新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷分值：150     時(shí)量：120分鐘一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1. 已知全集，集合，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】先求的并集再求補(bǔ)集即可.【詳解】易知，則，故選：D. 2. 設(shè)，為的共軛復(fù)數(shù)，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，即可得到其共軛復(fù)數(shù)；【詳解】解：，，故選：B．3. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】D【解析】【分析】由平面向量的加減法法則進(jìn)行計(jì)算.【詳解】由題意得，，所以.故選：D.4. 設(shè)m、n是兩條不同的直線(xiàn)，、是兩個(gè)不同的平面，則下列命題正確的是（    ）A. 若，，則 B. 若，，則C. 若，，則 D. 若，，則【答案】D【解析】【分析】根據(jù)線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面位置關(guān)系有關(guān)知識(shí)對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行分析，從而確定正確選項(xiàng).【詳解】A選項(xiàng)，，，則可能平行，相交，異面，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，，，則可能，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，，則可能，也可能，故C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，根據(jù)兩條平行線(xiàn)中的一條直線(xiàn)垂直一個(gè)平面，則另一條也垂直該平面，故D正確.故選：D.5. 某校高一、高二、高三年級(jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，現(xiàn)用分層隨機(jī)抽樣的方法從該校三個(gè)年級(jí)的學(xué)生中抽取一個(gè)容量為260的樣本，則從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為（    ）A. 40 B. 50 C. 80 D. 100【答案】D【解析】【分析】利用分層隨機(jī)抽樣的概念即得.【詳解】因?yàn)楦咭?、高二、高三年?jí)的學(xué)生人數(shù)之比為，所以從高三年級(jí)抽取的學(xué)生人數(shù)為．故選：D.6. 已知，，則（    ）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性和中間值比較大小【詳解】因?yàn)?/span>，所以故選：A7. 如圖，在平行六面體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若，且，則的長(zhǎng)為（    ）
 A.  B.  C.  D. 【答案】C【解析】【分析】將作為基底，利用空間向量基本定理用基底表示，然后對(duì)其平方化簡(jiǎn)后，再開(kāi)方可求得結(jié)果【詳解】由題意得，，因?yàn)?/span>,所以，所以，故選：C8. 在新冠病毒流行期間，為了讓居民能及時(shí)了解疫情是否被控制，專(zhuān)家組通過(guò)會(huì)商一致認(rèn)為：疫情被控制的指標(biāo)是“連續(xù)7天每天新增感染人數(shù)不超過(guò)5人”，記連續(xù)7天每天記錄的新增感染人數(shù)的數(shù)據(jù)為一個(gè)預(yù)報(bào)簇，根據(jù)最新的連續(xù)四個(gè)預(yù)報(bào)簇①、②、③、④，依次計(jì)算得到結(jié)果如下：①平均數(shù)；②平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差；③平均數(shù)，且極差；④眾數(shù)等于1，且極差．其中符合疫情被控制的預(yù)報(bào)簇個(gè)數(shù)為（    ）A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè)【答案】B【解析】【分析】對(duì)于①、②舉例判斷，對(duì)于③，分別由極差為0，1，2進(jìn)行分析即可，對(duì)于④，由于眾數(shù)為1，極差，從而可判斷出最大值【詳解】解：①錯(cuò)，舉反例：0，0，0，0，2，6，6，其平均數(shù)，不符合指標(biāo)，②錯(cuò)，舉反例：0，3，3，3，3，3，6，其平均數(shù)，且標(biāo)準(zhǔn)差，不符合指標(biāo)，③對(duì)，若極差等于0或1，在的條件下，顯然符合指標(biāo)；若極差等于2且，則每天新增感染人數(shù)的最小值和最大值有下列可能：（1）0，2，（2）1，3，（3）2，4，符合指標(biāo)，④對(duì)，若眾數(shù)等于1且極差小于或等于4，則最大值不超過(guò)5，符合指標(biāo)，故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分．