?新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．
1. 設(shè)，則=（ ）
A. B. C. D. 2
2. 2021年湖南省新高考實(shí)行“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事件A=“他選擇政治和地理”，事件B=“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B（ ）
A. 是互斥事件，不是對(duì)立事件 B. 是對(duì)立事件
C. 既不是對(duì)立事件，也不是互斥事件 D. 無法判斷
3. 已知兩條不同直線，，兩個(gè)不同平面，，則下列命題正確的是
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
4. 設(shè)，則“”是“”
A. 充分而不必要條件 B. 必要而不充分條件
C. 充要條件 D. 既不充分也不必要條件
5. 已知，，，則，，大小關(guān)系是（ ）
A. B.
C. D.
6. 如圖，測量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)，，測得，，，并在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，則塔高（ ）

A. B. C. D.
7. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C D.
8. 已知四邊形中，，，，點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（ ）

A. 頻率分布直方圖中的值為0.04
B. 這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20
C. 這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5
D. 據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25
10. 將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B. 的圖象關(guān)于對(duì)稱
C. 在上的值域?yàn)? D. 在上單調(diào)遞減
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 若函數(shù)存在零點(diǎn)，則一定成立
B. “，”的否定是“，”
C. 設(shè)M為平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則
D. 若，O為所在平面一點(diǎn)，和分別表示和的面積，則
12. 如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（ ）

A. 直線平面
B. 二面角的大小為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 異面直線與所成角的取值范圍是
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，若，則__________．
14. 關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的值為__________．
15. 為了了解一家公司生產(chǎn)的白糖的質(zhì)量情況，現(xiàn)從這家公司生產(chǎn)的白糖中隨機(jī)抽取了10袋白糖，稱出各袋白糖的質(zhì)量（單位：克）如下：
495 500 503 508 498 500 493 500 503 500
則質(zhì)量落在區(qū)間（表示質(zhì)量的平均值，為標(biāo)準(zhǔn)差）內(nèi)的白糖有____________袋.
16. 已知函數(shù)，若當(dāng)方程有四個(gè)不等實(shí)根、、、，(＜＜＜) 時(shí)，不等式恒成立，則x1·x2=________，實(shí)數(shù)的最小值為___________．



四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知，函數(shù)．
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求在上單調(diào)區(qū)間．




18. 從①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答：
已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知_________.
（1）求角的大?。?br /> （2）若為銳角三角形，，求a的取值范圍.




19. 在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，，．
（?。┣蠖娼堑恼兄?；
（ⅱ）求直線到平面的距離．



20. 為打造精品賽事，某市舉辦“南粵古驛道定向大賽”，該賽事體現(xiàn)了“體育+文化+旅游”全方位融合發(fā)展.本次大賽分少年組、成年組、專業(yè)組三個(gè)小組，現(xiàn)由工作人員統(tǒng)計(jì)各個(gè)組別的參賽人數(shù)以及選手們比賽時(shí)的速度，得到如下統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：
組數(shù)
速度（千米/小時(shí)）
參賽人數(shù)（單位：人）
少年組

300
成年組

600
專業(yè)組



（1）求a，b的值；
（2）估計(jì)本次大賽所有選手的平均速度（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值作代表，最終計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；
（3）通過分層抽樣從成年組和專業(yè)組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪，求接受采訪的2人都來自“成年組”的概率.

21. 十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)（百輛）需另投入成本（萬元），且.由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
（1）求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額—成本）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.



22. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若對(duì)任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)（，且），問是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．




















