高中數(shù)學(xué)3.3 拋物線第2課時(shí)練習(xí)題

這是一份高中數(shù)學(xué)3.3 拋物線第2課時(shí)練習(xí)題，共11頁(yè)。
第2課時(shí)　直線和拋物線的位置關(guān)系  必備知識(shí)基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層1．直線y＝k＋2與拋物線x2＝4y的位置關(guān)系為(　　)A．相交    B．相切C．相離    D．不能確定2．已知x2＋y2－6x－7＝0與拋物線y＝ax2(a>0)的準(zhǔn)線相切，則a＝(　　)A．　　　B．16    C．　　　D．83．[2023·廣東深圳高二測(cè)試]拋物線型太陽(yáng)灶是利用太陽(yáng)能輻射的一種裝置．當(dāng)旋轉(zhuǎn)拋物面的主光軸指向太陽(yáng)的時(shí)候，平行的太陽(yáng)光線入射到旋轉(zhuǎn)拋物面表面，經(jīng)過(guò)反光材料的反射，這些反射光線都從它的焦點(diǎn)處通過(guò)，形成太陽(yáng)光線的高密集區(qū)，拋物面的焦點(diǎn)在它的主光軸上．如圖所示的太陽(yáng)灶中，灶深CD即焦點(diǎn)到灶底(拋物線的頂點(diǎn))的距離為1 m，則灶口直徑AB為(　　)A．2 m    B．3 mC．4 m    D．5 m4．[2023·湖南益陽(yáng)高二檢測(cè)]黨的十八大報(bào)告指出，必須堅(jiān)持在發(fā)展中保障和改善民生，不斷實(shí)現(xiàn)人民對(duì)美好生活的向往，為響應(yīng)中央號(hào)召，某社區(qū)決定在現(xiàn)有的休閑廣場(chǎng)內(nèi)修建一個(gè)半徑為4 m的圓形水池來(lái)規(guī)劃噴泉景觀．設(shè)計(jì)如下：在水池中心豎直安裝一根高出水面為2 m的噴水管(水管半徑忽略不計(jì))，它噴出的水柱呈拋物線型，要求水柱在與水池中心水平距離為 m處達(dá)到最高，且水柱剛好落在池內(nèi)，則水柱的最大高度為(　　)A． m    B． mC． m    D． m5．[2023·福建廈門高二檢測(cè)]如圖，已知直線l與拋物線y2＝2x交于A，B兩點(diǎn)，且OD⊥AB交AB于點(diǎn)D，點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，1)，則l的方程為(　　)A．x＋y－2＝0    B．x＋y＋2＝0C．x－y＋2＝0    D．x－y－2＝06．已知?jiǎng)訄AM與直線y＝2相切，且與定圓C：x2＋(y＋3)2＝1外切，則動(dòng)圓圓心M的軌跡方程為(　　)A．x2＝－12y    B．x2＝12yC．y2＝12x D．y2＝－12x7．[2023·山東濱州高二檢測(cè)]拋物線型塔橋的頂點(diǎn)距水面2米時(shí)，水面寬8米，若水面上升1米，則此時(shí)水面寬為_(kāi)_______米．8．若拋物線x2＝4y的弦被點(diǎn)A(2，2)平分，則此弦所在直線的斜率為_(kāi)_______．    關(guān)鍵能力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練第二層1．[2023·浙江溫州高二測(cè)試]已知拋物線C：y＝x2，過(guò)點(diǎn)P(1，0)與拋物線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有(　　)A．0條　　　B．1條    C．2條　　　D．3條2．[2023·湖南岳陽(yáng)高二檢測(cè)]已知直線l交拋物線C：y2＝4x于x軸異側(cè)兩點(diǎn)A，B，且·＝12，過(guò)O向AB作垂線，垂足為D，則點(diǎn)D的軌跡方程為(　　)A．(x－3)2＋y2＝9B．(x－3)2＋y2＝9(x≠0)C．(x－3)2＋y2＝9(y≠0)D．(x－3)2＋y2＝9(x≠0)或(x＋1)2＋y2＝1(x≠0)3．[2023·山東濟(jì)南高二檢測(cè)]已知某拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，拋物線上一點(diǎn)A在F的正上方，過(guò)點(diǎn)A的直線l與拋物線交于另一點(diǎn)B，滿足|BF|＝2|AF|，則鈍角∠AFB＝(　　)A．    B．C．    D．4．設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1，0)，若該拋物線上兩點(diǎn)A，B的橫坐標(biāo)之和為6，則弦|AB|的長(zhǎng)的最大值為(　　)A．