第1課時(shí)　拋物線的簡單幾何性質(zhì)  必備知識(shí)基礎(chǔ)練進(jìn)階訓(xùn)練第一層1．[2023·安徽合肥高二測試]頂點(diǎn)在原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為x＝的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為(　　)A．y2＝x    B．y2＝－xC．y2＝3x    D．y2＝－3x2．若拋物線y2＝mx的焦點(diǎn)與橢圓＋＝1的左焦點(diǎn)重合，則m的值為(　　)A．4　　　B．－4    C．2　　　D．－23．[2023·湖北武漢高二測試]拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸是x軸，點(diǎn)(－5，2)在拋物線上，則拋物線的方程為(　　)A．y2＝－2x    B．y2＝－4xC．y2＝2x  D．y2＝4x4．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且垂直于x軸的直線l與拋物線C交于A，B兩點(diǎn)，若|AB|＝8，則p＝(　　)A．1　　　B．2    C．4　　　D．85．過拋物線y2＝2x的焦點(diǎn)作直線l，交拋物線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為4，則|AB|＝(　　)A．10    B．9C．6    D．56．[2023·河北邯鄲高二檢測](多選)對(duì)于拋物線x2＝y，下列描述正確的是(　　)A．開口向上，焦點(diǎn)為(0，2)B．開口向上，焦點(diǎn)為(0，)C．焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4D．準(zhǔn)線方程為y＝－47．拋物線C：y2＝2px的焦點(diǎn)F恰好是圓(x－1)2＋y2＝1的圓心，過點(diǎn)F且傾斜角為45°的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．8．正三角形的一個(gè)頂點(diǎn)位于坐標(biāo)原點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝72x上，則這個(gè)三角形的邊長是________．   關(guān)鍵能力綜合練進(jìn)階訓(xùn)練第二層1．已知拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為3和2，則p＝(　　)A．2    B．2或4C．1或2    D．12．[2023·江蘇連云港高二測試]已知拋物線的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，焦點(diǎn)在直線x－2y－4＝0上，則拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程是(　　)A．x2＝－8yB．y2＝16x或x2＝－8yC．x2＝－12yD．y2＝16x3．圓心在拋物線x2＝2y(x>0)上，并且與拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切的圓的方程是(　　)A．x2＋y2－x－2y－＝0B．x2＋y2＋2x－2y＋1＝0C．x2＋y2－x－2y＋1＝0D．x2＋y2－2x－y＋＝04．[2023·廣西欽州高二檢測]已知拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，點(diǎn)P在C上，直線PF交y軸于點(diǎn)Q，若＝3，則點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為(　　)A．3    B．4C．5    D．65．(多選)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，AB是經(jīng)過拋物線焦點(diǎn)F的弦，M是線段AB的中點(diǎn)，經(jīng)過A，B，M作拋物線的準(zhǔn)線l的垂線AC，BD，MN，垂足分別是C，D，N，其中MN交拋物線于點(diǎn)Q，連接QF，NF，NB，NA.下列說法正確的是(　　)A．|MN|＝|AB|B．FN⊥ABC．Q是線段MN的一個(gè)三等分點(diǎn)D．∠QFM＝∠QMF6．[2023·江西撫州高二檢測](多選)已知拋物線C：y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F且傾斜角為θ的直線l與拋物線C交于M(x1，y1)，N(x2，y2)兩點(diǎn)，其中點(diǎn)M在第一象限，若cos θ＝，|MN|＝，則下列說法正確的是(　　)A．焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為6B．x1x2＝C．y1y2＝－9D．＝7．過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)的直線和拋物線交于A，B兩點(diǎn)，若弦|AB|＝8，則該直線方程是________．8．已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱軸為x軸，且與圓x2＋y2＝4相交的公共弦長為2，則拋物線的方程為________________． 9．已知拋物線C：y2＝2px(p>0)上的點(diǎn)A(4，m)(m>0)到其準(zhǔn)線的距離為5.(1)求拋物線C的方程；(2)已知O為原點(diǎn)，點(diǎn)B在拋物線C上，若△AOB的面積為6，求點(diǎn)B的坐標(biāo)．      10．[2023·江蘇省鎮(zhèn)江一中高二測試]已知拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)是F(1，0)，斜率為的直線l經(jīng)過F且與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)．