新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題滿分5分，共40分．
1. 設(shè)，則=（ ）
A. B. C. D. 2
【答案】B
【解析】【分析】對(duì)復(fù)數(shù)進(jìn)行運(yùn)算化簡得，再進(jìn)行模的計(jì)算，即可得答案；
【詳解】，
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)模的計(jì)算，考考運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.
2. 2021年湖南省新高考實(shí)行“3+1+2”模式，即語文、數(shù)學(xué)、外語必選，物理、歷史二選一，政治、地理、化學(xué)、生物四選二，共有12種選課模式．某同學(xué)已選了物理，記事件A=“他選擇政治和地理”，事件B=“他選擇化學(xué)和地理”，則事件A與事件B（ ）
A. 是互斥事件，不是對(duì)立事件 B. 是對(duì)立事件
C. 既不是對(duì)立事件，也不是互斥事件 D. 無法判斷
【答案】A
【解析】【分析】根據(jù)對(duì)立事件、互斥事件的定義判斷即可；
【詳解】解：依題意某同學(xué)已選了物理，則還有政治和地理，政治和化學(xué)，政治和生物，地理和化學(xué)，地理和生物，化學(xué)和生物這種情況，
所以事件與事件是互斥事件，但是不是對(duì)立事件；
故選：A
3. 已知兩條不同直線，，兩個(gè)不同平面，，則下列命題正確的是
A. 若，，，則
B. 若，，，則
C. 若，，，則
D. 若，，，則
【答案】B
【解析】【分析】對(duì)A，或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)B，，所以該選項(xiàng)正確；對(duì)C，，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)D，或或相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
【詳解】對(duì)A，若，，，則或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)B，若，，所以，因?yàn)?，則，所以該選項(xiàng)正確；
對(duì)C，若，，，則，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)D，若，，，則或或相交或異面，所以該選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題主要考查空間直線和平面位置關(guān)系的命題真假的判斷，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和空間想象能力.
4. 設(shè)，則“”是“”的
A. 充分而不必要條件
B. 必要而不充分條件
C 充要條件
D. 既不充分也不必要條件
【答案】B
【解析】【分析】分別求出兩不等式的解集，根據(jù)兩解集的包含關(guān)系確定.
【詳解】化簡不等式，可知 推不出；
由能推出，
故“”是“”的必要不充分條件，
故選B．
【點(diǎn)睛】本題考查充分必要條件，解題關(guān)鍵是化簡不等式，由集合的關(guān)系來判斷條件．
5. 已知，，，則，，的大小關(guān)系是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，分別判斷，，的范圍，即可得出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)?，，?br /> 所以.
故選：C.
6. 如圖，測量河對(duì)岸的塔高時(shí)，可以選與塔底在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)觀測點(diǎn)，，測得，，，并在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，則塔高（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】【分析】由已知在中，利用正弦定理可求的值，在中，由，可求塔高的值.
【詳解】解：在中，，，，
由正弦定理，可得，
可得，在中，，所以塔高.
故選：D.
7. 函數(shù)的零點(diǎn)所在的區(qū)間為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】先判斷在上恒成立，排除CD；再判斷在上單調(diào)，計(jì)算出，，，根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)存在性定理，即可得出結(jié)果.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，所以恒成立，故和內(nèi)不可能存在零點(diǎn)；排除CD.
當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增；
又在上為連續(xù)函數(shù)，且，
，
，因此，，
由函數(shù)零點(diǎn)存在性定理可得，僅區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，即A正確，B錯(cuò).
故選：A.
8. 已知四邊形中，，，，點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)，則的最小值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】由題意分析可知四線性關(guān)于直線對(duì)稱，且，只需考慮點(diǎn)在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，然后分類討論求出的最小值.
【詳解】如圖所示，因?yàn)?，且，所以垂直且平分，則△為等腰三角形，又，所以△為等邊三角形.
則四邊形關(guān)于直線對(duì)稱，故點(diǎn)在四邊形上運(yùn)動(dòng)時(shí)，只需考慮點(diǎn)在邊上的運(yùn)動(dòng)情況即可，

因?yàn)椋字?，即，則，
①當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，
∴，當(dāng)時(shí)，的最小值為；
②當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)，則，
∴，當(dāng)時(shí)，的最小值為；
綜上，的最小值為；
故選：C .
【點(diǎn)睛】本題考查向量的數(shù)量積及數(shù)量積的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用、分類討論思想的運(yùn)用，難度稍大.