9. 下列四組函數(shù)中，表示同一函數(shù)的是（    ）A. 與 B. 與C. 與 D. 與【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)同一函數(shù)對(duì)應(yīng)法則、定義域都相同，結(jié)合各選項(xiàng)中的函數(shù)解析式判斷是否為同一函數(shù)即可.【詳解】A：與的對(duì)應(yīng)法則、定義域都相同，符合；B：與的對(duì)應(yīng)法則、定義域都相同，符合；C：與的對(duì)應(yīng)法則不同，不符合；D：與的對(duì)應(yīng)法則不同，不符合.故選：AB10. 若，，，則關(guān)于事件A與B的關(guān)系正確是（    ）A. 事件A與B互斥 B. 事件A與B不互斥C. 事件A與B相互獨(dú)立 D. 事件A與B不相互獨(dú)立【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)互斥與獨(dú)立事件的定義判斷即可【詳解】因?yàn)?/span>，所以與能同時(shí)發(fā)生，不是互斥事件，故A錯(cuò)誤，B正確；，所以，又，故成立，故事件A與B相互獨(dú)立，故C正確，D錯(cuò)誤故選：BC11. 下列命題中正確的是（    ）A. 已知平面向量滿(mǎn)足，則B. 已知復(fù)數(shù)z滿(mǎn)足，則C. 已知平面向量，滿(mǎn)足，則D. 已知復(fù)數(shù)，滿(mǎn)足，則【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合選項(xiàng)逐個(gè)驗(yàn)證，向量的模長(zhǎng)運(yùn)算一般利用平方處理，復(fù)數(shù)問(wèn)題一般借助復(fù)數(shù)的運(yùn)算來(lái)進(jìn)行.【詳解】因?yàn)?/span>，所以A正確；設(shè)，則，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以B正確；因?yàn)?/span>，所以，即，所以C正確；因?yàn)?/span>，然而，所以D不正確.故選：ABC.12. 將邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD沿對(duì)角線(xiàn)BD折成二面角A?BD?C，形成四面體A?BCD，如圖所示，點(diǎn)E，F分別為線(xiàn)段BC，AD的中點(diǎn)，則（    ）A. 若二面角A?BD?C為60°，則AC=B. 若二面角A?BD?C為90°，則EF⊥BCC. 若二面角A?BD?C為90°，過(guò)EF且與BD平行的平面截四面體A?BCD所得截面的面積為D. 四面體A?BCD的外接球的體積恒為【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，則可得為二面角的平面角，然后可得為等邊三角形，從而可求出的長(zhǎng)，對(duì)于B，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量判斷，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，可證得過(guò)且與平行的平面截四面體所得的截面為矩形，從而可求出其面積，對(duì)于D，由正方形的性質(zhì)可知,所以可得點(diǎn)為四面體A?BCD的外接球的球心，而半徑為定值，所以可得外接球的體為定值【詳解】對(duì)于A，取的中點(diǎn)，連接，因?yàn)?/span>，所以，所以為二面角的平面角，所以，因?yàn)?/span>，所以為等邊三角形，所以，所以A正確，對(duì)于B，由選項(xiàng)A可知，為二面角的平面角，因?yàn)槎娼?/span>A?BD?C為90°，所以，所以兩兩垂直，所以以為原點(diǎn)，所在的直線(xiàn)分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，則，所以，因?yàn)辄c(diǎn)E，F分別為線(xiàn)段BC，AD的中點(diǎn)，所以,所以，所以，所以與不垂直，即與不垂直，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，取的中點(diǎn)，的中點(diǎn)，連接，因?yàn)辄c(diǎn)E，F分別為線(xiàn)段BC，AD的中點(diǎn)，所以∥，∥，∥，∥，,所以四點(diǎn)共面，因?yàn)?/span>平面，平面,所以∥平面,由選項(xiàng)A可知，因?yàn)?/span>，所以平面，因?yàn)?/span>平面，所以，所以， 所以過(guò)且與平行的平面截四面體所得的截面為矩形，因?yàn)槎娼?/span>A?BD?C為90°，所以,所以因?yàn)?/span>,，所以截面的面積為，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)橛烧叫蔚男再|(zhì)可知，所以可得點(diǎn)為四面體A?BCD的外接球的球心，且球的半徑為，所以四面體A?BCD的外接球的體積恒為，所以D正確，故選：ACD三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13. 