新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷考試時間120分鐘，滿分150分一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.        B.        C.        D. 2. 已知實數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式一定成立的是（    ）A.        B.        C.        D. 3. 已知，向量與的夾角為，則（    ）A. 5       B.        C.        D. 4. 若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（    ）．A.        B.        C.        D. 5. 在中，已知，則角為（    ）A.        B.        C. 或       D. 或6. 已知，則的值是（    ）A.        B.        C.        D. 7. 如圖，已知，則（    ）A.        B. C.        D. 8. 一紙片上繪有函數(shù)（）一個周期的圖像，現(xiàn)將該紙片沿x軸折成直二面角，原圖像上相鄰的最高點和最低點此時的空間距離為，若方程在區(qū)間上有兩個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A.        B.        C.        D. 二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中真命題為（    ）A.        B. C. 虛部為-1       D. 的共軛復(fù)數(shù)為10. 已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（    ）A. 若，，，則       B. 若，，，則C. 若，，，則       D. 若，，，則11. 正四棱臺中，上底面的邊長為2，下底面的邊長為4，棱臺高為1，則（    ）A. 該四棱臺側(cè)棱長為       B. 與所成角的余弦值為C. 與面所成的角大小為       D. 二面角的大小為12. 在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，R為外接圓的半徑，的面積記為，則下列命題正確的是（    ）A. 的充要條件是B. 若，則直角三角形C. 若，，，則D. 不存在，滿足，，同時成立三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知向量，，若，則_______.14. 已知函數(shù)，則_______.15. 已知函數(shù)（），將圖象上所有點向右平移個單位，得到奇函數(shù)的圖象，則常數(shù)的一個取值為____.16. 在平面四邊形中，，，，，交于點O，若，則的值為______，的長為______.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在平而直角坐標系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同兩個單位向量分別為和，，.（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若點P是線段的中點，且向量與垂直，求實數(shù)k的值.  18. 已知函數(shù)，其中，，是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為.（1）求使取得最大值時自變量x的集合，并求的最大值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.  19. 如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面，，分別是線段，的中點．（1）證明：平面平面；（2）記平面與平面的交線為，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由． 20. 設(shè)a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，已知.（1）求角B；（2）若，且，求邊c.        21. 在直三棱柱中，D，E分別是，的中點，，，，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.          22. 某大學(xué)科研團隊在如下圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)（包含邊界）進行粒子撞擊實驗，科研人員在A、O兩處同時釋放甲、乙兩顆粒子.