一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．
1．已知空間向量a＝(－3，2，4)，b＝(1，－2，2)，則|a－b|＝( )
A． eq \r(40) B. 6 C. 36 D. 40
2. 已知直線l1：x＋2y＋2＝0，l2：x－ay－1＝0.若l1∥l2，則實數(shù)a的值為( )
A．－2 B. －1 C. 1 D. 2
3．?dāng)?shù)學(xué)家歐拉在1765年提出定理：三角形的外心，重心，垂心依次位于同一直線上，這條直線后人稱之為三角形的歐拉線．已知△ABC的頂點A(0，0)，B(0，2)，C(－6，0)，則其歐拉線的一般式方程為( )
A．3x＋y＝1 B. 3x－y＝1 C. x＋3y＝0 D. x－3y＝0
4．若圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0關(guān)于直線x－y－1＝0對稱的圓的方程是x2＋y2－4x＋3＝0，則a的值等于( )
A．0 B．2 C．1 D．±2
5．四面體ABCD中，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°， eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝2，則∠BAC＝( )
A．60° B. 90° C. 120° D. 150°
6．已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－ eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點為F，以F為圓心，以a為半徑的圓與雙曲線C的一條漸近線交于A，B兩點，若 eq \(OA,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))(O為坐標(biāo)原點)，則雙曲線C的離心率為( )
A． eq \f(\r(17),3) B． eq \f(\r(15),3) C． eq \f(\r(11),3) D． eq \f(\r(7),3)
7. “圓”是中國文化的一個重要精神元素，在中式建筑中有著廣泛的運用，最具代表性的便是園林中的洞門．如圖，某園林中的圓弧形洞門高為2.5 m，地面寬為1 m，則該洞門的半徑為( )
A．1.1 m B. 1.2 m C. 1.3 m D. 1.5 m
8．橢圓E： eq \f(x2,a2)＋ eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，E上存在兩點A，B滿足F1A＝2F2B，|AF2|＝ eq \f(4,3)a，則E的離心率為( )
A． eq \f(\r(5),3) B. eq \f(2,3) C. eq \f(\r(3),2) D. eq \f(1,2)
二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．
9．下列結(jié)論錯誤的是( )
A．過點A(1，3)，B(－3，1)的直線的傾斜角為30°
B．若直線2x－3y＋6＝0與直線ax＋y＋2＝0垂直，則a＝－ eq \f(2,3)
C．直線x＋2y－4＝0與直線2x＋4y＋1＝0之間的距離是 eq \f(\r(5),2)
D．已知A(2，3)，B(－1，1)，點P在x軸上，則|PA|＋|PB|的最小值是5
10．在空間直角坐標(biāo)系O - xyz中，A(1，0，0)，B(1，2，－2)，C(0，0，－2)，則( )
A． eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝4 B．異面直線OC與AB所成角等于 eq \f(π,3)
C．點B到平面AOC的距離是2 D．直線OB與平面AOC所成角的正弦值為 eq \f(1,3)
11．已知圓O1：x2＋y2－2x＝0和圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0相交于A，B兩點，則有( )
A．公共弦AB所在的直線方程為x＋y＝0
B．公共弦AB的長為 eq \f(\r(2),2)
C．圓O2上到直線AB的距離等于1的點有且只有2個
D．P為圓O1上的一個動點，則P到直線AB距離的最大值為 eq \f(\r(2),2)＋1
12．已知雙曲線C： eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)，若圓(x－2)2＋y2＝1與雙曲線C的漸近線相切，則( )
A．雙曲線C的實軸長為6