二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題滿分5分，共20分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分．
9. 為了解學(xué)生的身體狀況，某校隨機(jī)抽取了100名學(xué)生測量體重，經(jīng)統(tǒng)計(jì)，這些學(xué)生的體重?cái)?shù)據(jù)（單位：千克）全部介于45至70之間，將數(shù)據(jù)整理得到如圖所示的頻率分布直方圖，則（ ）

A. 頻率分布直方圖中值為0.04
B. 這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為20
C. 這100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為52.5
D. 據(jù)此可以估計(jì)該校學(xué)生體重的75%分位數(shù)約為61.25
【答案】ACD
【解析】【分析】利用頻率之和為1可判斷選項(xiàng)A，利用頻率與頻數(shù)的關(guān)系即可判斷選項(xiàng)B，利用頻率分布直方圖中眾數(shù)的計(jì)算方法求解眾數(shù)，即可判斷選項(xiàng)C，由百分位數(shù)的計(jì)算方法求解，即可判斷選項(xiàng)D．
【詳解】解：由，解得，故選項(xiàng)A正確；
體重不低于60千克的頻率為，
所以這100名學(xué)生中體重不低于60千克的人數(shù)為人，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；
100名學(xué)生體重的眾數(shù)約為，故選項(xiàng)C正確；
因?yàn)轶w重不低于60千克的頻率為0.3，而體重在，的頻率為，
所以計(jì)該校學(xué)生體重的分位數(shù)約為，故選項(xiàng)D正確．
故選：ACD．
10. 將函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度，得到偶函數(shù)的圖象，則下列結(jié)論中正確的有（ ）
A. 的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱 B. 的圖象關(guān)于對(duì)稱
C. 在上的值域?yàn)? D. 在上單調(diào)遞減
【答案】ABD
【解析】【分析】通過函數(shù)圖象的伸縮平移變換可得的值，以及與解析式，再根據(jù)三角函數(shù)圖象性質(zhì)判斷各個(gè)選項(xiàng).
【詳解】函數(shù)的圖象上所有的點(diǎn)向左平行移動(dòng)個(gè)單位長度,
得，
又為偶函數(shù)，故軸為的對(duì)稱軸，
即，解得，
，，
，
的對(duì)稱中心：令，即對(duì)稱中心為，
當(dāng)時(shí)，對(duì)稱中心為，故A選項(xiàng)正確；
對(duì)稱軸：令，當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸為，故B選項(xiàng)正確；
，，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；
的單調(diào)遞減區(qū)間：令，即，
又，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，D選項(xiàng)正確；
故選：ABD.
11. 下列說法正確的是（ ）
A. 若函數(shù)在存在零點(diǎn)，則一定成立
B. “，”的否定是“，”
C. 設(shè)M為平行四邊形ABCD的對(duì)角線的交點(diǎn)，O為平面內(nèi)任意一點(diǎn)，則
D. 若，O為所在平面一點(diǎn)，和分別表示和的面積，則
【答案】BD
【解析】【分析】直接利用零點(diǎn)定理，命題的否定，向量的線性運(yùn)算，向量的加法和三角形的面積的求法，逐一分析各個(gè)選項(xiàng)，即可得出答案．
【詳解】解：對(duì)于A：若函數(shù)在存在零點(diǎn)，且函數(shù)具有單調(diào)性，則（1）一定成立，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B：“，的否定是“，”故B正確；
對(duì)于C：如圖所示：

所以，，
所以，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D：，
如圖所示：

整理得：，取的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，
所以，
所以設(shè)，，
所以，
由于為的中位線，
所以，
故．故D正確；
故選：BD．
12. 如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（ ）

A. 直線平面
B. 二面角的大小為
C. 三棱錐的體積為定值
D. 異面直線與所成角的取值范圍是
【答案】AC
【解析】【分析】在A中推導(dǎo)出A1C1⊥BD1，DC1⊥BD1，從而直線BD1⊥平面A1C1D；在B中根據(jù)正方體性質(zhì)顯然不成立；在C中由B1C∥平面 A1C1D，得到P到平面A1C1D的距離為定值，再由△A1C1D的面積是定值，從而三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值；在D中異面直線AP與A1D所成角的取值范圍是即可求解.
【詳解】如圖，

