第三章　3.3　3.3.2　第1課時(shí)A組·素養(yǎng)自測(cè)一、選擇題1．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸，頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4的拋物線方程是( D )A．x2＝16y　　  B．x2＝8yC．x2＝±8y　　  D．x2＝±16y[解析]　頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸為y軸的拋物線方程有兩個(gè)：x2＝－2py，x2＝2py(p＞0)，由頂點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，知p＝8，故所求拋物線的方程為x2＝16y或x2＝－16y.2．(多選)以x軸為對(duì)稱(chēng)軸的拋物線的通徑(過(guò)焦點(diǎn)且與對(duì)稱(chēng)軸垂直的弦)長(zhǎng)為8，若拋物線的頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)，則其方程可以為( AB )A．y2＝8x  B．y2＝－8xC．x2＝8y  D．x2＝4y[解析]　設(shè)拋物線方程為y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，依題意將x＝代入y2＝2px或y2＝－2px，得|y|＝p，所以2|y|＝2p＝8，p＝4. 所以拋物線方程為y2＝8x或y2＝－8x.3．已知拋物線C的頂點(diǎn)是原點(diǎn)O，焦點(diǎn)F在x軸的正半軸上，經(jīng)過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若·＝－12，則拋物線C的方程為( C )A．x2＝8y　　  B．x2＝4yC．y2＝8x　　  D．y2＝4x[解析]　設(shè)拋物線方程為y2＝2px，直線AB為x＝my＋，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1＋y2＝2pm，y1y2＝－p2，得·＝x1x2＋y1y2＝－p2＝－p2＝－12，得p＝4(舍負(fù))，即拋物線C的方程為y2＝8x.4．(2022·福州市八縣協(xié)作校期末聯(lián)考)已知A是拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)，F是拋物線的焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)|AF|＝4時(shí)，∠OFA＝120°，則拋物線的準(zhǔn)線方程是( A )A．x＝－1  B．x＝－3C．x＝－1或x＝－3  D．y＝－1[解析]　過(guò)A作準(zhǔn)線的垂線AC，過(guò)F作AC的垂線，垂足分別為C，B.由題意∠BFA＝∠OFA－90°＝30°，A點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為：d＝|AB|＋|BC|＝p＋2＝4，解得p＝2，則拋物線的準(zhǔn)線方程是x＝－1.故選A.5．已知A，B是拋物線y2＝2px(p>0)上的兩點(diǎn)，O為原點(diǎn)，若||＝||，且拋物線的焦點(diǎn)恰好為△AOB的垂心，則直線AB的方程是( C )A．x＝p  B．x＝pC．x＝p  D．x＝3p[解析]　∵||＝||，∴A，B關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)．設(shè)A(x0，)，B(x0，－)．∵AF⊥OB，F，∴·＝－1，∴x0＝p.∴直線AB的方程是x＝p.二、填空題6．已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F為拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)，A是拋物線上一點(diǎn)，若·＝－4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是 (1,2)或(1，－2)　.[解析]　設(shè)A，因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)為F(1,0)，則＝，＝，由·＝－4，得y0＝±2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1,2)或(1，－2)．7．頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是x軸，并且頂點(diǎn)與焦點(diǎn)的距離等于6的拋物線方程是_y2＝24x或y2＝－24x__.[解析]　∵頂點(diǎn)與焦點(diǎn)距離為6，即＝6，∴2p＝24，又∵對(duì)稱(chēng)軸為x軸，∴拋物線方程為y2＝24x或y2＝－24x.8．一個(gè)正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝ax上，另一個(gè)頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，如果這個(gè)三角形的面積為36，則a＝ ±2　.[解析]　設(shè)正三角形邊長(zhǎng)為x.36＝x2sin 60°，∴x＝12.當(dāng)a>0時(shí)，將(6，6)代入y2＝ax得a＝2，當(dāng)a<0時(shí)，將(－6，6)代入y2＝ax得a＝－2，故a＝±2.