8　　　B．7    C．6　　　D．55．[2023·江蘇鹽城高二檢測(cè)](多選)泰戈?duì)栒f(shuō)過(guò)一句話：世界上最遠(yuǎn)的距離，不是樹枝無(wú)法相依，而是相互瞭望的星星，卻沒(méi)有交會(huì)的軌跡；世界上最遠(yuǎn)的距離，不是星星之間的軌跡，而是縱然軌跡交會(huì)，卻在轉(zhuǎn)瞬間無(wú)處尋覓．已知點(diǎn)M(1，0)，直線l：x＝－2，若某直線上存在點(diǎn)P，使得點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，則稱該直線為“最遠(yuǎn)距離直線”，則下列結(jié)論不正確的是(　　)A．點(diǎn)P的軌跡曲線是一條線段B．點(diǎn)P的軌跡與直線l′：x＝－1是沒(méi)有交會(huì)的軌跡(即兩個(gè)軌跡沒(méi)有交點(diǎn))C．y＝2x＋6不是“最遠(yuǎn)距離直線”D．y＝x＋1是“最遠(yuǎn)距離直線”6．過(guò)拋物線C：y2＝2px上一點(diǎn)A(1，－4)作兩條相互垂直的直線，與C的另外兩個(gè)交點(diǎn)分別為M，N，則(　　)A．C的準(zhǔn)線方程是x＝－4B．過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為8C．直線MN過(guò)定點(diǎn)(0，4)D．當(dāng)點(diǎn)A到直線MN的距離最大時(shí)，直線MN的方程為2x＋y－38＝07．設(shè)過(guò)拋物線焦點(diǎn)F的弦為PQ，則以PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線的位置關(guān)系是________．8．[2023·北京豐臺(tái)高二測(cè)試]在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線C：y2＝2px，過(guò)點(diǎn)M(m，0)(m≠0)的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)．若OA⊥OB，則＝________．9．[2023·江西贛州高二檢測(cè)]已知拋物線C：x2＝2py(p>0)，點(diǎn)P(2，y0)在拋物線C上且到焦點(diǎn)F的距離為2.(1)求拋物線C的方程，并求其準(zhǔn)線方程；(2)已知點(diǎn)M(2，－1)，直線y＝kx＋1(k≠0)與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，記直線MA，MB的斜率分別為k1，k2，求＋的值．      10．如圖，一拋物線型拱橋的拱頂O離水面高4米，水面寬度AB＝10米．現(xiàn)有一船只運(yùn)送一堆由小貨箱碼成的長(zhǎng)方體形的貨物欲從橋下中央經(jīng)過(guò)，已知長(zhǎng)方體形貨物總寬6米，高1.5米，貨箱最底面與水面持平．(1)問(wèn)船只能否順利通過(guò)該橋？ (2)已知每加一層貨箱，船只吃水深度增加1 cm；每減一層貨箱，船只吃水深度減少1 cm.若每層小貨箱高3 cm，且貨物與橋壁需上下留2 cm間隙方可通過(guò)，問(wèn)船只需增加或減少幾層貨箱可恰好能從橋下中央通過(guò)？       核心素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．[2022·新高考Ⅰ卷](多選)已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A(1，1)在拋物線C：x2＝2py(p>0)上，過(guò)點(diǎn)B(0，－1)的直線交C于P，Q兩點(diǎn)，則(　　)A．C的準(zhǔn)線為y＝－1B．直線AB與C相切C．|OP|·|OQ|>|OA|2D．|BP|·|BQ|>|BA|22．[2023·廣東深圳高二測(cè)試]已知點(diǎn)F(1，0)，直線l1：x＝－1，動(dòng)圓P過(guò)點(diǎn)F且與直線l1相切，其圓心P的軌跡為曲線C，C上的動(dòng)點(diǎn)Q到y軸的距離為d1，到直線l2：x－y＋2＝0的距離為d2，則d1＋d2的最小值為_(kāi)_______．3．[2023·江蘇南通高二檢測(cè)]已知圓C：(x－2)2＋y2＝1，拋物線E：y2＝2px(p>0)，過(guò)原點(diǎn)作圓C的切線交拋物線于A，且|OA|＝16.