在A中，∵A1C1⊥B1D1，A1C1⊥BB1，B1D1∩BB1＝B1，
∴A1C1⊥平面BB1D1，∴A1C1⊥BD1，同理，DC1⊥BD1，
∵A1C1∩DC1＝C1，∴直線BD1⊥平面A1C1D，故A正確；
在B中，由正方體可知平面不垂直平面,故B錯(cuò)誤；
在C中，∵A1D∥B1C，A1D?平面A1C1D，B1C?平面A1C1D，
∴B1C∥平面 A1C1D，
∵點(diǎn)P在線段B1C上運(yùn)動(dòng)，∴P到平面A1C1D的距離為定值，
又△A1C1D的面積是定值，∴三棱錐P﹣A1C1D的體積為定值，故C正確；
在D中，當(dāng)點(diǎn)P與線段的端點(diǎn)重合時(shí), 異面直線與所成角取得最小值為,故異面直線AP與A1D所成角的取值范用是，故D錯(cuò)誤.
故選：AC
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)正方體的圖形與性質(zhì)，結(jié)合線面垂直的判定，三棱錐的體積公式，二面角、異面直線所成角的概念，是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．
13. 已知向量，，若，則__________．
【答案】
【解析】【分析】利用平面向量垂直的坐標(biāo)表示結(jié)合三角恒等變換化簡得出，利用二倍角的余弦公式可求得結(jié)果.
【詳解】由得
，
所以，，因此，.
故答案為：.
14. 關(guān)于的方程有實(shí)根，則實(shí)數(shù)的值為__________．
【答案】
【解析】【分析】設(shè)為方程的實(shí)根，代入方程中化簡，然后利用復(fù)數(shù)相等的條件可求出實(shí)數(shù)的值
【詳解】設(shè)為方程的實(shí)根，則，
的以，
所以，
所以，得，
所以，
故答案為：
15. 為了了解一家公司生產(chǎn)的白糖的質(zhì)量情況，現(xiàn)從這家公司生產(chǎn)的白糖中隨機(jī)抽取了10袋白糖，稱出各袋白糖的質(zhì)量（單位：克）如下：
495 500 503 508 498 500 493 500 503 500
則質(zhì)量落在區(qū)間（表示質(zhì)量的平均值，為標(biāo)準(zhǔn)差）內(nèi)的白糖有____________袋.
【答案】7
【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差的計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)據(jù)，即可求得結(jié)果.
【詳解】由題可得：；
，故可得.
則區(qū)間[﹣s，+s]即為.
故落在該區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)為：.
故答案為：.
16. 已知函數(shù)，若當(dāng)方程有四個(gè)不等實(shí)根、、、，(＜＜＜) 時(shí)，不等式恒成立，則x1·x2=________，實(shí)數(shù)的最小值為___________．
【答案】 ①. 1 ②.
【解析】【分析】根據(jù)分段函數(shù)性質(zhì)畫出的圖象，結(jié)合題設(shè)，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合及對(duì)
數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算易得，由對(duì)稱性可得
，再應(yīng)用參變分離有恒成立，構(gòu)造
，利用換元法結(jié)合基本不等式求最值，即可求的最小值.
【詳解】當(dāng)時(shí)，，
∴，如下圖示：