B．雙曲線C的離心率為e＝ eq \f(2\r(3),3)
C．點P為雙曲線C上任意一點，若點P到C的兩條漸近線的距離分別為d1，d2，則d1d2＝ eq \f(3,4)
D．直線y＝k1x＋m與C交于A，B兩點，點D為弦AB的中點，若OD(O為坐標(biāo)原點)的斜率為k2，則k1k2＝ eq \f(1,3)
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13．已知橢圓 eq \f(x2,25)＋ eq \f(y2,16)＝1與雙曲線 eq \f(x2,m)－ eq \f(y2,5)＝1有共同的焦點，則m＝________．
14．已知直線l過點(2，3)，且在x軸上的截距是在y軸上截距的兩倍，則直線l的方程為________．
15．如圖，平行六面體ABCD - A1B1C1D1中，|AB|＝|AD|＝|AA1|＝1，∠BAD＝∠BAA1＝120°，∠DAA1＝60°，則線段AC1的長度是________．
16．已知不經(jīng)過坐標(biāo)原點O的直線l與圓C：x2＋y2－4x＋4y＝0交于A，B兩點，若銳角△ABC的面積為2 eq \r(3)，則|AB|＝________，cs ∠AOB＝________．
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17．(本小題滿分10分)在平行四邊形ABCD中，A(－1，1)，B(1，2)，C(3，－2)，點E是線段BC的中點．
(1)求直線CD的方程；
(2)求四邊形ABED的面積．
18．(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P - ABCD中，AD＝AB＝ eq \f(1,2)CD＝1，∠ADC＝90°，AB∥CD，點M為棱PA的中點．
(1)設(shè) eq \(DA,\s\up6(→))＝a， eq \(DC,\s\up6(→))＝b， eq \(DP,\s\up6(→))＝c，用a，b，c表示 eq \(CB,\s\up6(→))， eq \(CM,\s\up6(→))；
(2)若PD⊥底面ABCD，且PD＝2，求平面BCM與平面ABCD所成角的余弦值．
19．(本小題滿分12分)已知橢圓Γ的中心在原點，一個焦點為F(4，0)，點D(3， eq \r(15))在橢圓Γ上．
(1)求橢圓Γ的方程；
(2)已知直線l平行于直線DF，且l與橢圓Γ有且只有一個公共點M，求l的方程．
20．(本小題滿分12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點A(2，0)，|AB|＝2，∠AOB＝30°，且點B在第一象限．記△OAB的外接圓為圓E.
(1)求圓E的方程；
(2)過點D(0， eq \r(3))且不與y軸重合的直線l與圓E交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)兩點， eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)是否為定值？若是定值，求出該值；否則，請說明理由．
21. (本小題滿分12分)如圖，在△ABC中，AB＝BC＝4，AC＝4 eq \r(2)，以AC的中線BD為折痕，將△ABD沿BD折起，構(gòu)成二面角A - BD - C，在平面BCD內(nèi)作CE⊥CD，且CE＝ eq \r(2)，連接DE，AE，AC，如圖所示．
(1)求證：CE∥平面ABD；
(2)若二面角A - BD - C的大小為90°，求平面ABC與平面ACE夾角的余弦值．
22．(本小題滿分12分)已知點F為拋物線E：y2＝2px(p>0)的焦點，點A(2，m)在拋物線 E上，且|AF|＝3.
(1)求拋物線E的方程；
(2)已知點G(－1，0)，延長 AF交拋物線E于點 B，證明：以點F為圓心且與直線 GA相切的圓，必與直線GB相切．
本冊素養(yǎng)檢測卷
1．答案：B
解析：由題意，|a－b|＝|(－4，4，2)|＝ eq \r(（－4）2＋42＋22)＝6.故選B.
2．答案：A
解析：由題意，在直線l1：x＋2y＋2＝0和l2：x－ay－1＝0中，l1∥l2，∴－a＝2，解得a＝－2.故選A.
3．答案：C
解析：顯然△ABC為直角三角形，且BC為斜邊，
所以其歐拉線方程為斜邊上的中線，
設(shè)BC的中點為D，由B(0，2)，C(－6，0)，
所以D(－3，1)，由kAD＝ eq \f(1－0,－3－0)＝－ eq \f(1,3)，
所以AD的方程為y＝－ eq \f(1,3)x，
所以歐拉線的一般式方程為x＋3y＝0.故選C.