(1)求拋物線E的方程；(2)設(shè)P是拋物線E上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓C的兩條切線分別交拋物線E于Q，R，若直線QR的斜率為－1，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．         第2課時(shí)　直線和拋物線的位置關(guān)系必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．答案：A解析：直線y＝k(x－1)＋2過(guò)定點(diǎn)(1，2)，∵12<4×2，∴(1，2)在拋物線x2＝4y內(nèi)部，∴直線y＝k(x－1)＋2與拋物線x2＝4y相交．故選A.2．答案：A解析：拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－，圓的方程x2＋y2－6x－7＝0?(x－3)2＋y2＝16，圓心(3，0)，半徑為r＝4.由已知得＝4，解得a＝.故選A.3．答案：C解析：由題意，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，O與C重合，設(shè)拋物線的方程為y2＝2px(p>0)，由題意可得D(1，0)是拋物線的焦點(diǎn)，即＝1，可得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x，當(dāng)x＝1時(shí)，|y|＝2，所以|AB|＝4 m．故選C.4．答案：C解析：取一截面建系如圖，設(shè)拋物線方程為x2＝－2py(p>0)，記最大高度為h，依題意可知A(－1.5，2－h)，B(2.5，－h)在拋物線上，故，兩式相除有＝，解得h＝ m．故選C.5．答案：A解析：由題意可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為(1，1)，故直線OD的斜率為1，因?yàn)?/span>OD⊥AB，所以直線l的斜率為－1，則l的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0.故選A.6．答案：A解析：設(shè)動(dòng)圓圓心為M(x，y)，半徑為r，由題意可得M到C(0，－3)的距離與到直線y＝3的距離相等，由拋物線的定義可知，動(dòng)圓圓心的軌跡是以C(0，－3)為焦點(diǎn)，以y＝3為準(zhǔn)線的一條拋物線，所以＝3，2p＝12，其方程為x2＝－12y.故選A.7．答案：4解析：根據(jù)題意，建立如圖所示的坐標(biāo)系，可設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝－2py(p>0)，因?yàn)轫旤c(diǎn)距水面2米時(shí)，水面寬8米，所以D(4，－2)，代入方程得p＝4，所以x2＝－8y，當(dāng)水面上升1米后，即y＝－1，代入方程得x2＝8，x＝±2，所以水面的寬是4米．8．答案：1解析：設(shè)過(guò)點(diǎn)A的弦的端點(diǎn)為M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線MN的斜率一定存在，則，兩式作差可得(x1＋x2)(x1－x2)＝4(y1－y2)，又x1＋x2＝4，因此直線MN的斜率為＝＝1.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：D解析：拋物線C：y＝x2的對(duì)稱軸為y軸，直線x＝1過(guò)點(diǎn)P且與y軸平行，它與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)過(guò)點(diǎn)P(1，0)與拋物線C只有一個(gè)公共點(diǎn)且斜率存在的直線方程為y＝k(x－1)，由消去y并整理得x2－kx＋k＝0，則Δ＝k2－4k＝0，解得k＝0或k＝4，因此過(guò)點(diǎn)P(1，0)與拋物線C相切的直線有兩條，相交且只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線有一條，所以過(guò)點(diǎn)P(1，0)與拋物線C有且只有一個(gè)交點(diǎn)的直線有3條．故選D.2．