若 ，則的最小值為________________．【答案】【解析】【分析】利用基本不等式求得最小值.【詳解】，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.故答案為：14. ________．【答案】##【解析】【分析】先利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再利用差角公式求解.【詳解】.故答案為：15. 已知圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，則該圓錐的表面積為_(kāi)_______．【答案】【解析】【分析】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，則由題意可得，求出，從而可求出側(cè)面積，進(jìn)而可求得其表面積【詳解】設(shè)圓錐的母線(xiàn)長(zhǎng)為，圓錐的底面半徑為1，其側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)圓心角為120°的扇形，所以，解得，所以圓錐的表面積為，故答案為：16. 在△ABC中，角A，B為銳角，若，則的最小值是________．【答案】【解析】【分析】由題意，再根據(jù)兩角和的正弦公式，結(jié)合同角三角函數(shù)的關(guān)系可得，再結(jié)合基本不等式求最值即可【詳解】因?yàn)?/span>，故，即，因?yàn)榻?/span>A，B為銳角，故，由基本不等式，即，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào).故答案為：四、解答題：共70分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．17. 已知向量，，．（1）若與共線(xiàn)，求x的值；（2）記，求函數(shù)的最大值和最小值及對(duì)應(yīng)的x的值．【答案】（1）    （2）時(shí)；時(shí)【解析】【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.（2）現(xiàn)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出，再根據(jù)的單調(diào)性求出最大最小值.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)?/span>.由可得，即.所以.【小問(wèn)2詳解】因，.所以，當(dāng)，即時(shí)，.當(dāng)，即時(shí)，.18. 如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是BC中點(diǎn)，將△AED，△DCF分別沿DE，DF折起，使A，C兩點(diǎn)重合于點(diǎn)A′．（Ⅰ）求證A'D⊥EF；（Ⅱ）求三棱錐A'﹣EFD的體積．【答案】（Ⅰ）證明見(jiàn)解析（Ⅱ）．【解析】【分析】(Ⅰ)取EF中點(diǎn)M,再證明EF⊥平面A′DM即可.(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,再求解與即可.【詳解】（Ⅰ）證明：取EF中點(diǎn)M,連接A′M,DM,顯然,DE＝DF,故DM⊥EF；顯然,A′E＝A′F,則A′M⊥EF,又A′M∩DM＝M,且都在平面A′DM內(nèi),∴EF⊥平面A′DM,∵A′D?平面A′DM,∴A′D⊥EF；（Ⅱ）易知,,,,,∴DM2＝A′M2+A′D2∴,∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了異面直線(xiàn)垂直的證明,同時(shí)也考查了體積求法中的切割求解,需要根據(jù)題意找到合適的底面與高,屬于中等題型.19. 某企業(yè)為了解下屬某部門(mén)對(duì)本企業(yè)職工的服務(wù)情況，隨機(jī)訪(fǎng)問(wèn)50名職工，根據(jù)這50名職工對(duì)該部門(mén)的評(píng)分，繪制頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)分組區(qū)間為[40，50），[50，60），……，[80，90），[90，100]．（1）求頻率分布直方圖中a的值；（2）估計(jì)該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分的50%分位數(shù)（保留一位小數(shù)）；（3）從評(píng)分在的受訪(fǎng)職工中，隨機(jī)抽取2人，求此2人評(píng)分都在的概率．【答案】（1）    （2）76.4    （3）【解析】【分析】(1)根據(jù)頻率分布直方圖的各個(gè)小矩形的面積之和為1求出a；(2)根據(jù)頻率分布直方圖估計(jì)中位數(shù)；(3)根據(jù)頻率分布直方圖求出從評(píng)分在和的人中抽取的人數(shù)，再根據(jù)古典概型計(jì)算概率.【小問(wèn)1詳解】由頻率分布直方圖得：，解得．