第10章　10.3A組·素養(yǎng)自測一、選擇題1．試題中共12道單項選擇題，每道題有4個選項，其中只有1個選項是正確的．某同學(xué)說：“每個選項正確的概率是，若每題都選擇第一個選項，則一定有3道題的選擇結(jié)果正確”．這句話(　B　)A．正確 B．錯誤C．有一定道理 D．無法解釋[解析]　從四個選項中正確選擇項是一個隨機(jī)事件，是指這個事件發(fā)生的概率，實際上，做12道選擇題相當(dāng)于做12次試驗，每次試驗的結(jié)果是隨機(jī)的，因此每題都選擇第一個選項可能沒有一個正確，也可能有1個，2個，3個，…，12個正確．因此該同學(xué)的說法是錯誤的．2．在下列各事件中，發(fā)生的可能性最大的為(　D　)A．任意買1張電影票，座位號是奇數(shù)B．?dāng)S1枚骰子，點數(shù)小于等于2C．有10 000張彩票，其中100張是獲獎彩票，從中隨機(jī)買1張是獲獎彩票D．一袋中裝有8個紅球，2個白球，從中隨機(jī)摸出1個球是紅球[解析]　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝．3．“不怕一萬，就怕萬一”這句民間諺語說明(　A　)A．小概率事件雖很少發(fā)生，但也可能發(fā)生，需提防B．小概率事件很少發(fā)生，不用怕C．小概率事件就是不可能事件，不會發(fā)生D．大概率事件就是必然事件，一定發(fā)生[解析]　因為這句諺語是提醒人們需提防小概率事件．故選A．4．中國農(nóng)歷的“二十四節(jié)氣”是凝結(jié)著中華民族的智慧與傳統(tǒng)文化的結(jié)晶，“二十四節(jié)氣”歌是“春、夏、秋、冬”開始的四句詩，2016年11月30日，“二十四節(jié)氣”正式被聯(lián)合國教科文組織列入人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)，也被譽為“中國的第五大發(fā)明”．某小學(xué)三年級共有學(xué)生500名，隨機(jī)抽查100名學(xué)生并提問“二十四節(jié)氣”歌，只能說出春夏兩句的有45人，能說出春夏秋三句及其以上的有32人，據(jù)此估計該校三年級的500名學(xué)生中，對“二十四節(jié)氣”歌只能說出第一句“春”或一句也說不出的大約有(　D　)A．69人 B．84人C．108人 D．115人[解析]　先求出只能說出第一句“春”或一句也說不出的學(xué)生人數(shù)，可得它所占的比例，再用樣本容量500乘以此比例，即為所求．由題意，只能說出第一句，或一句也說不出的同學(xué)有100－45－32＝23人，故只能說出第一句“春”或一句也說不出的學(xué)生占的比例為，故只能說出第一句“春”或一句也說不出的學(xué)生共有500×＝115人．故選D．5．(多選題)下列說法正確的是(　AB　)A．?dāng)S一枚硬幣正面朝上的機(jī)會與拋一枚圖釘釘尖著地的機(jī)會不一樣大B．射擊運動員擊中靶的概率是0.9，說明他中靶的可能性很大C．某彩票中獎的概率是1%，買100張一定有1張中獎D．某中學(xué)生對他所在的住宅小區(qū)的家庭進(jìn)行調(diào)查，發(fā)現(xiàn)擁有空調(diào)的家庭占65%，于是他得出該市擁有空調(diào)的家庭的百分比為65%的結(jié)論[解析]　擲一枚硬幣正面朝上的概率是0.5，拋一枚圖釘釘尖著地的概率不是0.5(釘尖朝上的概率比較大)，所以A對；射擊運動員擊中靶的概率是0.9，所以中靶的可能性是非常大的，所以B對；概率只是一種可能性的預(yù)測，并不是絕對的，所以C錯；只對一個小區(qū)抽樣并不能代表整個城市，所以D錯．故選AB．二、填空題6．某射擊教練評價一名運動員時說：“你射中的概率是90%．”你認(rèn)為下面兩個解釋中能代表教練的觀點的為__②__(填序號)．①該射擊運動員射擊了100次，恰有90次擊中目標(biāo)；②該射擊運動員射擊一次，中靶的機(jī)會是90%．[解析]　能代表教練的觀點的為該射擊運動員射擊一次，中靶的機(jī)會是90%．7．采用隨機(jī)模擬的方法估算某運動員射擊擊中目標(biāo)的概率，先由計算器給出0到9之間取整數(shù)的隨機(jī)數(shù)，指定0,1,2,3表示沒有擊中目標(biāo)，4,5,6,7,8,9表示擊中目標(biāo)．以4個隨機(jī)數(shù)為一組，代表射擊4次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組如下的隨機(jī)數(shù)：7327　0293　7140　98570347　4373　8636　69471417　4698　0371　62332616　8045　6011　36619597　7424　7610　4281根據(jù)以上數(shù)據(jù)估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為____．[解析]　根據(jù)隨機(jī)數(shù)一共有20組可知，共有20個樣本點，其中“該運動員射擊4次至少擊中3次”對應(yīng)的隨機(jī)數(shù)組為9857,8636,6947,4698,8045,9597,7424，共有7個樣本點，所以估計該運動員射擊4次至少擊中3次的概率為．