?新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
測試時間：120分鐘 總分：150
第I卷
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（ ）
A B. 1 C. D.
2. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則（ ）
A. B. C. D.
3. 如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為棱和上的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（ ）
A. B. C. D.
4. 已知中，，且，點(diǎn)，是邊的兩個三等分點(diǎn)，則（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5. 在正方體中，為棱上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).給出下列四個

①；
②直線與平面所成角不變；
③點(diǎn)到直線的距離不變；
④點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等.
其中，所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A. ②③ B. ③④ C. ①③④ D. ①②④

6. 某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為

A. ； B.
C. D.
7. 如圖，在正方體中，、、、、、是各條棱的中點(diǎn).

①直線平面；②；③、、、四點(diǎn)共面；④平面.其中正確的個數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
8. 正四面體是一種柏拉圖多面體，正四面體與自身對偶；正四面體的重心，四條高的交點(diǎn)，外接球、內(nèi)切球球心共點(diǎn)．4個半徑為1的小球裝入一個正四面體內(nèi)，下列四個結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. 四面體最小體積
B 四面體最小表面積
C. 四面體最短棱長
D. 四面體最小高




二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. （多選題）已知，則下列式子成立的是（ ）
A. B.
C. D.
10. 下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（ ）
A B.
C. D.
11. 正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與直線夾角
B. 直線與平面平行
C. 平面截正方體所得的截面面積為
D. 點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等
12. 正方體棱長為，若是空間異于的一個動點(diǎn)，且，則下列正確的是（ ）

A. 平面
B. 存在唯一一點(diǎn)，使
C. 存在無數(shù)個點(diǎn)，使
D. 若，則點(diǎn)到直線的最短距離為
第II卷
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.
13. 若向量滿足，則_________.
14. 已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則面積的取值范圍是___________.
15. 如圖，是在斜二測畫法下直觀圖，其中，且，則的面積為___________.

16. 如圖，在四面體中，，，?分別是?的中點(diǎn).若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則下面的說法中正確的有___________.

①，
②四面體外接球的表面積為.
③異面直線與所成角的正弦值為
④多邊形截面面積的最大值為.
四?解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步
17. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）對于任意都有恒成立，求的取值范圍.






18. 如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）若面積為，求點(diǎn)到面的距離．





19. 中，是角所對的邊，.
（1）求的大小；
（2）若的面積為，求的值.















20. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．

（1）求A；
（2）如圖，已知，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，求的面積．





21. 如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).

（1）證明：平面：
（2）若為中點(diǎn)，且，求平面將四棱錐分成兩部分的體積比.












22. 在四棱錐中，底面平分為的中點(diǎn)，分別為上一點(diǎn)，且.

（1）求的值，使得平面；
（2）過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，求四棱錐的體積.















新教材高一數(shù)學(xué)第二學(xué)期期末試卷
測試時間：120分鐘 總分：150
第I卷
一?單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.
1. 若復(fù)數(shù)滿足為虛數(shù)單位，則（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】A
【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求，再由復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算求.
【詳解】由題設(shè)，，且，所以.
故選：A
2. 已知函數(shù)的部分圖象如圖所示，且，則（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】【分析】由正切函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合函數(shù)圖象的特征可得函數(shù)的解析式，即可得解.
【詳解】由圖象可知，函數(shù)的最小正周期為，
所以，，
由得，所以，
則，
又，所以，所以，
故，從而.
故選:A．
3. 如圖，在正方體中，點(diǎn)分別為棱和上的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小為（ ）

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】【分析】連接、，即可得到，從而即為異面直線與所成角，再根據(jù)正方體的性質(zhì)看得到為等邊三角形，即可得解；
【詳解】解：如圖連接、，因?yàn)辄c(diǎn)、分別為棱和上的中點(diǎn)，
所以，所以即為異面直線與所成角，
在正方體中為等邊三角形，所以，即異面直線與所成角為；

故選：B
4. 已知中，，且，點(diǎn)，是邊的兩個三等分點(diǎn)，則（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
【答案】B
【解析】【分析】由知，，根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可推出
，，故，
展開后代入數(shù)據(jù)進(jìn)行運(yùn)算即可.
【詳解】解：∵，∴，
∵點(diǎn)是邊的三等分點(diǎn)，
∴.
同理可得，，
∴.
故選：B.
【點(diǎn)睛】本題考查平面向量數(shù)量積運(yùn)算、模的運(yùn)算、平面向量基本定理，考查轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力，求解時注意基底的選擇.
5. 在正方體中，為棱上的動點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).給出下列四個

