?新教材高一數(shù)學第二學期期末試卷
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 設，則的虛部為（ ）
A B. C. D.
2. 已知向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近表示滿意度越高.現(xiàn)隨機抽取位北京市民，他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 7 B. C. 8 D.
4. 已知復數(shù)，若，則（ ）
A. B. 2 C. D. 5
5. 在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，則的形狀是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
6. 如圖，元件通過電流的概率均為0．9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在M，N之間通過的概率是

A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891
7. 已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)和方差分別為　　
A. 2， B. 4，3 C. 4， D. 2，1



8. 我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，，，，平面與平面間的距離為，則該芻童外接球的體積為

A. B. C. D.
二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A. 2張卡片不全紅色 B. 2張卡片恰有一張紅色
C. 2張卡片至少有一張紅色 D. 2張卡片都為綠色
10. 已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是　　
A. 若，，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，則與所成的角和與所成的角相等
11. （多選題）2019年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中抽取了40名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路車速（）分成六段：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列結論正確的是（ ）

A. 這40輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計值為77.5
B. 在該服務區(qū)任意抽取一輛車，車速超過的概率為0.35
C. 若從車速在的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在的概率為
D. 若從車速在的車輛中任意抽取2輛，則車速都在內(nèi)的概率為
12. 如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，動點E在線段A1C1上，F(xiàn)，M分別是AD，CD的中點，則下列結論中正確的是（ ）

A. FM與BC1所成角為45°
B. BM⊥平面CC1F
C. 存在點E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D. 三棱錐B﹣CFE的體積為定值
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 某單位有男女職工共人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職工中抽取容量為的樣本，已知從女職工中抽取的人數(shù)為，那么該單位的女職工人數(shù)為__________．
14. 已知向量夾角，且，則__________．
15. 某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體．正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為 _____．

16. 在中，已知，若，則周長的取值范圍為__________．
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
17. 已知向量,.
(1)求的坐標; (2)求.
18. 四邊形ABCD是圓柱OO1的軸截面，E為底面圓周上的一點，，，．

（1）求證：平面；
（2）求圓柱的表面積．





19. 某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖

（1）求圖中實數(shù)的值；
（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；
（3）若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率.












20. 在中，．
（1）求的值；
（2）若，，求以及的值．









21. 某校設計了如下有獎闖關游戲:參賽選手按第一關,第二關,第三關的順序依次闖關,若闖關成功,分別獲得5個學豆,10個學豆,20個學豆的獎勵,游戲還規(guī)定,當選手闖過一關后,可以選擇帶走相應的學豆,結束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關,若有任何一關沒有闖關成功,則全部學豆歸零,游戲結束.設選手甲第一關,第二關,第三關闖關成功的概率分別為,,,選手選擇繼續(xù)闖關的概率均為,且各關之間闖關成功與否互不影響.
(1)求選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率;
(2)求該選手所得學豆總個數(shù)不少于15的概率.

















22. 如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．

















新教材高一數(shù)學第二學期期末試卷
一、單項選擇題（本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的）
1. 設，則的虛部為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】利用復數(shù)的除法法則將復數(shù)表示為一般形式，即可得出復數(shù)的虛部.
【詳解】，因此，復數(shù)的虛部為.
故選：B.
【點睛】本題考查復數(shù)虛部的求解，一般利用復數(shù)的四則運算法則將復數(shù)表示為一般形式，考查計算能力，屬于基礎題.
2. 已知向量，，，則下列結論正確的是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】D
【解析】【分析】由平面向量共線和垂直的坐標表示可得出結果.
【詳解】，，，則，，，
因此，，，.
故選：D.
【點睛】本題考查向量的坐標運算，涉及共線向量和向量垂直的坐標表示，考查推理能力，屬于基礎題.
3. “幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價他對自己目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標，常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近表示滿意度越高.現(xiàn)隨機抽取位北京市民，他們的幸福感指數(shù)為3，4，5，5，6，7，7，8，9，10.則這組數(shù)據(jù)的分位數(shù)是（ ）
A. 7 B. C. 8 D.
【答案】C
【解析】【分析】先計算分位數(shù)的位置，再求出這個數(shù)即可.
【詳解】由題意，這10個人的幸福指數(shù)已經(jīng)從小到大排列，
因為，
所以這10個人的分位數(shù)是從小到大排列后第8個人的幸福指數(shù)，即8.
故選：C
【點睛】本題主要考查分位數(shù)的概念和計算，屬于基礎題.
4. 已知復數(shù)，若，則（ ）
A. B. 2 C. D. 5
【答案】C
【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法計算，再利用復數(shù)相等得到滿足的方程組，從而得到復數(shù)，再利用公式計算其模即可.
【詳解】可化為，
因為，故，解得，所以，故.
故選：C.
【點睛】本題考查復數(shù)的乘法以及復數(shù)相等的條件，此類問題屬于容易題.
5. 在中，角，，所對的邊分別是，，，已知，則的形狀是（ ）
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 等腰或直角三角形
【答案】A
【解析】【分析】利用正弦定理以及三角形的內(nèi)角和，兩角和的正弦函數(shù)化簡，求出與的關系，即可判斷三角形的形狀．
【詳解】解：，由正弦定理可知，，因為，
所以，所以，
即所以，所以，，
因為、、是三角形內(nèi)角，所以．所以是等腰三角形．
故選：A．
6. 如圖，元件通過電流的概率均為0．9，且各元件是否通過電流相互獨立，則電流能在M，N之間通過的概率是