4．答案：B
解析：圓x2＋y2－ax－2y＋1＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,2)))2＋(y－1)2＝ eq \f(a2,4)，圓心坐標(biāo)為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,2)，1))，
圓x2＋y2－4x＋3＝0的標(biāo)準(zhǔn)方程為(x－2)2＋y2＝1，圓心坐標(biāo)為(2，0)，半徑為1，連心線所在直線的斜率為 eq \f(1,\f(a,2)－2)＝ eq \f(2,a－4)，中點坐標(biāo)為 eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a＋4,4)，\f(1,2)))，由題意可得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(a2,4)＝1，,\f(2,a－4)·1＝－1，,\f(a＋4,4)－\f(1,2)－1＝0，)))解得a＝2.
5．答案：C
解析：由題知，AC＝AD＝2AB＝2，∠BAD＝60°，
所以 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(CD,\s\up6(→))＝ eq \(AB,\s\up6(→))·( eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AC,\s\up6(→)))＝ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))－ eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AC,\s\up6(→))＝| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AD,\s\up6(→))|cs ∠BAD－| eq \(AB,\s\up6(→))|·| eq \(AC,\s\up6(→))|cs ∠BAC＝2，
所以1·2cs 60°－1·2cs ∠BAC＝2，解得∠BAC＝120°.故選C.
6．答案：A
解析：
設(shè)雙曲線的一條漸近線方程為y＝ eq \f(b,a)x，H為AB的中點，可得FH⊥AB，
由F(c，0)到漸近線bx－ay＝0的距離為FH＝d＝ eq \f(bc,\r(a2＋b2))＝b，
所以BH＝ eq \r(a2－b2)，又 eq \(OA,\s\up6(→))＝2 eq \(OB,\s\up6(→))，所以O(shè)H＝3BH＝3 eq \r(a2－b2)，
因為OH＝ eq \r(OF2－HF2)＝ eq \r(c2－b2)，
所以3 eq \r(a2－b2)＝ eq \r(c2－b2)，整理可得：9a2－c2＝8b2，
即9a2－c2＝8c2－8a2，所以17a2＝9c2，可得e2＝ eq \f(c2,a2)＝ eq \f(17,9)，所以e＝ eq \f(\r(17),3)，所以雙曲線C的離心率為 eq \f(\r(17),3).
7．答案：C
解析：如圖所示設(shè)圓的半徑為r.
由題意知：在Rt△OFD中，|OF|＝ eq \r(r2－（\f(1,2)）2)＝ eq \r(r2－\f(1,4)) ，
又因為|EF|＝2.5，所以r＋|OF|＝2.5，
所以 eq \r(r2－\f(1,4))＋r＝2.5，解得r＝1.3.故選C.
8．答案：A
解析：作點B關(guān)于原點的對稱點C，連接BF1，CF1，CF2，BC，
則O為BC，F(xiàn)1F2的中點，故四邊形BF1CF2為平行四邊形，故CF1∥BF2且|CF1|＝|BF2|，則，
所以，故A，F(xiàn)1，C三點共線，
由橢圓定義，|AF1|＋|AF2|＝2a，有|AF1|＝ eq \f(2,3)a，所以|CF1|＝ eq \f(a,3)，則|AC|＝a，
再由橢圓定義|CF1|＋|CF2|＝2a，有|CF2|＝ eq \f(5a,3)，
因為|CF2|2＝|AC|2＋|AF2|2，所以∠CAF2＝90°，
在△AF1F2中，|F1F2|2＝|AF1|2＋|AF2|2即4c2＝ eq \f(20,9)a2，所以，離心率e＝ eq \f(\r(5),3).故選A.