①；
②直線與平面所成角不變；
③點(diǎn)到直線的距離不變；
④點(diǎn)到四點(diǎn)的距離相等.
其中，所有正確結(jié)論的序號為（ ）
A. ②③ B. ③④
C. ①③④ D. ①②④
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)的變化情況并找出的軌跡就可判定①③④是否正確，作出直線與平面所成的角，就可判定②是否正確.
【詳解】如下圖，當(dāng)在棱上運(yùn)動時，始終在平面中，由，可得，所以，故①正確，
此時點(diǎn)的軌跡為線段，如下圖可知，，過正方形中心且，故③④正確，
如下圖，延長與的延長線交于，連接，則即為直線與平面所成角，
當(dāng)點(diǎn)在上運(yùn)動時，不變而在變，所以不是定值，
故②錯誤.
故選：C.

【點(diǎn)睛】(1)判定和動點(diǎn)相關(guān)的問題時，只要找出動點(diǎn)的軌跡，就可以根據(jù)軌跡的特點(diǎn)進(jìn)行判斷；
(2)判定與動直線相關(guān)的位置關(guān)系問題時，可找出動直線所在的平面進(jìn)行判定；
(3)根據(jù)定義作出線面角可用來解決運(yùn)動型的問題.
6. 某班設(shè)計了一個八邊形的班徽（如圖），它由腰長為1，頂角為的四個等腰三角形，及其底邊構(gòu)成的正方形所組成，該八邊形的面積為

A. ； B.
C. D.
【答案】A
【解析】【詳解】試題分析：利用余弦定理求出正方形面積；利用三角形知識得出四個等腰三角形面積；故八邊形面積.故本題正確答案為A.
考點(diǎn)：余弦定理和三角形面積的求解.
【方法點(diǎn)晴】本題是一道關(guān)于三角函數(shù)在幾何中的應(yīng)用的題目，掌握正余弦定理是解題的關(guān)鍵；首先根據(jù)三角形面積公式求出個三角形的面積；接下來利用余弦定理可求出正方形的邊長的平方，進(jìn)而得到正方形的面積，最后得到答案.
7. 如圖，在正方體中，、、、、、是各條棱的中點(diǎn).

①直線平面；②；③、、、四點(diǎn)共面；④平面.其中正確的個數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】【分析】利用面面平行的性質(zhì)定理可判斷①的正誤；假設(shè)，結(jié)合線面垂直的判定定理可判斷②的正誤；證明出，可判斷③的正誤；利用線面垂直的判定定理可判斷④的正誤.綜合可得出結(jié)論.
【詳解】對于①，由于四邊形為正方形，則且，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
所以，四邊形為平行四邊形，則，
平面，平面，平面，
同理可證平面，因?yàn)?，所以，平面平面?br /> 平面，平面，①正確；
對于②，假設(shè)，平面，平面，，
，平面，
又平面，所以，與矛盾，故②錯誤；
對于③，因?yàn)?、分別為、的中點(diǎn)，則，
在正方體中，且，
、分別為、的中點(diǎn)，則且，
四邊形為平行四邊形，則，，
所以，、、、四點(diǎn)共面，③正確；
對于④，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，則，
平面，，
，平面，
平面，，
同理可證，，因此，平面，故④正確.
所有正確的是①③④.

故選：C.
【點(diǎn)睛】本題考查線面平行、線面垂直、線線垂直以及四點(diǎn)共面的判斷，考查推理能力，屬于中等題.
8. 正四面體是一種柏拉圖多面體，正四面體與自身對偶；正四面體的重心，四條高的交點(diǎn)，外接球、內(nèi)切球球心共點(diǎn)．4個半徑為1的小球裝入一個正四面體內(nèi)，下列四個結(jié)論中錯誤的是（ ）
A. 四面體最小體積
B. 四面體最小表面積
C. 四面體最短棱長
D. 四面體最小高
【答案】A
【解析】【分析】當(dāng)四球與正四面體內(nèi)切，且四球兩兩相切時相關(guān)量最小，在此狀態(tài)下，內(nèi)切球球心構(gòu)成正四面體，棱長為2，求出小正四面體與大正四面體的相似比得解.
【詳解】由題可知，正四面體體積、表面積、棱長、高達(dá)到最小時， 四個球兩兩相切且與正四面體都相切，設(shè)此時正四面體為，內(nèi)切四球球心構(gòu)成棱長為2的正四面體.