三、解答題9．以拋物線C：y2＝2px(p>0)的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．已知|AB|＝2，|DE|＝2，求p的值．[解析]　如圖：|AB|＝2，|AM|＝，|DE|＝2，|DN|＝，|ON|＝，所以xA＝＝，因?yàn)閨OD|＝|OA|，所以＝，所以＋10＝＋6，解得：p＝.10．已知直線l經(jīng)過(guò)拋物線y2＝6x的焦點(diǎn)F，且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)．(1)若直線l的傾斜角為60°，求|AB|的值；(2)若|AB|＝9，求線段AB的中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離．[解析]　(1)因?yàn)閽佄锞€方程為y2＝6x，所以F，又因?yàn)橹本€l的傾斜角為60°，所以直線l的斜率為k＝tan60°＝，所以直線l的方程為y＝，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，消去y得x2－5x＋＝0，則x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p，所以|AB|＝5＋3＝8.(2)由拋物線的定義，知|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是線段AB的中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)是3.又準(zhǔn)線方程是x＝－，所以中點(diǎn)M到準(zhǔn)線的距離為3＋＝.B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．(2022·安徽省蚌埠市高二期末)設(shè)拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)為F，互相垂直的兩條直線過(guò)F，與拋物線相交所得的弦分別為AB，CD，則|AB|·|CD|的最小值為( A )A．16  B．8 C．4  D．2[解析]　設(shè)AB傾斜角為α，則|AB|＝，因?yàn)?/span>AB，CD垂直，所以|CD|＝，因此|AB|·|CD|＝＝≥16，選A.2．(2023·房山區(qū)期末檢測(cè))如果拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)M為該拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，又點(diǎn)A(－1,0)，那么的最大值是( D )A.  B．C.  D．1[解析]　由拋物線的方程可得，焦點(diǎn)F(1,0)，準(zhǔn)線方程為：x＝－1，A(－1,0)點(diǎn)在準(zhǔn)線上，作MN垂直準(zhǔn)線交于N，由拋物線的性質(zhì)可得|MF|＝|MN|，所以＝，在三角形AMN中，＝cos∠MAF，所以取的最大值時(shí)，∠FAM最小，當(dāng)A，M，F三點(diǎn)共線時(shí)，∠FAM最小，所以這時(shí)的最大值為1，故選D.3．(多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為2，過(guò)點(diǎn)F的直線與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，M為線段PQ的中點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( BCD )A．C的準(zhǔn)線方程為y＝－1B．線段PQ的長(zhǎng)度最小為4C．M的坐標(biāo)可能為(3,2)D.·＝－3恒成立[解析]　由題意，拋物線C：y2＝2px(p>0)，可得焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離即為p＝2，所以拋物線C的焦點(diǎn)為F(1,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－1，A項(xiàng)錯(cuò)誤．當(dāng)PQ垂直于x軸時(shí)長(zhǎng)度最小，此時(shí)P(1,2)，Q(1，－2)，所以|PQ|＝4，B項(xiàng)正確．設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，直線PQ的方程為x＝my＋1，聯(lián)立方程組，消去x可得y2－4my－4＝0，可得y1＋y2＝4m，則x1＋x2＝my1＋my2＋2＝4m2＋2，當(dāng)m＝1時(shí)，可得M(3,2)，所以C正確，又由y1y2＝－4可得x1x2＝(my1＋1)(my2＋1)＝1，所以·＝x1x2＋y1y2＝－3，所以D正確．4．(多選)已知過(guò)拋物線y2＝6x焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)為12，則該弦所在直線的傾斜角可以是( BD )A.  B． C．  D．π[解析]　方法一：∵拋物線y2＝6x，∴2p＝6，∴＝，即焦點(diǎn)坐標(biāo)F.當(dāng)直線傾斜角為時(shí)，即直線為x＝，此時(shí)弦長(zhǎng)為2p＝6≠12，故直線斜率存在．設(shè)所求直線方程為y＝k，與拋物線方程y2＝6x聯(lián)立消去y，得k2x2－(3k2＋6)x＋k2＝0.