8．種子公司在春耕前采購了一批稻谷種子，進(jìn)行了種子發(fā)芽試驗．在統(tǒng)計的2 000粒種子中有1 962粒發(fā)芽，“種子發(fā)芽”這個事件發(fā)生的頻率是__0.981__，若用戶需要該批可發(fā)芽的稻谷種100 000粒，需采購該批稻谷種子__3__千克(每千克約35 000粒)．(結(jié)果取整數(shù))[解析]　“種子發(fā)芽”這個事件發(fā)生的頻率為＝0.981；若用戶需要該批可發(fā)芽的稻谷種100 000粒，則需采購該批稻谷種子100 000×(粒)，故需要購買該批稻谷種子100 000×÷35 000≈3(千克)．三、解答題9．為了估計某自然區(qū)天鵝的數(shù)量，可以使用以下方法：先從該保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如200只，給每只天鵝作上記號且不影響其存活，然后放回保護(hù)區(qū)，經(jīng)過適當(dāng)?shù)臅r間，讓它們和保護(hù)區(qū)中其余的天鵝充分混合，再從保護(hù)區(qū)中捕出一定數(shù)量的天鵝，如150只．查看其中有記號的天鵝，設(shè)有20只，試根據(jù)上述數(shù)據(jù)，估計該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量．[解析]　設(shè)保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量為n，假設(shè)每只天鵝被捕到的可能性是相等的，從保護(hù)區(qū)中任捕一只，設(shè)事件A＝{捕到帶有記號的天鵝}，則P(A)＝．從保護(hù)區(qū)中捕出150只天鵝，其中有20只帶有記號，由概率的定義可知P(A)≈．由≈，解得n≈1 500，所以該自然保護(hù)區(qū)中天鵝的數(shù)量約為1 500只．10．隨機(jī)抽取一個年份，對某市該年4月份的天氣情況進(jìn)行統(tǒng)計，結(jié)果如下：日期12345678910天氣晴雨陰陰陰雨陰晴晴晴 日期11121314151617181920天氣陰晴晴晴晴晴陰雨陰陰 日期21222324252627282930天氣晴陰晴晴晴陰晴晴晴雨(1)在4月份任取一天，估計該市在該天不下雨的概率；(2)該市某學(xué)校擬從4月份的一個晴天開始舉行連續(xù)兩天的運動會，估計運動會期間不下雨的概率．[解析]　(1)在容量為30的樣本中，不下雨的天數(shù)是26，用頻率估計概率，4月份任選一天，該市在該天不下雨的概率約是＝．(2)稱相鄰兩個日期為“互鄰日期對”(如1日與2日，2日與3日等)，這樣在4月份中，前一天為晴天的互鄰日期對有16個，其中后一天不下雨的有14個，所以晴天的次日不下雨的頻率約為＝，用頻率估計概率，運動會期間不下雨的概率約為．B組·素養(yǎng)提升一、選擇題1．?dāng)?shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》有“米谷粒分”題：糧倉開倉收糧，有人送來米2 018石，驗得米內(nèi)夾谷，抽樣取米一把，數(shù)得270粒內(nèi)夾谷30粒，則這批米內(nèi)夾谷約為(　B　)A．222石 B．224石C．230石 D．232石[解析]　以樣本的頻率＝為概率，可算得谷約為2 018×≈224石．2．(2022·鄭州一中高三模擬)同時向上拋100個銅板，結(jié)果落地時100個銅板朝上的面都相同，你認(rèn)為這100個銅板更可能是下面哪種情況(　A　)A．這100個銅板兩面是一樣的B．這100個銅板兩面是不同的C．這100個銅板中有50個兩面是一樣的，另外50個兩面是不相同的D．這100個銅板中有20個兩面是一樣的，另外80個兩面不是相同的[解析]　落地時100個銅板朝上的面都相同，根據(jù)極大似然法可知，這100個銅板兩面是一樣的可能性較大．3．甲、乙兩人做游戲，下列游戲中不公平的是(　B　)A．拋一枚骰子，向上的點數(shù)為奇數(shù)則甲勝，向上的點數(shù)為偶數(shù)則乙勝B．同時拋擲兩枚硬幣，恰有一枚正面向上則甲勝，兩枚都是正面向上則乙勝C．從一副不含大、小王的撲克牌中抽一張，撲克牌是紅色則甲勝，是黑色則乙勝D．甲、乙兩人各寫一個數(shù)字，若是同奇或同偶則甲勝，否則乙勝[解析]　A項，P(點數(shù)為奇數(shù))＝P(點數(shù)為偶數(shù))＝；B項，P(恰有一枚正面向上)＝，P(兩枚都正面向上)＝；C項，P(牌色為紅)＝P(牌色為黑)＝；D項，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝．故選B．4．某市交警部門在調(diào)查一起車禍過程中，所有的目擊證人都指證肇事車是一輛普通桑塔納出租車，但由于天黑，均未看清該車的車牌號碼及顏色，而該市有兩家出租車公司，其中甲公司有100輛桑塔納出租車，3 000輛帕薩特出租車；乙公司有3 000輛桑塔納出租車，100輛帕薩特出租車，交警部門應(yīng)認(rèn)定肇事車為哪個公司的車輛較合理(　B　)A．甲公司 B．乙公司C．甲、乙公司均可 D．以上都對[解析]　由題意得肇事車是甲公司的概率為＝，是乙公司的概率為＝，可以認(rèn)定肇事車為乙公司的車輛較為合理．