正四面體中，高為，為中點(diǎn)，，
為直線與面所成角，，
正四面體的表面積為；
正四面體的體積為

球與正四面體內(nèi)切，切點(diǎn)，，
因?yàn)?，所以，所以正四面體的高為：，
兩個正四面體的相似比為：，所以正四面體的最小體積為：，A錯；
正四面體的最小表面積為：，B正確；
正四面體的最小棱長為：，C正確；正四面體的最小高為：.
故選;A.

二?多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.
9. （多選題）已知，則下列式子成立的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】CD
【解析】【分析】對原式進(jìn)行切化弦，整理可得：，
結(jié)合因式分解代數(shù)式變形可得選項(xiàng).
【詳解】∵， ，
整理得，
∴，
即，
即，∴C、D正確.
故選：CD
【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的化簡變形，根據(jù)弦切關(guān)系因式分解，結(jié)合平方關(guān)系變形.
10. 下列選項(xiàng)中，與的值相等的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】【分析】求出的值以及各選項(xiàng)中代數(shù)式的值，由此可得出合適的選項(xiàng).
【詳解】.
對于A選項(xiàng)，；
對于B選項(xiàng)，；
對于C選項(xiàng)，；
對于D選項(xiàng)，，化簡可得.
故選：BC.
11. 正方體的棱長為分別為的中點(diǎn)，則（ ）
A. 直線與直線夾角
B. 直線與平面平行
C. 平面截正方體所得的截面面積為
D. 點(diǎn)和點(diǎn)到平面的距離相等
【答案】ABC
【解析】【分析】A利用平行關(guān)系可得直線與直線夾角為，應(yīng)用余弦定理求角的大??；B、C由平面的基本性質(zhì)找到面截正方體所得的截面，根據(jù)線面平行的判定及梯形的面積公式判斷正誤；D利用正方體的對稱性及線面平行的性質(zhì)判斷和到平面的距離是否相等即可.
【詳解】A：由，則直線與直線夾角為，

而，，，則，
所以，正確；
B：由平面的性質(zhì)可得平面截正方體所得的截面為，而，
由面，面，故面，即面，正確；
C：由B分析知：平面截正方體所得的截面，且分別為兩底邊，
而高為，故面積為，正確；

D：由B分析知：到平面的距離與到平面的距離相等，
由正方體的對稱性，和到平面的距離不相等，它們到面的距離相等，錯誤.
故選：ABC
12. 正方體棱長為，若是空間異于的一個動點(diǎn)，且，則下列正確的是（ ）

A. 平面
B. 存在唯一一點(diǎn)，使
C. 存在無數(shù)個點(diǎn)，使
D. 若，則點(diǎn)到直線的最短距離為
【答案】ACD
【解析】【分析】點(diǎn)為動點(diǎn)，確定點(diǎn)的運(yùn)動軌跡是解題的關(guān)鍵，將條件的異面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，找到的垂面，即可確定點(diǎn)的軌跡，對于A，由面面平行進(jìn)行判斷，對于B，利用反證法和平行的傳遞性進(jìn)行判斷，對于C，將異面垂直轉(zhuǎn)化為線面垂直，找到的垂面進(jìn)行判斷，對于D，由得到點(diǎn)也在球面上，所以點(diǎn)是球面與平面的并線，考查球截面的問題，類比圓的問題進(jìn)行解決
【詳解】解：對于A，因?yàn)槠矫?，所以點(diǎn)在平面上，又因?yàn)槠矫妗纹矫?，所以平面，所以A正確，
對于B，假設(shè)存在點(diǎn)，使得，因?yàn)椤危浴?，這與在平面外矛盾，所以假設(shè)不成立，即點(diǎn)不存在，所以B錯誤，
對于C，如圖，因?yàn)槠矫妫矫嫫矫?，所以?dāng)點(diǎn)在直線上時，恒有，所以C正確，
如圖，若，則點(diǎn)在以為球心，（）為半徑的球面上，設(shè)平面，則點(diǎn)到平面的距離為，所以點(diǎn)到平面的距離為，所以平面被球面截得的圓的半徑為，且圓心為中點(diǎn)，設(shè)為，則在等邊三角形中，到直線的距離為，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，所以D正確，
故選：ACD