答案：B解析：設(shè)直線l：x＝my＋t，將它與拋物線方程聯(lián)立得y2－4my－4t＝0，則Δ＝16m2＋16t>0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－4t，所以·＝x1x2＋y1y2＝＋y1y2＝t2－4t＝12，故t＝6或－2，當(dāng)t＝－2時(shí)，A，B位于x軸同側(cè)，故舍去，所以t＝6，所以直線l經(jīng)過(guò)定點(diǎn)E(6，0)，由OD⊥AB可知D在以OE為直徑的圓(x－3)2＋y2＝9(原點(diǎn)除外)上．故選B.3．答案：D解析：由題知，拋物線的焦點(diǎn)為F(，0)，準(zhǔn)線方程為x＝－，因?yàn)辄c(diǎn)A在F的正上方，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為(，p)，因?yàn)椤?/span>AFB為鈍角，則點(diǎn)B在x軸下方，所以xB＋＝|BF|＝2|AF|＝2p，解得xB＝p，即B點(diǎn)坐標(biāo)為(，p)(舍去)或(，－p).因?yàn)橹本€BF的斜率為kBF＝＝－，所以直線BF的傾斜角為，故鈍角∠AFB＝＋π－＝.故選D.4．答案：A解析：設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|≤|AF|＋|BF|＝x1＋1＋x2＋1＝8，當(dāng)且僅當(dāng)A，B，F三點(diǎn)共線時(shí)，等號(hào)成立，故弦|AB|的長(zhǎng)的最大值為8.故選A.5．答案：BCD解析：由題意可得，點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離比到直線l的距離小1，即等價(jià)于“點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于到直線l′：x＝－1的距離”，故P點(diǎn)軌跡是以M(1，0)為焦點(diǎn)，直線l′：x＝－1為準(zhǔn)線的拋物線，其方程是y2＝4x，故A錯(cuò)誤；點(diǎn)P的軌跡方程是拋物線y2＝4x，它與直線l′沒(méi)有交點(diǎn)，即兩者是沒(méi)有交會(huì)的軌跡，故B正確；要滿足“最遠(yuǎn)距離直線”，則必須滿足與拋物線y2＝4x有交點(diǎn)，把y＝2x＋6代入拋物線y2＝4x，消去y并整理得x2＋5x＋9＝0，因?yàn)棣ぃ?2－4×1×9＝－11<0，無(wú)解，所以y＝2x＋6不是“最遠(yuǎn)距離直線”，故C正確；把y＝x＋1代入拋物線y2＝4x，消去y并整理得x2－12x＋4＝0，因?yàn)?/span>Δ＝(－12)2－4×1×4＝128>0，有解，所以y＝x＋1是“最遠(yuǎn)距離直線”，故D正確．故選BCD.6．答案：AD解析：將A(1，－4)代入C中得p＝8，則C為y2＝16x，所以C的準(zhǔn)線方程是x＝－4，故A正確；由題可知C的焦點(diǎn)為(4，0)，可設(shè)過(guò)C的焦點(diǎn)的直線為x＝ty＋4，由，可得y2－16ty－64＝0，設(shè)交點(diǎn)為E(xE，yE)，F(xF，yF)，則yE＋yF＝16t，xE＋xF＝t(yE＋yF)＋8＝16t2＋8≥8，所以|EF|＝xE＋xF＋8≥16，即過(guò)C的焦點(diǎn)的最短弦長(zhǎng)為16，故B不正確；設(shè)M(，y1)，N(，y2)，直線MN為x＝my＋n，聯(lián)立拋物線得y2－16my－16n＝0，所以y1＋y2＝16m，y1y2＝－16n，又AM⊥AN，所以·＝(－1，y1＋4)·(－1，y2＋4)＝＋(y1＋4)(y2＋4)＝0，因?yàn)?/span>y1≠－4，y2≠－4，即(y1＋4)(y2＋4)≠0，所以＋1＝0，整理得y1y2－4(y1＋y2)＋272＝0，故－16n－64m＋272＝0，得n＝－4m＋17，所以直線MN為x＝m(y－4)＋17，所以直線MN過(guò)定點(diǎn)P(17，4)，故C不正確；當(dāng)MN⊥AP時(shí)，A到直線MN的距離最大，此時(shí)直線MN為2x＋y－38＝0，故D正確．故選AD.7．答案：相切解析：過(guò)點(diǎn)P作PA垂直于準(zhǔn)線，垂足為A，過(guò)點(diǎn)Q作QB垂直于準(zhǔn)線，垂足為B，設(shè)PQ的中點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M作MN垂直準(zhǔn)線，垂足為N，所以＝MN，由拋物線定義可得PA＝PF，QB＝QF，所以＝MN，又PF＋QF＝PQ，所以＝MN，即圓心M到準(zhǔn)線的距離為圓的半徑，所以以PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．8．