A. 0．729 B. 0．8829 C. 0．864 D. 0．9891
【答案】B
【解析】【詳解】試題分析：電流能通過的概率為，電流能通過的概率為，故電流不能通過也不能通過的概率為，所以電流能通過系統(tǒng)的概率為，而電流能通過的概率為，所以電流能在之間通過的概率為，故選B．
考點：相互獨立事件的概率乘法公式．
【方法點睛】本題主要考查了相互獨立事件的概率乘法公式．所求事件的概率與它的對立事件之間概率的關系，體現(xiàn)了轉化的數(shù)學思想，屬于基礎題．求出電流不能通過也不能通過的概率，用減去此概率即得到電流能通過系統(tǒng)的概率，再根據(jù)電流能通過的概率，利用相互獨立事件的概率乘法公式即可求得電流在之間通過的概率．
7. 已知一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是2，方差是，那么另一組數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)和方差分別為　　
A. 2， B. 4，3 C. 4， D. 2，1
【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的公式計算可得；
【詳解】解：，，，的平均數(shù)是2，則．
數(shù)據(jù)，，，，的平均數(shù)是：，
所以，
．
故選：B．
8. 我國古代《九章算術》中將上，下兩面為平行矩形的六面體稱為芻童.如圖的芻童有外接球，且，，，，平面與平面間的距離為，則該芻童外接球的體積為

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】假設為芻童外接球的球心，連接,交于點，連接,交于點，由球的幾何性質(zhì)可知，，在同一條直線上，由題意可知， 平面，平面，設，利用勾股定理和球的半徑相等的條件列式，求出的值，進而求出外接球的半徑，即可求出體積.
【詳解】解：假設為芻童外接球的球心，連接,交于點，連接,交于點，由球的幾何性質(zhì)可知，，在同一條直線上，
由題意可知， 平面，平面，.設，
在中，，在矩形中，
..
.
在中，，在矩形中，
..
.設外接球的半徑，
，解得.則.即.
則該芻童外接球的體積.
故選：C.

【點睛】本題考查幾何體的外接球體積的求法，考查空間想象能力，找到球心是關鍵，屬于中檔題.
二、多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分，在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分）
9. 不透明的口袋內(nèi)裝有紅色、綠色和藍色卡片各2張，一次任意取出2張卡片，則與事件“2張卡片都為紅色”互斥而不對立的事件有（ ）
A. 2張卡片不全為紅色 B. 2張卡片恰有一張紅色
C. 2張卡片至少有一張紅色 D. 2張卡片都為綠色
【答案】BD
【解析】【分析】本題先寫出所有情況：“2張都為紅色”、“2 張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，再根據(jù)選項選擇互斥而不對立的事件即可.
【詳解】6張卡片中一次取出2張卡片的所有情況有：“2張都為紅色”、“2 張都為綠色”、“2張都為藍色”、“1張為紅色1張為綠色”、“1張為紅色1張為藍色”、“1張為綠色1張為藍色”，選項中給出的四個事件中與“2張都為紅色”互斥而非對立“2張恰有一張紅色”“2張都為綠色”，其中“2張至少一張為紅色”包含事件是“2張都為紅色”二者并非互斥，“2張不全為紅色”是對立事件．
故選：BD.
【點睛】本題考查互斥事件、對立事件，是基礎題.
10. 已知，是兩個不重合的平面，，是兩條不重合的直線，則下列命題正確的是　　
A. 若，，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，，則與所成的角和與所成的角相等
【答案】BCD
【解析】【分析】根據(jù)線面、面面關系的性質(zhì)定理與判定定理判斷即可；
【詳解】解：對于A．若，，，則或與平行或，與相交不垂直，故A錯誤；
對于B：，設過的平面與交于，則，又，，，B正確；
對于C：，內(nèi)的所有直線都與平行，且，，C正確；
對于D：根據(jù)線面角的定義，可得若，，則與所成的角和與所成的角相等，故D正確．
故選：BCD．
11. （多選題）2019年“雙節(jié)”期間，高速公路車輛較多.某調(diào)查公司在一服務區(qū)從七座以下小型汽車中抽取了40名駕駛員進行詢問調(diào)查，將他們在某段高速公路的車速（）分成六段：，，，，，，得到如圖所示的頻率分布直方圖.下列結論正確的是（ ）