9．答案：ABC
解析：kAB＝ eq \f(3－1,1＋3)＝ eq \f(1,2)≠tan 30°，故A錯誤；
若兩條直線垂直，則2a－3＝0，得a＝ eq \f(3,2)，故B錯誤；
直線x＋2y－4＝0可化為2x＋4y－8＝0，則兩條直線間的距離d＝ eq \f(|1＋8|,\r(22＋42))＝ eq \f(9\r(5),10)，故C錯誤；
如圖，設(shè)點B關(guān)于x軸的對稱點為C(－1，－1)，
則|PA|＋|PB|＝|PA|＋|PC|≥|AC|＝ eq \r(32＋42)＝5，當(dāng)且僅當(dāng)A，P，C三點共線時取“＝”，故D正確．故選ABC.
10．答案：AC
解析：∵A(1，0，0)，B(1，2，－2)，C(0，0，－2)，
eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，0，－2)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(0，2，－2)，∴ eq \(OC,\s\up6(→))· eq \(AB,\s\up6(→))＝(－2)×(－2)＝4，所以A正確．
設(shè)OC與AB所成的角為θ，則cs θ＝ eq \f(|\(OC,\s\up6(→))·\(AB,\s\up6(→))|,|\(OC,\s\up6(→))|·|\(AB,\s\up6(→))|)＝ eq \f(4,2×2\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，且θ∈(0， eq \f(π,2)]，所以θ＝ eq \f(π,4)，故B不正確．
設(shè)平面AOC的法向量為n＝(x，y，z)，
并且 eq \(OA,\s\up6(→))＝(1，0，0)， eq \(OC,\s\up6(→))＝(0，0，－2)，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\(OA,\s\up6(→))·n＝0,\(OC,\s\up6(→))·n＝0))即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,－2z＝0))? eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝0,z＝0))，所以n＝(0，1，0)， eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，2，－2)，所以點B到平面AOC的距離為 eq \f(|\(OB,\s\up6(→))·n|,|n|)＝ eq \f(|2|,1)＝2，故C正確．
eq \(OB,\s\up6(→))＝(1，2，－2)，設(shè)直線OB與平面AOC所成角為θ，則sin θ＝ eq \f(|\(OB,\s\up6(→))·n|,|\(OB,\s\up6(→))|·|n|)＝ eq \f(|2|,3×1)＝ eq \f(2,3)，故D不正確．故選AC.
11．答案：CD
解析：圓O1：x2＋y2－2x＝0的圓心為O1(1，0)，r1＝1；圓O2：x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為O2(－1，2)，r2＝ eq \r(5)；
兩圓相交且交于A，B兩點，故AB所在直線方程為：x2＋y2－2x－(x2＋y2＋2x－4y)＝0，整理得x－y＝0，故A不正確；
圓心O1(1，0)到直線x－y＝0的距離d1＝ eq \f(1,\r(2))＝ eq \f(\r(2),2)，故|AB|＝2 eq \r(r eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －d eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) )＝ eq \r(2)，故B錯誤；
因為O2到直線x－y＝0的距離d2＝ eq \f(3,\r(2))＝ eq \f(3\r(2),2)，而r2－d2＝ eq \r(5)－ eq \f(3\r(2),2)0，則a＝ eq \r(3)，
所以雙曲線C的實軸長為2a＝2 eq \r(3)，故A錯誤；
c＝ eq \r(a2＋b2)＝2，所以e＝ eq \f(c,a)＝ eq \f(2,\r(3))＝ eq \f(2\r(3),3)，故B正確；
設(shè)P(x0，y0)，則x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) ＝3，d1d2＝ eq \f(|x0－\r(3)y0|,2)· eq \f(|x0＋\r(3)y0|,2)＝ eq \f(|x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(0)) |,4)＝ eq \f(3,4)，故C正確；
設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(1)) ＝3,x eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) －3y eq \\al(\s\up1(2),\s\d1(2)) ＝3))，兩式作差得(x1＋x2)(x1－x2)＝3(y1＋y2)(y1－y2)，
所以k1k2＝ eq \f(y1－y2,x1－x2)· eq \f(y1＋y2,x1＋x2)＝ eq \f(1,3)，D對．故選BCD.