甲粒子在A處按方向做勻速直線運動，乙粒子在O處按方向做勻速直線運動，兩顆粒子碰撞之處記為點P，且粒子相互碰撞或觸碰邊界后爆炸消失.已知長度為6分米，O為中點.（1）已知向量與的夾角為，且足夠長.若兩顆粒子成功發(fā)生碰撞，求兩顆粒子運動路程之和的最大值；（2）設(shè)向量與向量夾角為（），向量與向量的夾角為（），甲粒子的運動速度是乙粒子運動速度的2倍.請問的長度至少為多少分米，才能確保對任意的，總可以通過調(diào)整甲粒子的釋放角度，使兩顆粒子能成功發(fā)生碰撞？              新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷考試時間120分鐘，滿分150分注意事項：1.答題前，考生先將自己的信息填寫清楚、準確，將條形碼準確粘貼在條形碼粘貼處.2.請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效.3.答題時請按要求用筆，保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不得使用涂改液、修正帶、刮紙刀.考試結(jié)束后，請將本試題及答題卡交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1. 已知集合，，則（    ）A.        B.        C.        D. 【答案】B【解析】【分析】求出集合，然后進行交集的運算即可．【詳解】，，．故選：．2. 已知實數(shù)，滿足，則下列關(guān)系式一定成立的是（    ）A.        B.        C.        D. 【答案】D【解析】【分析】A、B、C三個選項只需要舉出反例即可判定，D選項結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【詳解】A：當(dāng)滿足，但是，所以，故A錯誤；B：當(dāng)滿足，但是，所以，故B錯誤；C：當(dāng)滿足，但是，所以，故C錯誤；D：因為函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，所以，故D正確，故選：D.3. 已知，向量與的夾角為，則（    ）A. 5       B.        C.        D. 【答案】D【解析】分析】由已知先求出，然后根據(jù)，代值即可求解.【詳解】∵，向量與的夾角為∴∴故選：D.4. 若棱長為的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的表面積為（    ）．A.        B.        C.        D. 【答案】B【解析】【分析】由于正方體的外接球的直徑等于正方體的體對角線，從而求出體對角線，可得球的直徑，進而可求出球的表面積【詳解】解：設(shè)正方體外接球的半徑為，則由題意可得，得，所以球的表面積為，故選：B5. 在中，已知，則角為（    ）A.        B.        C. 或       D. 或【答案】C【解析】【分析】直接利用正弦定理即可得出答案.【詳解】解：在中，已知，因為，所以，所以或，所以或.故選：C.6. 已知，則的值是（    ）A.        B.        C.        D. 【答案】A【解析】【分析】使用整體處理以及兩角和與差得公式解決問題.【詳解】由得：，所以，，所以，.故選：A.7. 如圖，已知，則（    ）A.        B.     C.     D. 【答案】B【解析】【分析】利用向量的加法和數(shù)乘運算法則，取為基底，通過運算，即可得答案；【詳解】，，故選：B.8. 一紙片上繪有函數(shù)（）一個周期的圖像，現(xiàn)將該紙片沿x軸折成直二面角，原圖像上相鄰的最高點和最低點此時的空間距離為，若方程在區(qū)間上有兩個實根，則實數(shù)a的取值范圍是（    ）A.        B.        C.        D. 【答案】B【解析】【分析】由原圖像上相鄰的最高點和最低點此時的空間距離得出，再由正弦函數(shù)的性質(zhì)得出實數(shù)a的取值范圍.【詳解】原圖像上相鄰的最高點和最低點此時的空間距離為，，故，方程在區(qū)間上有兩個實根，即有2個解，由于，，則，故選：B二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9. 下面是關(guān)于復(fù)數(shù)的四個命題，其中真命題為（    ）A.        B.      C. 的虛部為-1       D. 的共軛復(fù)數(shù)為【答案】AC【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的四則運算即可求解.【詳解】，所以，故A正確；，故B錯誤；的虛部為-1，故C正確；的共軛復(fù)數(shù)為，故D錯誤.故選：AC10. 