?新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．
滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共8小題，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. 甲、乙兩人各射擊一次，是否命中目標(biāo)互不影響，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率分別為，則至少有一人命中目標(biāo)的概率（ ）
A. B. C. D.
3. 現(xiàn)有個(gè)數(shù)，其平均數(shù)是，且這個(gè)數(shù)的平方和是，那么這組數(shù)的方差是（ ）
A. B. C. D.
4. 已知，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C 若，，則
D. 若，異面直線，，，且，則
5. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
6. 某指揮中心接到在其北偏東相距海里的甲船拋錨等待救援信號(hào)，指揮中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小時(shí)，則乙船需要航行（ ）小時(shí)
A. B. C. D.
7. 如圖所示，在平行四邊形中，記，，若，于點(diǎn)，則（ ）

A. B. C. D.
8. 某人用下述方法證明了正弦定理：直線與銳角的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，，，記與方向相同的單位向量為，，∴，進(jìn)而得，即：，即：，鈍角三角形及直角三角形也滿(mǎn)足．請(qǐng)用上述方法探究：如圖所示，直線與銳角的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，，，則與的邊和角之間的等量關(guān)系為（ ）

A.
B.
C.
D
二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共4小題，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅球、黑球各2個(gè)，一次任意取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅球”互斥而不對(duì)立的事件有（ ）
A. 2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球 B. 2個(gè)小球不全為黑球
C. 2個(gè)小球至少有1個(gè)黑球 D. 2個(gè)小球都為黑球
10. 已知向量，，，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則 B. 存在，使得
C. 向量是與共線的單位向量 D. 在上的投影向量為
11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為
B. 直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
C. 若，則的最小值為
D. 方程在區(qū)間上只有一個(gè)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為
12. 如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線平面
B. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與所成的角為
C. 若是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則平面平面
D. 當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角的最大值為
第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
三、填空題（每小題5分，共4小題，共20分．）
13. 設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為_(kāi)__________.
14. 北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉樣物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20個(gè)北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽中，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為_(kāi)_________．
15. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的值為_(kāi)_____
16. 一種獎(jiǎng)杯是由一個(gè)水晶球和一個(gè)托盤(pán)組成，如圖①所示，托盤(pán)由邊長(zhǎng)為的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②所示，球心到托盤(pán)底面的距離為，則球的體積為_(kāi)_________．

四、解答題（共6小題，共70分.17題10分，18-22每小題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知向量，滿(mǎn)足，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求．



18. 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面積．





9. 正三棱柱中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

（1）求證：面；
（2）求三棱錐的體積．



20. 某校為了提高學(xué)生安全意識(shí)，利用自習(xí)課時(shí)間開(kāi)展“防溺水”安全知識(shí)競(jìng)賽（滿(mǎn)分150分），加強(qiáng)對(duì)學(xué)生安全教育，通過(guò)知識(shí)競(jìng)賽的形式，不僅幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)自己對(duì)“防溺水”知識(shí)認(rèn)知的不足之處，還教會(huì)了同學(xué)們溺水自救的方法，提高了應(yīng)急脫險(xiǎn)能力．現(xiàn)抽取了甲組20名同學(xué)的成績(jī)記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙組20名同學(xué)的成績(jī)，將成績(jī)分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五組，并畫(huà)出了其頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲組20名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和第80百分位數(shù)；
（2）估計(jì)乙組20名同學(xué)成績(jī)的平均分（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表替）；
（3）現(xiàn)從甲乙兩組同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意取出2個(gè)人的成績(jī)，求取出的2個(gè)人的成績(jī)不在同一組的概率．






21. 如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)恰好是菱形對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)棱中點(diǎn)，若，，．

（1）求證：平面⊥平面；
（2）點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的正弦值．






22. 為提升城市旅游景觀面貌，城建部門(mén)擬對(duì)一公園進(jìn)行改造，已知原公園是直徑為百米的半圓，出入口在圓心處，點(diǎn)為一居民小區(qū)，距離為2百米，按照設(shè)計(jì)要求，取圓弧上一點(diǎn)A，并以線段為一邊向圓外作等邊三角形，使改造之后的公園成四邊形，并將區(qū)域建成免費(fèi)開(kāi)放的植物園，如圖所示．設(shè)．

（1）當(dāng)，求四邊形的面積；
（2）當(dāng)何值時(shí)，線段最長(zhǎng)并求最長(zhǎng)值.