13．答案：4
解析：由題意得橢圓的焦點為(－3，0)和(3，0)，
所以3＝ eq \r(m＋5)，所以m＝4.
14．答案：3x－2y＝0或x＋2y－8＝0
解析：若l在坐標(biāo)軸的截距均為0，即l過原點，滿足題意，
此時l方程為y＝ eq \f(3,2)x，即3x－2y＝0，
當(dāng)l在坐標(biāo)軸截距不為0時，設(shè)其在y軸截距為b，
則l方程為 eq \f(x,2b)＋ eq \f(y,b)＝1，代入(2，3)，解得b＝4，
∴l(xiāng)方程為x＋2y－8＝0.
綜上，直線l方程為3x－2y＝0或x＋2y－8＝0.
15．答案： eq \r(2)
解析：∵＝ eq \(AB,\s\up6(→))＋ eq \(AD,\s\up6(→))＋，
∴2＝ eq \(AB,\s\up6(→))2＋ eq \(AD,\s\up6(→))2＋2＋2 eq \(AB,\s\up6(→))· eq \(AD,\s\up6(→))＋2 eq \(AB,\s\up6(→))·＋2 eq \(AD,\s\up6(→))·
＝1＋1＋1＋2×1×1×(－ eq \f(1,2))＋2×1×1×(－ eq \f(1,2))＋2×1×1× eq \f(1,2)＝2，∴|AC1|＝ eq \r(2).
16．答案：2 eq \r(2) eq \f(\r(3),2)或－ eq \f(\r(3),2)
解析：因為圓C的半徑為r＝2 eq \r(2)，所以△ABC的面積S＝ eq \f(1,2)r2sin ∠ACB＝4sin ∠ACB＝2 eq \r(3)，所以sin ∠ACB＝ eq \f(\r(3),2).又△ABC為銳角三角形，所以∠ACB＝60°，∴|AB|＝r＝2 eq \r(2).
因為點O在圓C上，所以∠AOB＝30°或150°，
故cs ∠AOB＝ eq \f(\r(3),2)或－ eq \f(\r(3),2).
17．解析：(1)由AB∥CD，kAB＝ eq \f(1－2,－1－1)＝ eq \f(1,2)，∴直線CD的方程為y－(－2)＝ eq \f(1,2)(x－3)，即x－2y－7＝0.
(2)四邊形ABED為梯形，E是線段BC的中點，則E( eq \f(1＋3,2)， eq \f(2－2,2))，即E(2，0)，
直線AD的方程為y－1＝ eq \f(－2－2,3－1)(x＋1)，即2x＋y＋1＝0，則E到直線AD的距離為 eq \f(|2×2＋0＋1|,\r(4＋1))＝ eq \r(5)，|BC|＝ eq \r(（－2－2）2＋（3－1）2)＝2 eq \r(5).
故四邊形ABED的面積為 eq \f(（\r(5)＋2\r(5)）×\r(5),2)＝ eq \f(15,2).
18．解析：(1) eq \(CB,\s\up6(→))＝ eq \(DB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \f(1,2) eq \(DC,\s\up6(→))＝a－ eq \f(1,2)b；
eq \(CM,\s\up6(→))＝ eq \(DM,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)( eq \(DA,\s\up6(→))＋ eq \(DP,\s\up6(→)))－ eq \(DC,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2) eq \(DA,\s\up6(→))－ eq \(DC,\s\up6(→))＋ eq \f(1,2) eq \(DP,\s\up6(→))＝ eq \f(1,2)a－b＋ eq \f(1,2)c.