已知m，n是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則下列說法正確的是（    ）A. 若，，，則       B. 若，，，則C. 若，，，則       D. 若，，，則【答案】BD【解析】【分析】A選項，C選項根據(jù)面面平行，面面垂直關(guān)系很容易找到反例，B選項理解成法向量容易證明，D選項利用線面平行的性質(zhì)定理，面面垂直的判定定理證明.【詳解】A選項，兩個平行平面內(nèi)的兩條直線，可能平行，或者異面，A選項錯誤；B選項，，，可理解直線對應(yīng)的方向向量可看作的法向量，由于，又，是兩個不同的平面，則，故B選項正確；兩個面垂直，那么在一個面內(nèi)垂直于兩個面交線的直線才垂直另一個面，從選項中無法判斷和交線的位置關(guān)系，因此可能相交但不垂直，平行，異面但不垂直，C選項錯誤；D選項，若，又，根據(jù)面面垂直的判定，即有，若，由于，，則，過任作一個面，使其和相交于直線，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，，又則，結(jié)合，即，故D選項正確.        .故選：BD. 11. 正四棱臺中，上底面的邊長為2，下底面的邊長為4，棱臺高為1，則（    ）A. 該四棱臺的側(cè)棱長為       B. 與所成角的余弦值為C. 與面所成的角大小為       D. 二面角的大小為【答案】BD【解析】【分析】連接，作平面，由線面垂直的判定定理可得平面，得到，求出可判斷A；，所以與所成角即為與所成的角，即為所求，求出可判斷B；即為與面所成的角，由求出可判斷C；由平面得出即為平面與平面所成的角，求出，根據(jù)正四棱臺的四個側(cè)面與底面所成的角相等，可判斷D.【詳解】對于A，連接，作平面，，因為為正四棱臺，則在上，作交于點，連接，因為，，所以平面，平面，所以，因為上底面的邊長為2，下底面的邊長為4，所以，由，所以，，故A錯誤；對于B，因為，所以與所成角即為與所成的角，即為所求，因為正四棱臺的四個側(cè)面為全等的等腰梯形，所以，由，得，所以與所成角的余弦值為，故B正確；對于C，因為平面，所以即為與面所成的角，由，得，由得，所以，因為為正四棱臺，所以與面所成的角與與面所成的角相等，故C錯誤；對于D，根據(jù)A選項，平面，所以即為平面與平面所成的角，且，所以，因為正四棱臺的四個側(cè)面與底面所成的角相等，二面角的大小為，故D正確.故選：BD.12. 在中，A，B，C的對邊分別為a，b，c，R為外接圓的半徑，的面積記為，則下列命題正確的是（    ）A. 的充要條件是B. 若，則是直角三角形C. 若，，，則D. 不存在，滿足，，同時成立【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)正弦定理邊角互化即可判斷A,B,根據(jù)三角形面積公式可求，進而由余弦定理可求，最后由正弦定理可求外接圓半徑，假設(shè)存在，根據(jù)正弦定理得到矛盾可求D.【詳解】在中，由正弦定理可得：，故A正確.或者（不符合內(nèi)角和，故舍去），因此,又，故B正確.由，由余弦定理可得：,因此,故C錯誤.若存在，滿足，，同時成立，則矛盾，故不存在，滿足，，同時成立，故D正確.故選:ABD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 已知向量，，若，則_______.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)向量平行的坐標公式求解即可【詳解】由題意，，解得故答案為：14. 已知函數(shù)，則_______.【答案】0.5【解析】【分析】分段函數(shù)解析式的正確使用，可迅速解決.【詳解】由，得：.故答案為：.15. 已知函數(shù)（），將圖象上所有點向右平移個單位，得到奇函數(shù)的圖象，則常數(shù)的一個取值為____.【答案】（滿足都正確）【解析】【分析】利用函數(shù)圖象平移規(guī)則，得出解析式，再根據(jù)奇函數(shù)的定義求出的可能取值即可.【詳解】將圖象上所有點向右平移個單位，得：，又為奇函數(shù)，，即，，解得：，常數(shù)的一個取值為.故答案為：（滿足都正確）.16. 在平面四邊形中，，，，，交于點O，若，則的值為______，的長為______.【答案】 ①. ；    ②. .【解析】【分析】設(shè)，則，利用、、三點共線即可求出，進而得到的值；再在中，分別求出以及的值，再利用余弦定理求出的長.【詳解】依題意，如圖所示，設(shè)，則，、、三點共線，，解得：，，，又，，，，在中，由余弦定理得： ，解得：或（舍），.故答案：；.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 在平而直角坐標系中，設(shè)與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量分別為和，，.（1）求向量與夾角的余弦值；（2）若點P是線段的中點，且向量與垂直，求實數(shù)k的值.