∴、?、對(duì)應(yīng)A、B、C、D的橫坐標(biāo)，
由，故，因?yàn)?，?br /> 得
故答題空1的答案為：.
由對(duì)稱性同理可得：，
又因
得：，，
分離參數(shù)得：，
設(shè)，
令，則，，則，
再令（）
則，
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”），
∴，即，
∴，即實(shí)數(shù)的最小值為.
故答題空2的答案為：.
四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
17. 已知，函數(shù)．
（1）求的最小正周期和最大值；
（2）求在上的單調(diào)區(qū)間．
【答案】（1）最小正周期為π，最大值為．
（2）為單調(diào)遞增區(qū)間；為單調(diào)遞減區(qū)間．
【解析】【分析】（1）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算及三角恒等變換化簡，由正弦型三角函數(shù)求周期、最值即可；
（2）根據(jù)自變量的范圍求出的范圍，結(jié)合正弦型三角函數(shù)的單調(diào)性求解.
【小問1詳解】
，
因此的最小正周期為π，最大值為．
【小問2詳解】
當(dāng)時(shí)，，
從而當(dāng)，
即時(shí)，單調(diào)遞增，
當(dāng)，即時(shí)，單調(diào)遞減．
綜上可知，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減．
18. 從①，②，③三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在下面問題中，并解答：
已知三個(gè)內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知_________.
（1）求角的大??；
（2）若為銳角三角形，，求a的取值范圍.
【答案】選①②③（1）；（2）
【解析】【分析】（1）選①：利用余弦定理以及已知條件可求得的值，再結(jié)合角范圍即可求解；選②：利用正弦定理化邊為角可得的值，再結(jié)合角范圍即可求解；選③：利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系可求得的值，再結(jié)合角范圍即可求解；
（2）利用正弦定理，結(jié)合將邊轉(zhuǎn)化為角，再由銳角三角形求出的范圍，利用三角函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】（1）選①：∵，
∴.
∴.
∴.
又∵，∴.
選②：∵，
由正弦定理得.
∵，∴，
∴，∴.
又∵，∴.
選③：∵，
∴.
∴.
∴.
又∵，∴.
（2）由正弦定理，
∴.
∴
.
∵為銳角三角形，，
可得 ，解得：，
∴，∴
∴，∴.
∴的范圍是.
19. 在直三棱柱中，，分別是，的中點(diǎn)．

（Ⅰ）求證：平面；
（Ⅱ）若，，．
（?。┣蠖娼堑恼兄?；
（ⅱ）求直線到平面的距離．
【答案】（Ⅰ）證明見解析；（Ⅱ）（?。?；（ⅱ）.
【解析】【分析】（Ⅰ）取中點(diǎn)并連接，證明四邊形為平行四邊形，然后得到即可；
（Ⅱ）（?。┻B接，首先得到，然后可得二面角的平面角為，然后證明平面，然后在中求解即可；
（ⅱ）利用求解即可.
【詳解】證明：（Ⅰ）取中點(diǎn)并連接，

因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn)，所以，
所以，，所以四邊形為平行四邊形，
所以，
因?yàn)槠矫?，平面?br /> 所以平面．
（Ⅱ）（?。┻B接，因?yàn)椋?，是的中點(diǎn)，

所以，所以，所以，
同理可得，所以，
因?yàn)椋远娼堑钠矫娼菫椋?br /> 又，所以平面，
因?yàn)槠矫?，所以?br /> 因?yàn)橹比庵云矫?，又平面?br /> 所以，又，
所以平面，因?yàn)槠矫?，所以?br /> 易得，在中可得，
所以二面角的正切值為
（ⅱ）因?yàn)槠矫妫?br /> 所以直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
因?yàn)?，所以?br /> 即，解得，
所以直線到平面的距離為．
20. 為打造精品賽事，某市舉辦“南粵古驛道定向大賽”，該賽事體現(xiàn)了“體育+文化+旅游”全方位融合發(fā)展.本次大賽分少年組、成年組、專業(yè)組三個(gè)小組，現(xiàn)由工作人員統(tǒng)計(jì)各個(gè)組別的參賽人數(shù)以及選手們比賽時(shí)的速度，得到如下統(tǒng)計(jì)表和頻率分布直方圖：
組數(shù)
速度（千米/小時(shí)）
參賽人數(shù)（單位：人）
少年組