第II卷
三?填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.
13. 若向量滿足，則_________.
【答案】
【解析】【分析】根據(jù)題目條件，利用模的平方可以得出答案
【詳解】∵∴∴.
故答案為：.
14. 已知銳角的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則面積的取值范圍是___________.
【答案】
【解析】【分析】根據(jù)已知條件，運(yùn)用余弦定理，可得，再結(jié)合正弦定理，可得，根據(jù)的取值范圍，可得值得取值范圍，即可求解．
【詳解】解：，，，
又由余弦定理，可得，，即，
，，，為銳角三角形，，
由正弦定理，可得，即，，

，
，，，，
面積，，，
故面積的取值范圍是．
故答案為：．
15. 如圖，是在斜二測畫法下的直觀圖，其中，且，則的面積為___________.

【答案】
【解析】【分析】根據(jù)直觀圖與原圖形面積之間的關(guān)系即可求解.
【詳解】解：，且，故，
∴.故 答 案 為：.
16. 如圖，在四面體中，，，?分別是?的中點(diǎn).若用一個與直線垂直，且與四面體的每個面都相交的平面去截該四面體，由此得到一個多邊形截面，則下面的說法中正確的有___________.


①，
②四面體外接球的表面積為.
③異面直線與所成角的正弦值為
④多邊形截面面積最大值為.
【答案】①②④
【解析】【分析】連接，進(jìn)而根據(jù)線面垂直得線線垂直可判斷①；將其補(bǔ)成長方體，轉(zhuǎn)為為求長方體的外接球表面積可判斷②；結(jié)合②建立空間直角坐標(biāo)系，利用坐標(biāo)法求解即可判斷③；根據(jù)題意，證明截面為平行四邊形，且，由可判斷④.
【詳解】解：對于①，連接，因?yàn)椋?分別是?的中點(diǎn)，所以，，因?yàn)椋云矫?平面，所以，，故正確；

對于②，該幾何體可以在如圖2的長方體中截出，設(shè)長方體的長寬高分別為，
則，所以，即長方體的體對角線的長度為，
所以四面體的外接球即為該長方體的外接球，半徑滿足，
所以四面體外接球的表面積為，故正確；

對于③，由②得，如圖3，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,，，故，所以異面直線與所成角的余弦值為，故錯誤；

對于④，如圖4，設(shè)平面與分別交于，
，，則由線面平行的性質(zhì)可得，則,
同理，，所以截面為平行四邊形，可得，
則，
設(shè)異面直線和所成角為，由③的討論可得異面直線和所成角為，
所以，則可得，
當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故正確.

故答案為：①②④
【點(diǎn)睛】本題考查空間幾何體截面問題，內(nèi)接外接球問題，線面垂直，線線垂直等位置關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，直觀想象能力，是難題.本題解題的關(guān)鍵在于將該幾何體放置于長方體中，利用長方體的幾何性質(zhì)求解.
四?解答題：本題共6小題，共計70分.解答時應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步
17. 已知函數(shù).
（1）求的最小正周期；
（2）求的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）對于任意都有恒成立，求的取值范圍.
【答案】（1）；（2）；（3）.
【解析】【分析】（1）將函數(shù)進(jìn)行化簡，根據(jù)三角函數(shù)的周期公式即可求函數(shù)f（x）的最小正周期T；
（2）利用整體代入法求得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）原問題等價于的最大值小于零，根據(jù)在區(qū)間上的最大值列不等式，解不等式求得的取值范圍.
【詳解】（1）因?yàn)?
所以的最小正周期.
（2）由（1）知.
又函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為(Z).
由，，得，.
所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.
（3）因?yàn)?，所?
所以.所以.
當(dāng)，即時，的最大值為，
又因?yàn)閷τ谌我夂愠闪ⅲ?，?
所以的取值范圍是.
【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角恒等變換，考查三角函數(shù)最小正周期、單調(diào)區(qū)間、最值的求法，屬于中檔題.
18. 如圖，四棱錐中，側(cè)面為等邊三角形且垂直于底面，，，為的中點(diǎn)．