【小問(wèn)2詳解】評(píng)分在的概率為，評(píng)分在的概率為，該企業(yè)的職工對(duì)該部門(mén)評(píng)分的50%分位數(shù)位于，所以50%分位數(shù)為；【小問(wèn)3詳解】受訪(fǎng)職工中評(píng)分在的有：人，記為，，，受訪(fǎng)職工中評(píng)分在的有：人，記為，，從這5名受訪(fǎng)職工中隨機(jī)抽取2人，所有的可能結(jié)果有10種，分別為：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，此2人評(píng)分都在包含的基本事件有，，，，，，共3個(gè)，從評(píng)分在的受訪(fǎng)職工中，隨機(jī)抽取2人，此2人評(píng)分都在的概率．20. 如圖，在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AC⊥BC，AC=BC=2，CC1=3，點(diǎn)D，E分別在棱AA1和棱CC1上，且AD=1，CE=2．（1）設(shè)F為B1C1中點(diǎn)，求證；A1F∥平面BDE；（2）求直線(xiàn)A1B1與平面BDE所成角的正弦值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析    （2）【解析】【分析】（1）取BE中點(diǎn)G，連接FG、DG，可得四邊形A1DGF為平行四邊形，再由線(xiàn)面平行的判定定理可得答；（2）以為原點(diǎn)，為的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，求出，平面的一個(gè)平面法向量，利用線(xiàn)面角的向量求法可得答案.【小問(wèn)1詳解】取BE中點(diǎn)G，連接FG、DG，則FG//CC1//AA1，，所以FG//A1D且FG=A1D，所以四邊形A1DGF為平行四邊形，所以A1F//DG，又A1F平面BDE，DG平面BDE，所以AF1//平面BDE.【小問(wèn)2詳解】以為原點(diǎn)，為的正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，，，設(shè)平面的一個(gè)平面法向量為，所以，即，令，則，，設(shè)直線(xiàn)的直線(xiàn)與平面BDE所成角的為，所以.21. 濱湖區(qū)擬建 一主題游戲園，該游戲園為四邊形區(qū)域，其中三角形區(qū)域為主題活動(dòng)區(qū)，其中；、為游客通道(不考慮寬度), 且，通道、圍成三角形區(qū)域為游客休閑中心，供游客休憩.（1）求的長(zhǎng)度；（2）記游客通道與 的長(zhǎng)度和為，求的最大值.【答案】（1）；（2）．【解析】【詳解】試題分析：（1）由正弦定理可知,代入數(shù)據(jù)便可求得長(zhǎng)度；（2）在三角形中，,可假設(shè)，利用正弦定理可求得,從而將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的三角函數(shù)，再利用三角恒等變換及函數(shù)的最值求得的最大值.試題解析：（1）由已知由正弦定理，得 得.（2）在中，設(shè)，由正弦定理，，.因，當(dāng)時(shí)， 取到最大值.考點(diǎn)：正弦定理，三角恒等變換，函數(shù)的最值.【方法點(diǎn)睛】本題主要考查正弦定理的運(yùn)用及利用三角恒等變換求最值．在三角形中，當(dāng)已知兩角及其一角的對(duì)邊時(shí)，經(jīng)常利用正弦定理來(lái)求得另一邊，而對(duì)于三角形中兩邊和（周長(zhǎng)）的取值范圍，可利用正弦定理將和（周長(zhǎng)）轉(zhuǎn)化為某一個(gè)內(nèi)角的三角函數(shù)，經(jīng)過(guò)三角恒等變換，然后結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性求得最值．22. 己知函數(shù)，．（1）求的最小值；（2）若在上有零點(diǎn)，求a的取值范圍，并求所有零點(diǎn)之和．【答案】（1）（a）    （2），所有零點(diǎn)之和為【解析】【分析】（1）由函數(shù)，根據(jù)，，得到，，分，，，討論求解；由，根據(jù)，得到，令，，得到，利用勾函數(shù)的性質(zhì)求解.小問(wèn)1詳解】解：函數(shù)，，，，，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則時(shí)，取得最小值（a）；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則時(shí)，取得最小值（a）；當(dāng)時(shí)，即時(shí)，則時(shí)，取得最小值（a）．綜上可得，（a）．【小問(wèn)2詳解】，，，，由，可得，當(dāng)時(shí)，此等式不成立．故有，，令，，則，令，則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)得：函數(shù)在上單調(diào)遞減，故當(dāng)m=1，即時(shí)，；當(dāng)m趨于0，即趨于1時(shí)，趨于正無(wú)窮大，所以，所有零點(diǎn)之和為．

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