300
成年組

600
專業(yè)組



（1）求a，b的值；
（2）估計(jì)本次大賽所有選手的平均速度（同一組數(shù)據(jù)用該組數(shù)據(jù)的中間值作代表，最終計(jì)算結(jié)果精確到0.01）；
（3）通過分層抽樣從成年組和專業(yè)組中抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人接受采訪，求接受采訪的2人都來自“成年組”的概率.
【答案】（1），；（2）9.05千米/小時(shí)；（3）.
【解析】【分析】（1）由頻率和為1，求出的值，再由頻率分布直方圖求出少年組的頻率，而少年組的人數(shù)為300人，從而可求出總?cè)藬?shù)，進(jìn)而可求出的值；
（2）利用平均數(shù)公式求解即可；
（3）先利用分組抽樣的定義求出成年組和專業(yè)組的人數(shù)，然后利用列舉法求解即可
【詳解】（1）由頻率分布直方圖可知
，
∴.
少年組人數(shù)為300人，頻率，總?cè)藬?shù)人，
∴.
∴，.
（2）平均速度
，
∴估計(jì)本次大賽的平均速度為9.05千米/小時(shí).
（3）成年組和專業(yè)組的參賽人數(shù)分別為600人、300人.
設(shè)在成年組和專業(yè)組抽取的人數(shù)分布為x，y，
則.
∴，.
∴由分層抽樣在成年組中抽取4人，專業(yè)組中抽取2人.
設(shè)成年組中的4人分別用A，B，C，D表示；專業(yè)組中的2人分別為a，b表示.
從中抽取兩人接受采訪的所有結(jié)果為：
AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab共15種.
接受采訪的兩人均來自成年組的所有結(jié)果為：
AB，AC，AD，BC，BD，CD共6種.
故接受采訪的兩人都來自成年組的概率為.
21. 十九大指出中國的電動(dòng)汽車革命早已展開，通過以新能源汽車替代汽/柴油車，中國正在大力實(shí)施一項(xiàng)將重塑全球汽車行業(yè)的計(jì)劃，年某企業(yè)計(jì)劃引進(jìn)新能源汽車生產(chǎn)設(shè)備看，通過市場分析，全年需投入固定成本萬元，每生產(chǎn)（百輛）需另投入成本（萬元），且.由市場調(diào)研知，每輛車售價(jià)萬元，且全年內(nèi)生產(chǎn)的車輛當(dāng)年能全部銷售完.
（1）求出年的利潤（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量（百輛）的函數(shù)關(guān)系式；（利潤=銷售額—成本）
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大？并求出最大利潤.
【答案】（1）
（2）百輛，最大利潤為萬
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意分情況列式即可；
（2）根據(jù)分段函數(shù)的性質(zhì)分別計(jì)算最值.
【小問1詳解】
由題意得當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
所以,
【小問2詳解】
由（1）得當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，
，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，
，時(shí)，，，
時(shí)，即年產(chǎn)量為百輛時(shí)，企業(yè)所獲利潤最大，且最大利潤為萬元.
22. 已知函數(shù)為奇函數(shù)．
（1）求實(shí)數(shù)的值；
（2）若對(duì)任意的，有恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（3）設(shè)（，且），問是否存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)在上的最大值為？若存在，求出的值，若不存在，請(qǐng)說明理由．
【答案】（1）；（2）；（3）不存在滿足條件，理由見解析．
【解析】【分析】（1）由于函數(shù)在上為奇函數(shù)，所以，從而可求出實(shí)數(shù)的值；
（2）由于在上單調(diào)遞增，且，所以可轉(zhuǎn)化為在上恒成立，即在上恒成立，設(shè)，求出其最大值即可；
（3）設(shè)，，則在上恒成立，從而得，對(duì)于二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得，然后分和求出即可
【詳解】（1）∵函數(shù)的定義域?yàn)椋覟槠婧瘮?shù)，
∴，解得．
此時(shí)，所以為奇函數(shù)，
所以
（2）∵，
∴在上單調(diào)遞增，且．
∵，則，
又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則在上恒成立，
∴在上恒成立，
設(shè)，則，
∴實(shí)數(shù)的取值范圍為．
（3）不存在，理由如下，設(shè)，，，
∴在上恒成立，
∴，則，∵，則．
對(duì)于二次函數(shù)，開口向上，對(duì)稱軸，∴
∴對(duì)稱軸位于的左側(cè)，則二次函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，，
假設(shè)存在滿足條件的實(shí)數(shù)，則當(dāng)時(shí)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性判斷方法，
可知為減函數(shù)，
∴，則，∴，
∴（舍），
同理可知，當(dāng)時(shí)，（舍），
綜上所述，不存在實(shí)數(shù)滿足條件成立．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查函數(shù)的奇偶性，考查不等式恒成立問題，考查二次函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是設(shè)，，則，由求出，然后分和求出即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力，屬于中檔題

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