(2)由PD⊥平面ABCD，DA，DC?平面ABCD，則PD⊥DA，PD⊥DC，
又∠ADC＝90°，則DA⊥DC，故DA，DC，DP兩兩垂直，
以 eq \(DA,\s\up6(→))方向為x軸， eq \(DC,\s\up6(→))方向為y軸， eq \(DP,\s\up6(→))方向為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，P(0，0，2)，M( eq \f(1,2)，0，1)，
可設(shè)平面ABCD的法向量為n1＝(0，0，1)， eq \(BM,\s\up6(→))＝(－ eq \f(1,2)，－1，1)， eq \(BC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，
設(shè)平面BCM的法向量為n2＝(x，y，z)，則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n2·\(BM,\s\up6(→))＝0,n2·\(BC,\s\up6(→))＝0))，即 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(－\f(x,2)－y＋z＝0,x－y＝0))，令x＝1，n2＝(1，1， eq \f(3,2))，
故cs 〈n1，n2〉＝ eq \f(\f(3,2),\r(\f(9,4)＋2))＝ eq \f(3\r(17),17)，
所以平面BCM與平面ABCD所成角的余弦值為 eq \f(3\r(17),17).
19．解析：(1)因為橢圓Γ的中心在原點，一個焦點為F(4，0)，
所以c＝4，且另一個焦點為F′(－4，0)，
又點D(3， eq \r(15))在橢圓Γ上，
所以2a＝ eq \r(（3－4）2＋（\r(15)）2)＋ eq \r(（3＋4）2＋（\r(15)）2)＝12，
解得a＝6，則b2＝a2－c2＝20，
所以橢圓Γ的方程為 eq \f(x2,36)＋ eq \f(y2,20)＝1.
(2)由題意，設(shè)直線l的方程為y＝－ eq \r(15)x＋m，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝－\r(15)x＋m,\f(x2,36)＋\f(y2,20)＝1))，化簡得140x2－18 eq \r(15)mx＋9m2－180＝0，
因為l與橢圓Γ有且只有一個公共點，
所以Δ＝(18 eq \r(15)m)2－4×140(9m2－180)＝0，
即m2＝560，解得m＝±4 eq \r(35)，
所以直線的方程為y＝－ eq \r(15)x±4 eq \r(35).
20．解析：(1)由題意可得|OA|＝2，
所以|OA|＝|AB|＝2，
又因為∠AOB＝30°，點B在第一象限，
所以直線AB的傾斜角為60°，
所以xB＝2＋|AB|·cs 60°＝2＋1＝3，yB＝|AB|·sin 60°＝ eq \r(3)，
所以B(3， eq \r(3))，
設(shè)△OAB的外接圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0,2D＋F＋4＝0,3D＋\r(3)E＋F＋12＝0))，解得 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(F＝0,D＝－2,E＝－2\r(3)))，
所以△OAB的外接圓的方程為x2＋y2－2x－2 eq \r(3)y＝0.
(2)由題意可知直線l的斜率存在，
設(shè)直線l的方程為y＝kx＋ eq \r(3)，
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋\r(3),x2＋y2－2x－2\r(3)y＝0))，可得(1＋k2)x2－2x－3＝0，
所以Δ＝4＋12(1＋k2)>0，
x1＋x2＝ eq \f(2,1＋k2)，x1x2＝－ eq \f(3,1＋k2)，
所以 eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)＝ eq \f(x1＋x2,x1x2)＝ eq \f(\f(2,1＋k2),－\f(3,1＋k2))＝－ eq \f(2,3)，
所以 eq \f(1,x1)＋ eq \f(1,x2)是定值－ eq \f(2,3).
21．解析：(1)證明：翻折前，AB＝BC＝4，AC的中線為BD，則BD⊥AC，
在平面BCD內(nèi)，BD⊥CD，又因為CE⊥CD，所以BD∥CE，
因為CE?平面ABD，BD?平面ABD，∴CE∥平面ABD.