【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）用坐標表示向量，然后由數(shù)量積的定義求得夾角余弦值；（2）由向量與的數(shù)量積為0可求得．【小問1詳解】由已知得，，所以：，，，所以所求余弦值為．【小問2詳解】因為，，而向量與向量有垂直，所以，所以．所以18. 已知函數(shù)，其中，，是函數(shù)兩個零點，且的最小值為.（1）求使取得最大值時自變量x的集合，并求的最大值；（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】（1）自變量的集合為：，的最大值為1    （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)二倍角公式以及輔助角公式可化簡，根據(jù)題意可得周期，進而可求的解析式，進而可求最值和自變量的值.（2）整體代入法求單調(diào)增區(qū)間.【小問1詳解】，由是函數(shù)的兩個零點，且的最小值為可知：的周期為,故,因此，令，故自變量的集合為：,的最大值為1【小問2詳解】令，故的單調(diào)遞增區(qū)間為19. 如圖，是圓的直徑，點是圓上異于，的點，直線平面，，分別是線段，的中點．（1）證明：平面平面；（2）記平面與平面的交線為，試判斷直線與直線的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）證明見解析；（2），理由見解析.【解析】【分析】（1）推導(dǎo)出，，平面，從而，進而平面，由此能證明平面平面．（2）推導(dǎo)出，平面，根據(jù)線面平行的性質(zhì)，即能證明．【詳解】解：（1）因為平面，平面，所以.因為是以為直徑的圓上的點，所以．又，所以平面．因為，分別是，的中點，所以．所以平面．又平面，故平面平面．（2）.證明如下：由（1），.又平面，平面，所以平面．又平面，平面平面，所以．20. 設(shè)a，b，c分別為三個內(nèi)角A，B，C的對邊，已知.（1）求角B；（2）若，且，求邊c.【答案】（1）；    （2）當(dāng)時，；當(dāng)時，.【解析】【分析】（1）根據(jù)正弦定理，將已知條件轉(zhuǎn)化為，再利用三角恒等變換公式求出，根據(jù)角的取值范圍求出角B；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，將化簡為，對的取值情況進行討論，再由正弦定理和余弦定理進行求解即可.【小問1詳解】在中，由，可得.又由，得，，，，又，；【小問2詳解】在中，， .若，即時，；若，即時，，由正弦定理可知，由及可得，，又，，綜上，當(dāng)時，；當(dāng)時，.21. 在直三棱柱中，D，E分別是，的中點，，，，.（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離.【答案】（1）見解析    （2）【解析】【分析】（1）連接交于點，連接，由中位線定理以及平行四邊形的性質(zhì)證明，再由線面平行的判定證明即可；（2）由等體積法得出點到平面的距離. 【小問1詳解】連接交于點，連接，分別是的中點，，，，即四邊形是平行四邊形，，平面，平面，平面；【小問2詳解】設(shè)點到平面的距離為，平面，，，，又，平面，，且，，即，解得.22. 某大學(xué)科研團隊在如下圖所示的長方形區(qū)域內(nèi)（包含邊界）進行粒子撞擊實驗，科研人員在A、O兩處同時釋放甲、乙兩顆粒子.甲粒子在A處按方向做勻速直線運動，乙粒子在O處按方向做勻速直線運動，兩顆粒子碰撞之處記為點P，且粒子相互碰撞或觸碰邊界后爆炸消失.已知長度為6分米，O為中點.（1）已知向量與的夾角為，且足夠長.若兩顆粒子成功發(fā)生碰撞，求兩顆粒子運動路程之和的最大值；（2）設(shè)向量與向量的夾角為（），向量與向量的夾角為（），甲粒子的運動速度是乙粒子運動速度的2倍.請問的長度至少為多少分米，才能確保對任意的，總可以通過調(diào)整甲粒子的釋放角度，使兩顆粒子能成功發(fā)生碰撞？【答案】（1）；    （2）長度至少分米.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意在中運用余弦定理以及基本不等式求解即可；（2）過作，垂足為，設(shè)，則，由余弦定理求出，進而求出，得出，并求其最大值，再由恒等式得出的最小值即可.【小問1詳解】設(shè)兩顆粒子在點相撞，在中，由余弦定理得，即，，，即，，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以兩顆粒子運動路程和的最大值為；【小問2詳解】過作，垂足為，設(shè)，則，由余弦定理可得，，，，，當(dāng)即時，即取得最大值，易知恒成立，，的長度至少為分米，才能確保對任意的，總可以通過調(diào)整乙粒子的釋放角度，使兩顆粒子成功碰撞. 

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