新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分．
滿(mǎn)分150分，考試時(shí)間120分鐘．
第Ⅰ卷（選擇題共60分）
一、單項(xiàng)選擇題（每小題5分，共8小題，共40分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求）
1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】【分析】化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，再由復(fù)數(shù)幾何意義即可得出答案.
詳解】，在復(fù)平面中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限.
故選：A.
2. 甲、乙兩人各射擊一次，是否命中目標(biāo)互不影響，已知甲、乙兩人命中目標(biāo)的概率分別為，則至少有一人命中目標(biāo)的概率（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】先求出甲、乙兩人各射擊一次，一人都未命中目標(biāo)的概率，再由對(duì)立事件即可求出至少有一人命中目標(biāo)的概率.
【詳解】甲、乙兩人各射擊一次，一人都未命中目標(biāo)的概率為: ，
至少有一人命中目標(biāo)的概率：.
故選：B.
3. 現(xiàn)有個(gè)數(shù)，其平均數(shù)是，且這個(gè)數(shù)的平方和是，那么這組數(shù)的方差是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)方差公式直接化簡(jiǎn)計(jì)算可得.
【詳解】設(shè)這5個(gè)數(shù)為，則，，
則這組數(shù)的方差是
.
故選：C.
4. 已知，，是不重合的直線，，是不重合的平面，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，，則
B. 若，，則
C. 若，，則
D. 若，是異面直線，，，且，則
【答案】D
【解析】【分析】根據(jù)空間中線面、面面位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理判斷即可；
【詳解】解：對(duì)于A，若，，則或或與相交，故A錯(cuò)誤；
對(duì)于B，若，，則或與相交，故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，若，，則或，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，若，是異面直線，，，，且，
則由線面垂直的判定定理得，故D正確．
故選：D．
5. 已知圓錐的母線長(zhǎng)為2，母線與底面所成的角為，則該圓錐的側(cè)面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由給定條件列出關(guān)于圓錐底面圓半徑r，圓錐母線l的關(guān)系式，進(jìn)而求出圓錐的側(cè)面積.
【詳解】設(shè)圓錐的底面圓半徑為r，圓錐母線為l，
由圓錐的結(jié)構(gòu)特征知：，即l=2r，所以，圓錐側(cè)面積.
故選：A
6. 某指揮中心接到在其北偏東相距海里的甲船拋錨等待救援信號(hào)，指揮中心迅速通知在西偏北相距海里的乙船前去救援，若乙船的速度是海里/小時(shí)，則乙船需要航行（ ）小時(shí)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】利用余弦定理計(jì)算出甲乙兩船的距離即可求出.
【詳解】如圖，設(shè)甲在處，乙在處，由題可得，
在中，由余弦定理得，所以，
所以乙船需要航行小時(shí)故選：C.

7. 如圖所示，在平行四邊形中，記，，若，于點(diǎn)，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】根據(jù)兩個(gè)三角形相似對(duì)應(yīng)邊成比例，得到與的比，再利用平面向量的線性運(yùn)算與表示，即可求出要求的向量.
【詳解】因?yàn)?，所以?br /> 在中，，則，則，
所以，
故選：B.








8. 某人用下述方法證明了正弦定理：直線與銳角的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，，，記與方向相同的單位向量為，，∴，進(jìn)而得，即：，即：，鈍角三角形及直角三角形也滿(mǎn)足．請(qǐng)用上述方法探究：如圖所示，直線與銳角的邊，分別相交于點(diǎn)，，設(shè)，，，，則與的邊和角之間的等量關(guān)系為（ ）