A. 這40輛小型車輛車速的眾數(shù)的估計值為77.5
B. 在該服務區(qū)任意抽取一輛車，車速超過的概率為0.35
C. 若從車速在的車輛中任意抽取2輛，則至少有一輛車的車速在的概率為
D. 若從車速在的車輛中任意抽取2輛，則車速都在內(nèi)的概率為
【答案】ABC
【解析】【分析】眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點對應的值可判斷A；用頻率估計概率可判斷B；在C中，由題可知，車速在內(nèi)的車輛數(shù)為2，車速在內(nèi)的車輛數(shù)為4，運用古典概型的概率計算公式即可判斷C、D．
【詳解】解：在A中，由題圖可知，眾數(shù)的估計值為最高的矩形的中點對應的值，A正確；
在B中，車速超過的頻率為，用頻率估計概率知B正確；
在C中，由題可知，車速在內(nèi)的車輛數(shù)為2，車速在內(nèi)的車輛數(shù)為4，
運用古典概型求概率得，
至少有一輛車的車速在的概率為，即車速都在內(nèi)的概率為，故C正確，D錯誤；
故選：ABC．
【點睛】本題主要考查概率與統(tǒng)計的綜合，考查根據(jù)頻率分布直方圖估計總體的眾數(shù)、頻率，考查古典概型的概率計算公式，屬于基礎題．
12. 如圖，正方體ABCD﹣A1B1C1D1的棱長為1，動點E在線段A1C1上，F(xiàn)，M分別是AD，CD的中點，則下列結論中正確的是（ ）

A. FM與BC1所成角為45°
B. BM⊥平面CC1F
C. 存在點E，使得平面BEF∥平面CC1D1D
D. 三棱錐B﹣CFE的體積為定值
【答案】BD
【解析】【分析】對A,根據(jù)線線角求法，取FM的平行線A1C1分析A1C1與BC1所成角即可；
對B,利用平面幾何方法證明再證明平面即可.
對C,根據(jù)與平面有交點判定即可.
對D,根據(jù)三棱錐以為底,且同底高不變,故體積不變判定即可.
【詳解】在A中,因為分別是的中點,所以,根據(jù)正方體的性質(zhì)可得為正三角形，故FM與BC1所成角為60°，故A錯誤;

在B中,因為,,故,
故.故,又有,
所以平面,故B正確；
在C中,與平面有交點,所以不存在點,使得平面平面,故C錯誤.
在D中,三棱錐以面為底,則高是定值,所以三棱錐的體積為定值,故D正確.
故選：BD.
三、填空題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）
13. 某單位有男女職工共人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從所有職工中抽取容量為的樣本，已知從女職工中抽取的人數(shù)為，那么該單位的女職工人數(shù)為__________．
【答案】
【解析】【分析】根據(jù)分層抽樣的定義建立比例關系即可得到結論．
【詳解】設該單位的女職工人數(shù)為，則，解得，即該單位的女職工人數(shù)為.
故答案：.
【點睛】本題主要考查分層抽樣的應用，根據(jù)條件建立比例關系是解決本題的關鍵，比較基礎．
14. 已知向量夾角為，且，則__________．
【答案】
【解析】【詳解】試題分析：的夾角，，，，.
考點：向量的運算.
【思路點晴】平面向量的數(shù)量積計算問題，往往有兩種形式，一是利用數(shù)量積的定義式，二是利用數(shù)量積的坐標運算公式，涉及幾何圖形的問題，先建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，可起到化繁為簡的妙? 利用向量夾角公式、模公式及向量垂直的充要條件，可將有關角度問題、線段長問題及垂直問題轉化為向量的數(shù)量積來解決．列出方程組求解未知數(shù).
15. 某組合體如圖所示，上半部分是正四棱錐，下半部分是長方體．正四棱錐的高為，，，則該組合體的表面積為 _____．

