段MN的中點(diǎn)G的軌跡方程為(x-1)2+y2=1.
2.答案　以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)?95,125和點(diǎn)?215,285
解析　如圖所示.設(shè)P(x,y),N(x0,y0),則線段OP的中點(diǎn)坐標(biāo)為x2,y2,線段MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為x0?32,y0+42.

由于平行四邊形的對(duì)角線互相平分,所以線段OP與線段MN的中點(diǎn)重合,
所以x2=x0?32,y2=y0+42,即x0=x+3,y0=y?4,故N(x+3,y-4).
又點(diǎn)N(x+3,y-4)在圓x2+y2=4上,
所以(x+3)2+(y-4)2=4.
當(dāng)點(diǎn)P在直線OM上時(shí),有x=-95,y=125或x=?215,y=285.因此所求軌跡是以(-3,4)為圓心,2為半徑的圓,除去點(diǎn)?95,125和點(diǎn)?215,285.
3.解析　(1)由直線方程的兩點(diǎn)式可知,對(duì)角線AC所在直線的方程為y?2?2?2=x?40?4,整理得x-y-2=0.
(2)設(shè)G為正方形ABCD外接圓的圓心,則G為AC的中點(diǎn),∴G(2,0).
設(shè)r為正方形ABCD外接圓的半徑,則r=12|AC|,
又|AC|=(4?0)2+(2+2)2=42,∴r=22.
∴正方形ABCD外接圓的方程為(x-2)2+y2=8.
(3)設(shè)P(x0,y0),M(x,y),
則x=x0?22,y=y02,∴x0=2x+2,y0=2y.∵點(diǎn)P為外接圓上一點(diǎn),
∴(2x+2-2)2+(2y)2=8,整理,得x2+y2=2.
∴點(diǎn)M的軌跡是以原點(diǎn)為圓心,2為半徑的圓,軌跡方程為x2+y2=2.
4.D　x2+y2+2ax-4ay+5a2-4=0,即(x+a)2+(y-2a)2=4,其圓心為(-a,2a),半徑等于2,
所以由題意可得?a0,|?a>2,|2a>2,解得a>2,
所以a的取值范圍為(2,+∞).故選D.
5.D　圓C:x2+y2+2x-2my-4-4m=0(m∈R),
即(x+1)2+(y-m)2=m2+4m+5,
其圓心為C(-1,m),設(shè)其半徑為r(r>0),
則r2=m2+4m+5=(m+2)2+1,
當(dāng)圓C的面積最小時(shí),必有m=-2,此時(shí)r2=1,
圓C的方程為(x+1)2+(y+2)2=1.
圓心C(-1,-2)到原點(diǎn)的距離d=1+4=5,
則圓上的點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的最大值為d+r=5+1.故選D.
6.D　不妨設(shè)直線l與x軸交點(diǎn)為A,與y軸的交點(diǎn)為B,由直線l的方程可知,A(sin θ,0),B(0,cos θ),
由θ∈0,π2,可得cos θ>0,sin θ>0,
設(shè)線段AB的中點(diǎn)為C(x,y),可得x=sinθ2,y=cosθ2,
由sin2θ+cos2θ=1,可得x2+y2=14(x>0,y>0),
故線段AB的中點(diǎn)C的軌跡與坐標(biāo)軸圍成的圖形為14個(gè)圓,其面積為14×π×122=π16.故選D.
7.答案　6
解析　直線l的方程可化為3x-y-1-t(2x-y-2)=0,
令2x-y-2=0,3x-y-1=0,可得x=-1,y=-4,
所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,-4).
設(shè)點(diǎn)A(-1,-4)關(guān)于直線x-y-5=0的對(duì)稱點(diǎn)為A'(a,b),則b+4a+1×1=?1,a?12?b?42?5=0,解得a=1,b=?6,所以點(diǎn)A'的坐標(biāo)為(1,-6).由圓C的方程為(x-1)2+(y-1)2=1,可知其圓心為C(1,1),半徑r=1,則|A'C|=7,
由線段垂直平分線的性質(zhì)可知,|AM|=|A'M|,
所以|AM|+|MN|=|A'M|+|MN|≥|A'N|≥|A'C|-r=7-1=6,
當(dāng)且僅當(dāng)A',M,N,C四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,
所以|AM|+|MN|的最小值為6.
8.答案　10
解析　由題意可得圓x2+y2=1是關(guān)于P,Q的阿波羅尼斯圓,且λ=2,則|MQ||MP|=2,
設(shè)M(x,y),Q(m,n),則(x?m)2+(y?n)2x+122+y2=2,
整理得,x2+y2+4+2m3x+2n3y+1?m2?n23=0,
由已知得該圓的方程為x2+y2=1,則4+2m=0,2n=0,1?m2?n23=?1,解得m=?2,n=0,∴點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(-2,0),
∴2|MP|+|MB|=|MQ|+|MB|,
如圖,當(dāng)點(diǎn)M位于M1或M2時(shí),|MQ|+|MB|取得最小值,且最小值為|QB|=(?2?1)2+1=10.

9.解析　(1)取弦AB的中點(diǎn)M,則M(1,3).
∵A(-1,2),B(3,4),∴kAB=4?23?(?1)=12,∴kCM=-2,∴直線CM的方程為y-3=-2(x-1),即2x+y-5=0.由2x+y?5=0,x+3y?15=0,得x=0,y=5,即C(0,5).∴半徑r=(0+1)2+(5?2)2=10,∴圓C的方程為x2+(y-5)2=10.
(2)設(shè)△PAB的底邊AB上的高為h.
由(1)可知弦AB的中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,3),圓的圓心為C(0,5),∴|CM|=(1?0)2+(3?5)2=5,
∴hmax=|CM|+r=5+10.
又|AB|=(3+1)2+(4?2)2=25,
∴(S△PAB)max=12×25×(5+10)=5+52.

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