A.
B.
C.
D.
【答案】D
【解析】【分析】根據(jù)向量的加法法則及向量的數(shù)量積的運(yùn)算，結(jié)合誘導(dǎo)公式即可求解.
【詳解】∵，∴，進(jìn)而得，
即，即
，即．
故選：D.
二、多項(xiàng)選擇題（每小題5分，共4小題，共20分．在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全對(duì)得5分，部分選對(duì)得2分，有選錯(cuò)的得0分）
9. 一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅球、黑球各2個(gè)，一次任意取出2個(gè)小球，則與事件“2個(gè)小球都為紅球”互斥而不對(duì)立的事件有（ ）
A. 2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球 B. 2個(gè)小球不全為黑球
C. 2個(gè)小球至少有1個(gè)黑球 D. 2個(gè)小球都為黑球
【答案】AD
【解析】【分析】根據(jù)互斥與對(duì)立的事件的定義即可得出答案.
【詳解】一個(gè)口袋內(nèi)裝有大小、形狀相同的紅球、黑球各2個(gè)，一次任意取出2個(gè)小球，這2個(gè)球可能為：2個(gè)紅球，2個(gè)黑球，1個(gè)紅球1個(gè)黑球共3種情況，
與事件“2個(gè)小球都為紅球”互斥而不對(duì)立的事件：2個(gè)小球恰有1個(gè)紅球或2個(gè)小球都為黑球.
故選：AD.
10. 已知向量，，，則下列命題正確的是（ ）
A. 若，則 B. 存在，使得
C. 向量是與共線的單位向量 D. 在上的投影向量為
【答案】BCD
【解析】【分析】根據(jù)向量關(guān)系依次計(jì)算判斷即可.
【詳解】對(duì)A，若，則，則，故A錯(cuò)誤；
對(duì)B，要使，則，則，因?yàn)?，所以，故存在，使得，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)?，所以，又，所以向量是與共線的單位向量，故C正確；
對(duì)D，因?yàn)闉閱挝幌蛄浚瑒t在上的投影向量為，故D正確.
故選：BCD.
11. 函數(shù)的部分圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）

A. 函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱(chēng)中心為
B. 直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸
C. 若，則的最小值為
D. 方程在區(qū)間上只有一個(gè)根時(shí)，實(shí)數(shù)的取值范圍為
【答案】BC
【解析】【分析】先根據(jù)函數(shù)圖象求出函數(shù)解析式，然后逐個(gè)分析判斷即可
【詳解】由函數(shù)圖象可得，所以，所以，得，
所以，因?yàn)辄c(diǎn)在函數(shù)圖象上，
所以，得，所以，
因?yàn)?，所以，所以?br /> 對(duì)于A，因?yàn)?，所以不是函?shù)的對(duì)稱(chēng)中心，所以A錯(cuò)誤，
對(duì)于B，因?yàn)椋灾本€是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱(chēng)軸，所以B正確，
對(duì)于C，因?yàn)?，所以的最小值為，所以C正確，
對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)榉匠淘趨^(qū)間上只有一個(gè)根，所以由圖可知或，即實(shí)數(shù)的取值范圍為，所以D錯(cuò)誤，

故選：BC



12. 如圖，在邊長(zhǎng)為的正方體中，點(diǎn)，分別是棱，的中點(diǎn)，是棱上的動(dòng)點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）

A. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線平面
B. 當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與所成的角為
C. 若是棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則平面平面
D. 當(dāng)在上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線與平面所成的角的最大值為
【答案】ACD
【解析】【分析】以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量關(guān)系依次求解每個(gè)選項(xiàng)即可判斷.
【詳解】如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，，
所以,
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令，則可得，
因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)槠矫?，所以平面，故A正確；
因?yàn)椋?br /> 所以當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，直線與所成的角為，故B錯(cuò)誤；
若，則，又,
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令，可得，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即，令，可得，
因?yàn)椋云矫嫫矫?，故C正確；
因?yàn)椋椎闷矫娴囊粋€(gè)法向量為，
設(shè)直線與平面所成的角為，
則，
則當(dāng)時(shí)，取得最大值為，所以直線與平面所成的角的最大值為，故D正確.
故選：ACD.

第Ⅱ卷（非選擇題共90分）
三、填空題（每小題5分，共4小題，共20分．）
13. 設(shè)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則復(fù)數(shù)的模為_(kāi)__________.
【答案】
【解析】【分析】根據(jù)純虛數(shù)的概念列方程組求m值，進(jìn)而寫(xiě)出，即可求模.
【詳解】由題設(shè)，，解得，所以，故的模為.
故答案為：
14. 北京2022年冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會(huì)吉樣物“雪容融”很受歡迎，現(xiàn)工廠決定從40只“冰墩墩”，30只“雪容融”和20個(gè)北京2022年冬奧會(huì)會(huì)徽中，采用比例分配分層隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個(gè)容量為n的樣本進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)，若“冰墩墩”抽取了4只，則n為_(kāi)_________．
【答案】9
【解析】【分析】利用分層抽樣中的比例列出方程，即可求出答案.
【詳解】，解得：.故答案為：
15. 在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，且，則的值為_(kāi)_____
【答案】
【解析】【分析】由題意結(jié)合正弦定理、余弦定理可轉(zhuǎn)化條件為、，求得后代入運(yùn)算即可得解.
【詳解】，，
，由可得，
又，，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理與余弦定理的綜合應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力與轉(zhuǎn)化化歸思想，熟記公式，合理運(yùn)用是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.
16. 一種獎(jiǎng)杯是由一個(gè)水晶球和一個(gè)托盤(pán)組成，如圖①所示，托盤(pán)由邊長(zhǎng)為的等邊三角形銅片沿各邊中點(diǎn)的連線垂直向上折疊而成，如圖②所示，球心到托盤(pán)底面的距離為，則球的體積為_(kāi)_________．