【答案】
【解析】【分析】連接、交于點，連接，取的中點，連接、，計算出正四棱錐的斜高，利用三角形和矩形的面積公式可求得該幾何體的表面積.
【詳解】連接、交于點，連接，取的中點，連接、，如下圖所示：

在正四棱錐中，為該四棱錐的高，則，
因為四邊形是邊長為的正方形，則，
，
因為為的中點，，，
因為，故該幾何體的表面積為.
故答案為：.
16. 在中，已知，若，則周長的取值范圍為__________．
【答案】
【解析】【分析】先由化簡求出，再利用余弦定理可得，再結合基本不等式可得，而在三角形中有，從而可得結果.
【詳解】解：由題意，，即，
可化為，即，
因為，所以，即，
設的內(nèi)角的對邊分別為，
由余弦定理得，
因為，（當且僅當時取“=”），所以，即，
又因為，所以，
故，則，
又因為，所以，即.
故周長的取值范圍為.
故答案為：
【點睛】此題考查利用余弦定理解三角形，考查了三角函數(shù)恒等變換公式和基本不等式，綜合性強，考查轉化能力和計算能力，屬于中檔題.
四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應寫出必要的文字說明、證明過程或推演步驟）
17. 已知向量,.
(1)求的坐標;
(2)求.
【答案】(1);(2).
【解析】【分析】（1）根據(jù)向量的數(shù)乘運算及加法運算即可得到本題答案；（2）根據(jù)向量的模的計算公式即可得到本題答案.
【詳解】(1)因為,,所以；所以；
(2)因,所以.
【點睛】本題主要考查平面向量的線性運算以及模的計算，屬基礎題.
18. 四邊形ABCD是圓柱OO1的軸截面，E為底面圓周上的一點，，，．

（1）求證：平面；
（2）求圓柱的表面積．
【答案】（1）證明見解析 （2）
【解析】【分析】（1）推導出，，由此能證明平面．
（2）利用勾股定理求出，從而得到底面圓的半徑，由此能求出圓柱的表面積．
【小問1詳解】證明： 四邊形是圓柱的軸截面，為底面圓周上的一點，
所以平面，平面，所以
，
，平面，平面．
【小問2詳解】解： ，，．
，，
圓柱的表面積：．
19. 某校從高一年級學生中隨機抽取40名中學生，將他們的期中考試數(shù)學成績(滿分100分，成績均為不低于40分的整數(shù))分成六段：，，…，所得到如圖所示的頻率分布直圖