(2)翻折前，BD⊥AC，翻折后，則有BD⊥AD，BD⊥CD，
所以二面角A - BD - C的平面角為∠ADC，則∠ADC＝90°，即AD⊥CD，
以點D為坐標(biāo)原點，DB，DC，DA所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則A(0，0，2 eq \r(2))，B(2 eq \r(2)，0，0)，C(0，2 eq \r(2)，0)，D(0，0，0)，E(－ eq \r(2)，2 eq \r(2)，0)，
設(shè)平面ABC的法向量為m＝(x1，y1，z1)， eq \(AB,\s\up6(→))＝(2 eq \r(2)，0，－2 eq \r(2))， eq \(AC,\s\up6(→))＝(0，2 eq \r(2)，－2 eq \r(2))，
則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(m·\(AB,\s\up6(→))＝2\r(2)x1－2\r(2)z1＝0,m·\(AC,\s\up6(→))＝2\r(2)y1－2\r(2)z1＝0))，取z1＝1，可得m＝(1，1，1)，
設(shè)平面ACE的法向量為n＝(x2，y2，z2)， eq \(CE,\s\up6(→))＝(－ eq \r(2)，0，0)，
則 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(n·\(CE,\s\up6(→))＝－\r(2)x2＝0,n·\(AC,\s\up6(→))＝2\r(2)y2－2\r(2)z2＝0))，取y2＝1，可得n＝(0，1，1)，
cs 〈m，n〉＝ eq \f(m·n,|m|·|n|)＝ eq \f(2,\r(3)×\r(2))＝ eq \f(\r(6),3)，
因此平面ABC與平面ACE夾角的余弦值為 eq \f(\r(6),3).
22．解析：方法一 (1)由拋物線的定義得|AF|＝2＋ eq \f(p,2).
因為|AF|＝3，即2＋ eq \f(p,2)＝3，解得p＝2，所以拋物線Ε的方程為y2＝4x.
(2)因為點A(2，m)在拋物線Ε：y2＝4x上，
所以m＝±2 eq \r(2)，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2，2 eq \r(2)).
由A(2，2 eq \r(2))，F(xiàn)(1，0)可得直線ΑF的方程為y＝2 eq \r(2)(x－1)．
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)（x－1）,y2＝4x))，得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝ eq \f(1,2)，從而B( eq \f(1,2)，－ eq \r(2)).
又G(－1，0)，
所以kGA＝ eq \f(2\r(2)－0,2－（－1）)＝ eq \f(2\r(2),3)，kGB＝ eq \f(－\r(2)－0,\f(1,2)－（－1）)＝－ eq \f(2\r(2),3)，
所以kGA＋kGB＝0，從而∠ΑGF＝∠BGF，這表明點F到直線GA，GB的距離相等，
故以F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切．
方法二 (1)同方法一
(2)證明：設(shè)以點F為圓心且與直線GA相切的圓的半徑為r．
因為點A(2，m)在拋物線E：y2＝4x上，
所以m＝±2 eq \r(2)，由拋物線的對稱性，不妨設(shè)A(2，2 eq \r(2)).
由A(2，2 eq \r(2))，F(xiàn)(1，0)可得直線ΑF的方程為y＝2 eq \r(2)(x－1).
由 eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝2\r(2)（x－1）,y2＝4x))，得2x2－5x＋2＝0，
解得x＝2或x＝ eq \f(1,2)，從而B( eq \f(1,2)，－ eq \r(2)).
又G(－1，0)，故直線GA的方程為2 eq \r(2)x－3y＋2 eq \r(2)＝0，
從而r＝ eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝ eq \f(4\r(2),\r(17)).
又直線GΒ的方程為2 eq \r(2)x＋3y＋2 eq \r(2)＝0，
所以點F到直線GΒ的距離d＝ eq \f(|2\r(2)＋2\r(2)|,\r(8＋9))＝ eq \f(4\r(2),\r(17))＝r.
這表明以點F為圓心且與直線GA相切的圓必與直線GB相切．

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