【答案】
【解析】【分析】取中點(diǎn)，連接，可得平面到平面的距離為，即可在球內(nèi)建立勾股關(guān)系，求出半徑即可得出體積.
【詳解】如圖，取中點(diǎn)，連接,
因?yàn)槭沁呴L(zhǎng)為2等邊三角形，所以，
因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，所以平?
同理平面，平面，且，
所以是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，且平面到平面的距離為，
設(shè)的外接圓圓心為，半徑為
因?yàn)榍蛐牡酵斜P(pán)底面的距離為，所以，
因?yàn)?，所以，則球的半徑為，
所以球的體積為.故答案為：.

四、解答題（共6小題，共70分.17題10分，18-22每小題12分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）
17. 已知向量，滿(mǎn)足，，．
（1）求向量與的夾角；
（2）求．
【答案】（1） （2）2
【解析】【分析】（1）設(shè)向量與的夾角為，由題目條件求出，再由向量的夾角公式即可求出答案.
（2）由，代入即可得出答案.
【小問(wèn)1詳解】設(shè)向量與的夾角為，∵，∴，
又∵，∴，∴，∴．
，∵，∴．
【小問(wèn)2詳解】由（1）知，，又，，
∴．
18. 將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，縱坐標(biāo)不變，再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象．
（1）求函數(shù)的解析式及最小正周期；
（2）在中，若，，，求的面積．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）根據(jù)三角函數(shù)圖象伸縮變化和平移規(guī)律可得的解析式，再利用周期公式計(jì)算可得周期；
（2）根據(jù)求得，由余弦定理可得，再利用計(jì)算可得答案．
【小問(wèn)1詳解】將函數(shù)的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來(lái)的倍，
縱坐標(biāo)不變，得函數(shù)，
再向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得，∴．
【小問(wèn)2詳解】∵，∴，∵，則，
∴，∴，由余弦定理可得：，
即，∴，
∴．
19. 正三棱柱中，，，點(diǎn)分別為的中點(diǎn)．

（1）求證：面；
（2）求三棱錐的體積．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）
【解析】【分析】（1）取中點(diǎn)，可證得四邊形為平行四邊形，得到，利用線面平行的判定可證得結(jié)論；
（2）取中點(diǎn)，可證得平面，利用體積橋，結(jié)合棱錐體積公式可求得結(jié)果
【小問(wèn)1詳解】取中點(diǎn)，連接，

分別為中點(diǎn)，且，
為中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，且，
且，四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，平面.
【小問(wèn)2詳解】取中點(diǎn)，連接，

三棱柱為正三棱柱，為正三角形，平面，
，，又，平面，
平面，
，，
.
20. 某校為了提高學(xué)生安全意識(shí)，利用自習(xí)課時(shí)間開(kāi)展“防溺水”安全知識(shí)競(jìng)賽（滿(mǎn)分150分），加強(qiáng)對(duì)學(xué)生的安全教育，通過(guò)知識(shí)競(jìng)賽的形式，不僅幫助同學(xué)們發(fā)現(xiàn)自己對(duì)“防溺水”知識(shí)認(rèn)知的不足之處，還教會(huì)了同學(xué)們溺水自救的方法，提高了應(yīng)急脫險(xiǎn)能力．現(xiàn)抽取了甲組20名同學(xué)的成績(jī)記錄如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙組20名同學(xué)的成績(jī)，將成績(jī)分成[100，110），[110，120），[120，130），[130，140），[140，150]五組，并畫(huà)出了其頻率分布直方圖．