答案：2解析：設(shè)直線l為x＝ny＋m，由，得y2－2pny－2pm＝0，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pn，y1y2＝－2pm，因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線上，所以y＝2px1，y＝2px2，即x1x2＝，因?yàn)?/span>OA⊥OB，所以x1x2＋y1y2＝0，即＋y1y2＝0，所以＝－1，即2pm＝4p2，又因?yàn)?/span>m≠0，所以＝2.9．解析：(1)由題意得，解得p＝2.從而得到拋物線C的方程為x2＝4y，準(zhǔn)線方程為y＝－1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得x2－4kx－4＝0，∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，y1＝kx1＋1，y2＝kx2＋1∴＋＝＋＝＋＝＝＝＝＝－2，所以＋的值為－2.10．解析：(1)以O為原點(diǎn)，過(guò)O垂直于AB的直線為y軸，建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：設(shè)拋物線方程為x2＝my，根據(jù)題意知點(diǎn)B(5，－4)在拋物線上，∴25＝－4m，∴m＝－，∴x2＝－y.可設(shè)C(3，－4)，過(guò)C作AB的垂線，交拋物線于D(3，y0)，則9＝－y0，∴y0＝－.∵|CD|＝－－(－4)＝>1.5，∴貨箱能順利通過(guò)該橋．(2)由題(1)知，貨物超出高度為×100＝106(cm)，每增加一層，則船體連貨物高度整體上升3＋1＝4(cm)，由貨物與橋壁需留下2 cm間隙．則需要增加層數(shù)為＝26層，所以船只能順利通過(guò)該橋，可以增加26層可恰好能從中央通過(guò)．核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：BCD解析：將點(diǎn)A(1，1)代入拋物線方程得1＝2p，所以拋物線方程為x2＝y，故準(zhǔn)線方程為y＝－，A錯(cuò)誤；kAB＝＝2，所以直線AB的方程為y＝2x－1，聯(lián)立，可得x2－2x＋1＝0，解得x＝1，故B正確；設(shè)過(guò)B的直線為l，若直線l與y軸重合，則直線l與拋物線C只有一個(gè)交點(diǎn)，所以，直線l的斜率存在，設(shè)其方程為y＝kx－1，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，聯(lián)立，得x2－kx＋1＝0，所以，所以k>2或k<－2，y1y2＝(x1x2)2＝1，又|OP|＝＝，|OQ|＝＝，所以|OP|·|OQ|＝＝＝|k|>2＝|OA|2，故C正確；因?yàn)閨BP|＝|x1|，|BQ|＝|x2|，所以|BP|·|BQ|＝(1＋k2)|x1x2|＝1＋k2>5，而|BA|2＝5，故D正確．故選BCD.2．答案：－1解析：設(shè)動(dòng)圓P的圓心為P(x，y)，依題意可知，點(diǎn)P到點(diǎn)F的距離等于點(diǎn)P到直線l1：x＝－1的距離，則＝|x＋1|，兩邊平方化簡(jiǎn)得y2＝4x，即點(diǎn)P的軌跡為拋物線，方程為y2＝4x.由拋物線的定義可知d1＝|QM|＝|QF|－1，點(diǎn)F到直線l2：x－y＋2＝0的距離為|FK|＝＝，d1＋d2＝|QF|＋|QN|－1≥|FK|－1＝－1(當(dāng)且僅當(dāng)F，Q，N共線時(shí)取等號(hào))，即d1＋d2的最小值為－1.3．解析：(1)設(shè)直線OA：y＝kx，d＝＝r＝1，解得k＝±，由對(duì)稱性，不妨取k＝，解得x＝6p，y＝2p，∴A(6p，2p)，|OA|＝＝＝16，解得p＝4，∴拋物線E：y2＝8x.(2)設(shè)P(x0，y0)，滿足y＝8x0，設(shè)Q(x1，y1)，R(x2，y2)滿足y＝8x1，y＝8x2，kQR＝＝＝＝－1，即y1＋y2＝－8，kPQ＝＝＝，直線PQ：y－y0＝(x－x0)，化為一般式為8x－(y0＋y1)y＋y0y1＝0，由題意知：d＝＝r＝1，化簡(jiǎn)得(16＋y0y1)2＝64＋(y0＋y1)2，同理(16＋y0y2)2＝64＋(y0＋y2)2，故y1，y2為方程：(16＋y0y)2＝64＋(y0＋y)2的兩根，化簡(jiǎn)整理為(y－1)y2－30y0y＋192－y＝0，由韋達(dá)定理知：y1＋y2＝＝－8，解得y0＝或y0＝－4，∴P(，)或P(2，－4).