（1）證明：；
（2）若面積為，求點(diǎn)到面的距離．
【答案】（1）證明見解析； （2）.
【解析】【分析】(1)由平面平面，根據(jù)面面垂直性質(zhì)定理證明平面，由此證明，(2)根據(jù)錐體體積公式結(jié)合等體積法求點(diǎn)到面的距離．
【小問1詳解】在等邊三角形中，為的中點(diǎn)，所以，
∵ 平面平面，平面面，平面，
∴平面，∵平面，
∴ ；
【小問2詳解】∵面積為， ∴ ，，
∵，，∴
在中，， ，，
所以，，
設(shè)點(diǎn)到面的距離為，則，
∴ ，即點(diǎn)到面的距離為
19. 中，是角所對的邊，.
（1）求的大??；
（2）若的面積為，求的值.
【答案】（1）； （2）.
【解析】【分析】（1）利用正弦定理邊角關(guān)系及余弦定理求得，即可得的大??；
（2）由三角形面積公式可得，再應(yīng)用余弦定理求.
【小問1詳解】由題設(shè)，，故，
又，故.
【小問2詳解】由題設(shè)，故，
所以，故
20. 在中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且．

（1）求A；
（2）如圖，已知，D為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在上，且滿足，求的面積．
【答案】（1）；（2）.
【解析】【分析】（1）先把邊角統(tǒng)一可求出，再由結(jié)合余弦定理與正弦定理的邊角互化，即可得到答案；
（2）由數(shù)量積的定義，余弦定理，再結(jié)合三角形面積公式求解即可
【詳解】解：（1）由，可得，
又，則．因?yàn)?，所以?br /> 由，可得，即，所以．
由正弦定理可得，
則，可得，
則或（舍去），所以．
（2）因?yàn)椋裕?br /> 又因?yàn)?，所以?br /> 因?yàn)椋?br /> 兩式相加可得，解得．
如圖，過點(diǎn)P作，

則．又因?yàn)?，所以?br />





21. 如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為正方形，點(diǎn)為線段上的點(diǎn)，過三點(diǎn)的平面與交于點(diǎn).

（1）證明：平面：
（2）若為中點(diǎn)，且，求平面將四棱錐分成兩部分的體積比.
【答案】（1）證明見解析； （2）.
【解析】【分析】（1）利用線面平行的判定證明平面，再利用線面平行的性質(zhì)、判定推理作答.
（2）利用線面垂直的性質(zhì)、判定證明平面，進(jìn)而證得平面，再應(yīng)用錐體體積公式求、即可得結(jié)果.
【小問1詳解】正方形中，，而平面，平面，
所以平面，又平面，平面平面，
則，而平面，平面，
所以平面.
【小問2詳解】因平面ABCD，平面，則，
又，，平面，則平面，
平面，于是得，，
若，E為PB中點(diǎn)，則，，
而，平面，因此平面，
由（1）知：，則，梯形面積，
所以.
而，故，
所以.




22. 在四棱錐中，底面平分為的中點(diǎn)，分別為上一點(diǎn)，且.

（1）求的值，使得平面；
（2）過點(diǎn)作平面的垂線，垂足為，求四棱錐的體積.
【答案】(1)見解析;(2) .
【解析】詳解】（1）要使得平面，只需找到平面平面，易得和；
（2）過作，垂足為，進(jìn)而證明平面，根據(jù)即可計算體積.
試題分析：試題解析：（1）在中，為直角，
，則，
又平分，所以，
因?yàn)椋杂钟嘞叶ɡ砜傻?，所?
當(dāng)時，，
又，所以平面平面，
因?yàn)槠矫?，所以平?
（2）過作，垂足為，
則，
由得為等腰直角三角形，則也為等腰直角三角形，
因?yàn)榈酌妫?，因?yàn)椋?br /> 所以平面，所以則平面.
過作的垂線，垂足為，則底面，
易得， 因?yàn)樗倪呅蔚拿娣e為，
所以.



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