(1)求該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和準(zhǔn)線方程；(2)求線段AB的長．          核心素養(yǎng)升級(jí)練進(jìn)階訓(xùn)練第三層1．[2023·廣東東莞高二測試]過拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F的直線l與拋物線交于P，Q兩點(diǎn)，若以線段PQ為直徑的圓與直線x＝5相切，則＝(　　)A．8    B．7C．6    D．52．已知直線l是拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線，半徑為的圓過拋物線的頂點(diǎn)O和焦點(diǎn)F，且與l相切，則拋物線C的方程為________；若A為C上一點(diǎn)，l與C的對(duì)稱軸交于點(diǎn)B，在△ABF中，sin ∠AFB＝sin ∠ABF，則|AB|的值為________．3．[2023·江蘇常州高二檢測]拋物線有光學(xué)性質(zhì)，即由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出，反之亦然．如圖所示，今有拋物線y2＝2px(p>0)，一光源在點(diǎn)M(，4)處，由其發(fā)出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點(diǎn)P，反射后又射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l：2x－4y－17＝0上的點(diǎn)N，再反射后又射回點(diǎn)M，設(shè)P，Q兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2).(1)證明：y1y2＝－p2；(2)求拋物線方程．         第1課時(shí)　拋物線的簡單幾何性質(zhì)必備知識(shí)基礎(chǔ)練1．答案：D解析：由題意可知，拋物線的開口向左，設(shè)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－2px(p>0)，則＝，所以p＝，所以拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝－3x.故選D.2．答案：B解析：由題可知拋物線的焦點(diǎn)為(，0)，橢圓左焦點(diǎn)為(－1，0)，∴＝－1?m＝－4.故選B.3．答案：B解析：根據(jù)題意設(shè)拋物線的方程為y2＝mx(m≠0)，因?yàn)辄c(diǎn)(－5，2)在拋物線上，所以有20＝－5m，解得m＝－4，所以拋物線的方程是y2＝－4x.故選B.4．答案：C解析：依題可知，2p＝8，所以p＝4.故選C.5．答案：B解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意得＝4，所以由拋物線的幾何意義得|AB|＝x1＋＋x2＋＝8＋1＝9.故選B.6．答案：AC解析：由拋物線x2＝y，即x2＝8y，可知拋物線的開口向上，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為4，準(zhǔn)線方程為y＝－2.故選AC.7．答案：8解析：由題意知，焦點(diǎn)F(1，0)，則拋物線C：y2＝4x，直線l：y＝x－1，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立，消去y并整理得x2－6x＋1＝0.則x1＋x2＝6，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.8．答案：144解析：設(shè)正三角形ABC的頂點(diǎn)A(0，0)，邊長為a(a>0)，由于正三角形的兩個(gè)頂點(diǎn)在拋物線y2＝72x上，根據(jù)正三角形和拋物線的對(duì)稱性可設(shè)B(a，a)，將B點(diǎn)坐標(biāo)代入拋物線y2＝72x得a2＝72×a，a＝144.所以正三角形的邊長為144.關(guān)鍵能力綜合練1．答案：B解析：因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)M到其準(zhǔn)線及對(duì)稱軸的距離分別為3和2，所以，即，代入拋物線方程可得8＝2p(3－)，整理得p2－6p＋8＝0，解得p＝2或p＝4.故選B.2．答案：B解析：直線x－2y－4＝0交x軸于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B(0，－2)，①當(dāng)焦點(diǎn)為A(4，0)時(shí)，設(shè)方程為y2＝2px(p>0)，得＝4，2p＝16，拋物線方程為y2＝16x.②當(dāng)焦點(diǎn)為B(0，－2)時(shí)，設(shè)方程為x2＝－2py(p>0)，得＝2，2p＝8，拋物線方程為x2＝－8y.綜上，拋物線方程為y2＝16x或x2＝－8y.故選B.3．答案：D解析：由題意設(shè)所求圓的圓心為，半徑為r，其中a>0，因?yàn)閽佄锞€x2＝2y(x>0)的準(zhǔn)線方程為y＝－，且該圓與拋物線的準(zhǔn)線及y軸都相切，所以a＝＋＝r，解得r＝a＝1，所以該圓的方程為(x－1)2＋2＝1，即x2＋y2－2x－y＋＝0.故選D.4．答案：C解析：由拋物線C：y2＝4x，可知F(1，0)，準(zhǔn)線l的方程為x＝－1，過點(diǎn)P作y軸的垂線，垂足為N，因?yàn)?/span>OF∥PN，所以＝＝，所以|PN|＝4|FO|＝4，所以點(diǎn)P到準(zhǔn)線l的距離為4＋1＝5.故選C.5．答案：ABD解析：如圖，由拋物線的定義，得|AC|＝|AF|，|BD|＝|BF|.又|MN|＝，則|MN|＝＝|AB|，A正確．