（1）根據(jù)以上記錄數(shù)據(jù)求甲組20名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)和第80百分位數(shù)；
（2）估計(jì)乙組20名同學(xué)成績(jī)的平均分（同組中的每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代表替）；
（3）現(xiàn)從甲乙兩組同學(xué)的不低于140分的成績(jī)中任意取出2個(gè)人的成績(jī)，求取出的2個(gè)人的成績(jī)不在同一組的概率．
【答案】（1）中位數(shù)是，第80百分位數(shù)為 （2） （3）
【解析】【分析】（1）利用中位數(shù)與第百分位數(shù)的定義即可求解；
（2）利用在頻率分布直方圖中，平均數(shù)的估計(jì)值等于頻率分布直方圖中每個(gè)小矩形的面積乘以小矩形底邊中點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和即可求解；
（3）利用列舉法寫(xiě)出基本事件的個(gè)數(shù)，結(jié)合古典概型的計(jì)算公式即可求解.
【小問(wèn)1詳解】
由題意可知，甲組20名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)是，
∵，∴甲組20名同學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)為．
所以甲組20名同學(xué)成績(jī)的中位數(shù)為119, 甲組20名同學(xué)成績(jī)的第80百分位數(shù)為133.
【小問(wèn)2詳解】
由頻率分布直方圖可知：乙組20名同學(xué)成績(jī)的平均數(shù)分為：
．
【小問(wèn)3詳解】
甲組20名同學(xué)的成績(jī)不低于140（分）的有2個(gè)，記作、；乙組20名同學(xué)的成績(jī)不低于140（分）的有個(gè)，記作、、．
記事件為“取出的2個(gè)成績(jī)不是同一組”，任意選出2個(gè)成績(jī)的所有樣本點(diǎn)為：，，，，，，，，，，共10個(gè)，其中兩個(gè)成績(jī)不是同一組的樣本點(diǎn)是：，，，，，，共6個(gè)，
∴．
所以取出的2個(gè)人的成績(jī)不在同一組的概率為.
21. 如圖所示，四棱錐中，底面為菱形，點(diǎn)在底面的投影點(diǎn)恰好是菱形對(duì)角線交點(diǎn)，點(diǎn)為側(cè)棱中點(diǎn)，若，，．

（1）求證：平面⊥平面；
（2）點(diǎn)在線段上，且，求二面角的平面角的正弦值．

【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2）
【解析】【分析】（1）通過(guò)證明可得，同理可得，即可證明平面，得出答案；
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，利用向量關(guān)系即可求出.
【小問(wèn)1詳解】由題，平面，所以，
因?yàn)榈酌鏋榱庑?，，，所以?br /> 在中，，，∴，
因此，是中點(diǎn)，可得：，
同理：，∵，∴平面，
又因?yàn)槠矫?，所以平面平面?br /> 【小問(wèn)2詳解】以，，分別為，，軸建系，
則，，，，，，
設(shè)平面的法向量為，則，即，
可取，設(shè)平面的法向量為，
則，即，可取，
所以，
設(shè)二面角的平面角為，∴．


22. 為提升城市旅游景觀面貌，城建部門(mén)擬對(duì)一公園進(jìn)行改造，已知原公園是直徑為百米的半圓，出入口在圓心處，點(diǎn)為一居民小區(qū)，距離為2百米，按照設(shè)計(jì)要求，取圓弧上一點(diǎn)A，并以線段為一邊向圓外作等邊三角形，使改造之后的公園成四邊形，并將區(qū)域建成免費(fèi)開(kāi)放的植物園，如圖所示．設(shè)．

（1）當(dāng)，求四邊形的面積；
（2）當(dāng)為何值時(shí)，線段最長(zhǎng)并求最長(zhǎng)值
【答案】（1）平方百米 （2）當(dāng)時(shí)，的最大值為3百米
【解析】【分析】（1）在中，由余弦定理得，再由面積公式得四邊形的面積，計(jì)算即可求解；
（2）由余弦定理計(jì)算得到，再由正弦定理得到，根據(jù)同角的平方關(guān)系得到，再由兩角和的余弦公式求得，最后在中利用余弦定理得到，結(jié)合三角恒等變換得到關(guān)于的式子，利用正弦三角函數(shù)的圖像及性質(zhì)求的最值.
【小問(wèn)1詳解】由題意得，百米，百米，，
所以在中，由余弦定理得
百米，
于是四邊形的面積為
平方百米．
【小問(wèn)2詳解】在中，由余弦定理得：
，∴百米，
在中，由正弦定理得，即，
又，所以為銳角，∴，
∴
，
在中，由余弦定理得：

．
∵，∴當(dāng)時(shí)，的最大值為3百米．



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