故選B．二、填空題5．容量為200的樣本的頻率分布直方圖如圖所示．根據(jù)樣本的頻率分布直方圖計算樣本數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻數(shù)為　__64__，估計數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的概率約為__0.4__．[解析]　數(shù)據(jù)落在[6,10)內(nèi)的頻數(shù)為200×0.08×4＝64，數(shù)據(jù)落在[2,10)內(nèi)的頻率為(0.02＋0.08)×4＝0.4，由頻率估計概率知，所求概率約為0.4．6．某盒子中有四個小球，分別寫有“中”“美”“建”“交”四個字(2019年是中美建交40周年)，從中任取一個小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計恰好在第三次停止的概率：利用電腦隨機(jī)產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，分別用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”這四個字，以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，表示取球三次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了以下18組隨機(jī)數(shù)：323　231　320　032　132　031　123　330　110321　120　122　321　221　230　132　322　130由此可以估計，恰好第三次就停止的概率為____．[解析]　經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生的18組隨機(jī)數(shù)中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4組隨機(jī)數(shù)．所以恰好第三次就停止的概率為＝．三、解答題7．某籃球愛好者做投籃練習(xí)，假設(shè)其每次投籃命中的概率是60%，若該籃球愛好者連續(xù)投籃4次，求至少投中3次的概率．用隨機(jī)模擬的方法估計上述概率．[解析]　利用計算機(jī)或計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，用1,2,3,4,5,6表示投中，用7,8,9,0表示未投中，這樣可以體現(xiàn)投中的概率是60%，因為投籃4次，所以每4個隨機(jī)數(shù)作為1組．例如5727,7895,0123，…，4560,4581,4698，共100組這樣的隨機(jī)數(shù)，若所有數(shù)組中沒有7,8,9,0或只有7,8,9,0中的一個數(shù)的數(shù)組的個數(shù)為 n，則至少投中3次的概率近似值為．8．某險種的基本保費為a(單位：元)，繼續(xù)購買該險種的投保人稱為續(xù)保人，續(xù)保人本年度的保費與其上年度出險次數(shù)的關(guān)聯(lián)如下：上年度出險次數(shù)01234≥5保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a隨機(jī)調(diào)查了該險種的200名續(xù)保人在一年內(nèi)的出險情況，得到如下統(tǒng)計表：出險次數(shù)01234≥5頻數(shù)605030302010(1)記A為事件：“一續(xù)保人本年度的保費不高于基本保費”，求P(A)的估計值；(2)記B為事件：“一續(xù)保人本年度的保費高于基本保費但不高于基本保費的160%”．求P(B)的估計值；(3)求續(xù)保人本年度平均保費的估計值．[解析]　(1)事件A發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)小于2．由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)小于2的頻率為＝0.55，故P(A)的估計值為0.55．(2)事件B發(fā)生當(dāng)且僅當(dāng)一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4．由所給數(shù)據(jù)知，一年內(nèi)出險次數(shù)大于1且小于4的頻率為＝0.3，故P(B)的估計值為0.3．(3)由所給數(shù)據(jù)得保費0.85aa1.25a1.5a1.75a2a頻率0.300.250.150.150.100.05調(diào)查的200名續(xù)保人的平均保費為0.85a×0.30＋a×0.25＋1.25a×0.15＋1.5a×0.15＋1.75a×0.10＋2a×0.05＝1.192 5a．因此，續(xù)保人本年度平均保費的估計值為1.192 5a． 

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10.3 頻率與概率

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