由|MN|＝|AB|，|AM|＝|MB|，得|MN|＝|AM|，所以∠MAN＝∠MNA.而∠MNA＝∠CAN，所以∠MAN＝∠CAN，所以△ANC≌△ANF，可知∠ACN＝∠AFN＝90°，所以FN⊥AB，B正確．在Rt△MNF中，|QN|＝|QF|，可知∠QNF＝∠QFN，所以∠QFM＝∠QMF，D正確．由∠QFM＝∠QMF，可知|QF|＝|QM|，所以|NQ|＝|QM|，即Q是MN的中點(diǎn)，故C不正確．6．答案：BCD解析：根據(jù)題意可得sin θ＝＝，故直線l的斜率k＝tanθ＝4，設(shè)直線MN的方程為y＝4(x－)，聯(lián)立拋物線方程y2＝2px，可得：24x2－25px＋6p2＝0，顯然Δ>0，則x1＋x2＝，x1x2＝，y1y2＝－2p＝－p2，|MN|＝x1＋x2＋p＝，故＋p＝，解得p＝3；對(duì)A：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線的距離為p＝3，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：x1x2＝＝，故B正確；對(duì)C：y1y2＝－p2＝－9，故C正確；對(duì)D：因?yàn)?/span>p＝3，則24x2－25px＋6p2＝0即24x2－75x＋54＝0，解得x1＝2，x2＝，則＝＝＝，故D正確．故選BCD.7．答案：y＝±(x－1)解析：由題，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為(1，0)，設(shè)過(1，0)的直線為x＝ty＋1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由，得y2－4ty－4＝0，則，所以|AB|＝·＝·＝4(1＋t2)＝8，所以t＝±1，所以該直線方程為x＝±y＋1，即y＝±(x－1).8．答案：y2＝3x或y2＝－3x解析：設(shè)所求拋物線的方程為y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0)，與圓的交點(diǎn)為A(x1，y1)，B(x2，y2)(y1>0，y2<0)，由對(duì)稱性，知x1＝x2，y2＝－y1，則|y1|＋|y2|＝2，即y1－y2＝2y1＝2，所以y1＝，把y1＝代入x2＋y2＝4，得x1＝±1，所以點(diǎn)(1，)在拋物線y2＝2px上，點(diǎn)(－1，)在拋物線y2＝－2px上，可得p＝.所以所求拋物線的方程為y2＝3x或y2＝－3x.9．解析：(1)由拋物線C的方程可得其準(zhǔn)線方程x＝－，依拋物線的性質(zhì)得＋4＝5，解得p＝2.∴拋物線C的方程為y2＝4x.(2)將A(4，m)代入y2＝4x，得m＝4.所以A(4，4)，直線OA的方程為y＝x，即x－y＝0.設(shè)B(t2，2t)，則點(diǎn)B到直線OA的距離d＝，又|OA|＝4，由題意得×4×＝6，解得t＝－1或t＝3.∴點(diǎn)B的坐標(biāo)是(1，－2)或(9，6).10．解析：(1)由焦點(diǎn)F(1，0)，得＝1，解得p＝2.所以拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).直線l的方程為y＝(x－1).與拋物線方程聯(lián)立，得，消去y，整理得4x2－17x＋4＝0，由拋物線的定義可知，|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝.所以線段AB的長為.核心素養(yǎng)升級(jí)練1．答案：C解析：拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)F(1，0)，準(zhǔn)線x＝－1，取PQ的中點(diǎn)H，分別過P，Q，H作拋物線準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為N，M，E，則四邊形NPQM為直角梯形，HE為梯形的中位線，|HE|＝(|MQ|＋|NP|).由拋物線定義可知，|MQ|＝|QF|，|NP|＝|PF|，則|PQ|＝|MQ|＋|NP|，故|HE|＝|PQ|，即點(diǎn)H到拋物線準(zhǔn)線的距離為|PQ|的一半，則以線段PQ為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．又以線段PQ為直徑的圓與直線x＝5相切，則以線段PQ為直徑的圓的直徑等于直線x＝5與直線x＝－1間的距離．即|PQ|＝5－(－1)＝6.故選C.2．答案：y2＝2x　解析：由題意得圓心的橫坐標(biāo)為p，半徑為，∴p＝?p＝1，∴拋物線C的方程為y2＝2x.設(shè)A到準(zhǔn)線的距離為d，∵sin ∠AFB＝sin ∠ABF，∴|AB|＝|AF|，∴＝＝cos ∠ABF，∴∠ABF＝45°，∴lAB：y＝x＋代入y2＝2x，解得xA＝，yA＝1，∴|AF|＝xA＋＝1＝d，∴|AB|＝.3．解析：(1)根據(jù)拋物線的光學(xué)性質(zhì)可知，直線PQ過拋物線的焦點(diǎn)F(，0)，且與x軸不平行，設(shè)直線PQ的方程為x＝my＋，由消去x并化簡得y2－2mpy－p2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，Δ＝4m2p2＋4p2>0，則y1y2＝－p2.(2)依題意，M(，4)，所以y1＝4，x1＝＝，則P(，4)．設(shè)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為M1(m，n)，則，解得m＝，n＝－1，即M1.則y2＝－1，x2＝＝，則Q(，－1)，P(，4)，F(，0)，Q(，－1)三點(diǎn)共線，＝(－，－4)，＝(－，－5)，所以(－)×(－5)＝－4×(－)，解得p＝2，所以拋物線的方程為y2＝4x. 

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3.3 拋物線

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