（1）求圖中實數(shù)的值；
（2）若該校高一年級共有640人，試估計該校高一年級期中考試數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)；
（3）若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生，求這2名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10的概率.
【答案】（1）a=0.03；（2）544人；（3）.
【解析】【分析】（1）根據(jù)圖中所有小矩形的面積之和等于1求解.
?（2）根據(jù)頻率分布直方圖，得到成績不低于60分的頻率，再根據(jù)該校高一年級共有學生640人求解.
?（3）由頻率分布直方圖得到成績在[40，50)和[90，100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)，先列舉出從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生的基本事件總數(shù)，再得到兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”的基本事件數(shù)，代入古典概型概率求解.
【詳解】（1）∵圖中所有小矩形的面積之和等于1，
∴10×(0.005+0.01+0.02+a+0.025+0.01)=1，解得a=0.03.
?（2）根據(jù)頻率分布直方圖，成績不低于60分的頻率為1?10×(0.005+0.01)=0.85，
?∵該校高一年級共有學生640人，
?∴由樣本估計總體的思想，可估計該校高一年級數(shù)學成績不低于60分的人數(shù)約為640×0.85=544人.
?（3）成績在[40，50)分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.05=2人，分別記為A，B，
?成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)的人數(shù)為40×0.1=4人，分別記為C，D，E，F(xiàn).
?若從數(shù)學成績在[40，50)與[90，100]兩個分數(shù)段內(nèi)的學生中隨機選取兩名學生，
?則所有的基本事件有：(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F(xiàn))，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F(xiàn))，(C，D)，(C，E)，
?(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共15種.
?如果兩名學生的數(shù)學成績都在[40，50)分數(shù)段內(nèi)或都在[90，100]分數(shù)段內(nèi)，
?那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定不大于10.
?如果一個成績在[40，50)分數(shù)段內(nèi)，另一個成績在[90，100]分數(shù)段內(nèi)，
?那么這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值一定大于10.
?記“這兩名學生的數(shù)學成績之差的絕對值不大于10”為事件M，
?則事件M包含的基本事件有：(A，B)，(C，D)，(C，E)，(C，F(xiàn))，(D，E)，(D，F(xiàn))，(E，F(xiàn))共7種.
?∴所求概率為P(M)=.
【點睛】本題主要考查頻率分布直方圖的應用以及古典概型概率的求法，還考查了運算求解的能力，屬于中檔題.
20. 中，．
（1）求的值；
（2）若，，求以及的值．
【答案】（1） （2），
【解析】【分析】（1）利用余弦定理計算可得；
（2）先利用同角三角函數(shù)關系式求出角，的正弦值，再借助于正弦定理求出，代入已知條件求出，進而求出三角形的面積．
【小問1詳解】解：由余弦定理及已知得：，
【小問2詳解】解：因為，為三角形內(nèi)角，
所以，，
由正弦定理得：，
又．，解得或（舍去）．
．
21. 某校設計了如下有獎闖關游戲:參賽選手按第一關,第二關,第三關的順序依次闖關,若闖關成功,分別獲得5個學豆,10個學豆,20個學豆的獎勵,游戲還規(guī)定,當選手闖過一關后,可以選擇帶走相應的學豆,結束游戲;也可以選擇繼續(xù)闖下一關,若有任何一關沒有闖關成功,則全部學豆歸零,游戲結束.設選手甲第一關,第二關,第三關闖關成功的概率分別為,,,選手選擇繼續(xù)闖關的概率均為,且各關之間闖關成功與否互不影響.
(1)求選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率;
(2)求該選手所得學豆總個數(shù)不少于15的概率.
【答案】(1) (2)
【解析】【分析】（1）設甲“第一關闖關成功且所得學豆為零”為事件A，“第一關闖關成功第二關闖關失敗”為事件，“前兩關闖關成功第三關闖關失敗”為事件，則，互斥，由此利用互斥事件概率加法公式能求出選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率；
（2）該選手所得學豆總個數(shù)可能為0，5，15，35，先用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式計算出總個數(shù)為15和35時所對應的概率，再相加即可.
【詳解】(1)設“甲第一關闖關成功且所得學豆為零”為事件A，“第一關闖關成功第二關闖關失敗”為事件，“前兩關闖關成功第三關闖關失敗”為事件，則，互斥.
，，，
所以選手甲第一關闖關成功且所得學豆為零的概率為.
(2)由題意得該選手所得學豆總個數(shù)可能為0，5，15，35，
且“該選手所得學豆總個數(shù)為15”的概率為，
“該選手所得學豆總個數(shù)為35”的概率為.
所以“該選手所得學豆總個數(shù)不少于15”的概率為.
【點睛】本題考查概率的求法，解題時要認真審題，注意互斥事件概率加法公式、相互獨立事件概率乘法公式的合理運用，屬于中檔題.
22. 如圖，四棱錐中，平面，，，，為的中點．

（1）證明：平面平面；
（2）求異面直線與所成角的余弦值；
（3）求直線與平面所成角的正弦值．
【答案】（1）證明見解析 （2） （3）
【解析】【分析】（1）證明平面，利用面面垂直的判定定理可證得結論成立；
（2）取的中點，連接、，證明出四邊形為平行四邊形，可得出，可得知異面直線與所成角為或其補角，計算出三邊邊長，利用余弦定理可求得結果；
（3）過點在平面內(nèi)作直線，垂足為點，連接，證明出平面，可得知直線與平面所成角為，計算出的長，可求得的正弦值，即可得解.
【小問1詳解】證明：在底面中，，，，
，則為等腰直角三角形，且，，
，則，
在中，，，，
由余弦定理可得，，
，
平面，平面，，
，平面，
平面，平面平面.
【小問2詳解】解：取的中點，連接、，
因為、分別為、的中點，則且，
由已知且，所以，且，
所以，四邊形平行四邊形，故且，
所以，異面直線與所成角為或其補角，
平面，、、平面，
所以，，，，
則，，同理，
為的中點，則，
由余弦定理可得.
因此，異面直線與所成角的余弦值為.
【小問3詳解】解：過點在平面內(nèi)作直線，垂足為點，連接，

因為平面平面，平面平面，平面，
，所以，平面，
所以，直線與平面所成角為，
在中，，，
由余弦定理可得，則為鈍角，
，，
所以，.
因此，直線與平面所成角的正弦值為.


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