設(shè)直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)，∴x1＋x2＝.∵直線過(guò)拋物線y2＝6x焦點(diǎn)，弦長(zhǎng)為12，∴x1＋x2＋3＝12，∴x1＋x2＝9，即＝9，解得k2＝1，k＝tan α＝±1，∵α∈[0，π)，∴α＝或.方法二：弦長(zhǎng)|AB|＝(α為直線AB的傾斜角)，∴12＝，∴sin 2α＝，sin α＝±，∵α∈[0，π)，∴α＝或α＝.二、填空題5．已知拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，M為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N是直線MF與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若＝2，則p＝_3__.[解析]　拋物線C：y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)為F，M為拋物線的準(zhǔn)線上一點(diǎn)，且M的縱坐標(biāo)為3，N是直線MF與拋物線的一個(gè)交點(diǎn)，若＝2，設(shè)N(x，y)，M，F，∴＝，＝，，可得N，代入拋物線方程可得：3＝2×p×，解得p＝3.故答案為3.6．已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，則F的坐標(biāo)為_(kāi)(1,0)__；過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，若|AF|＝4，則△AOB的面積為 　.[解析]　由拋物線C：y2＝4x可得p＝2，故焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．設(shè)A(x0，y0)，則|AF|＝x0＋＝x0＋1＝4，故x0＝3.不妨設(shè)A在第一象限，則y0＝2，故kAB＝＝，故直線AB：y＝(x－1)．由可得3x2－10x＋3＝0，故 或所以S△AOB＝×1×＝.7．已知直線l過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)且與拋物線相交，其中一個(gè)交點(diǎn)為(2p,2p)，則其焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為 　.[解析]　由題意知，直線l過(guò)和(2p,2p)，所以直線l：y＝.設(shè)另一交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，y1)，聯(lián)立整理得8x2－17px＋2p2＝0.由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋2p＝，所以焦點(diǎn)弦的長(zhǎng)度為x1＋2p＋p＝.三、解答題8．如圖所示，已知直線l：y＝2x－4交拋物線y2＝4x于A，B兩點(diǎn)，試在拋物線AOB這段曲線上求一點(diǎn)P，使△PAB的面積最大，并求出這個(gè)最大面積．[解析]　由解得或由圖可知A(4,4)，B(1，－2)，則|AB|＝3.設(shè)P(x0，y0)為拋物線AOB這段曲線上一點(diǎn)，d為點(diǎn)P到直線AB的距離，則：d＝＝＝|(y0－1)2－9|.∵－2<y0<4，∴(y0－1)2－9<0.∴d＝[9－(y0－1)2]．從而當(dāng)y0＝1時(shí)，dmax＝，Smax＝××3＝.因此，當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為時(shí)，△PAB的面積取得最大值，最大值為.9．定長(zhǎng)為3的線段AB的端點(diǎn)A、B在拋物線y2＝x上移動(dòng)，求AB中點(diǎn)到y軸距離的最小值，并求出此時(shí)AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)．[解析]　如圖，設(shè)F是拋物線y2＝x的焦點(diǎn)，A、B兩點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線分別是AC、BD，M點(diǎn)到準(zhǔn)線的垂線為MN，N為垂足，則|MN|＝(|AC|＋|BD|)，根據(jù)拋物線定義得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|，∴|MN|＝(|AF|＋|BF|)≥＝.設(shè)M點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x，則|MN|＝x＋，∴x＝|MN|－≥－＝，等號(hào)成立的條件是弦AB過(guò)點(diǎn)F，由于|AB|>2p＝1，∴AB過(guò)焦點(diǎn)是可能的，此時(shí)M點(diǎn)到y軸的最短距離是，即AB的中點(diǎn)橫坐標(biāo)為.當(dāng)F在AB上時(shí)，設(shè)A、B的縱坐標(biāo)分別為y1、 y2，則y1y2＝－p2＝－，從而(y1＋y2)2＝y＋y＋2y1y2＝2×－＝2，∴y1＋y2＝±，∴M點(diǎn)的坐標(biāo)為時(shí)，M到y軸距離的最小值為.

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3.3 拋物線

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