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A．平行 B．異面C．垂直 D．以上都不對3．若直線l的方向向量為a＝(－1，0，2)，平面α的法向量為n＝(－2，0，4)，則( )A．l∥α B．l⊥αC．l?α D．l與α斜交4．若直線l1的方向向量為u1＝(1，3，2)，直線l2上有兩點A(1，0，1)，B(2，－1，2)，則兩直線的位置關(guān)系是________．5．已知兩平面α，β的法向量分別為u1＝(1，0，1)，u2＝(0，2，0)，則平面α，β的位置關(guān)系為________． 三、新知探究知識點 空間垂直關(guān)系的向量表示空間中的垂直關(guān)系線線垂直線面垂直面面垂直設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，a2，a3)，直線m的方向向量為b＝(b1，b2，b3)，則l⊥m?a⊥b?a·b＝0設(shè)直線l的方向向量為a＝(a1，b1，c1)，平面α的法向量為u＝(a2，b2，c2)，則l⊥α?a∥u?a＝ku，k∈R設(shè)平面α的法向量為u＝(a1，b1，c1)，平面β的法向量為v＝(a2，b2，c2)，則α⊥β?u⊥v?u·v＝0 四、題型突破題型一 證明線線垂直問題例1 如圖，△ABC和△BCD所在平面互相垂直，且AB＝BC＝BD＝2，∠ABC＝∠DBC＝120°，E，F分別為AC，DC的中點．求證：EF⊥BC.
方法總結(jié)證明兩直線垂直的基本步驟：建立空間直角坐標系→寫出點的坐標→求直線的方向向量→證明向量垂直→得到兩直線垂直． 跟蹤訓練 1、如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，垂足為A，AB⊥AD于A，AC⊥CD于C，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中點．求證AE⊥CD.
題型二 證明線面垂直問題例2 如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F分別是BB1，D1B1的中點．求證：EF⊥平面B1AC.
歸納總結(jié)本類型題目用向量法證明的關(guān)鍵步驟是建立空間直角坐標系，用坐標表示向量或用基底表示向量，證法的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘運算． 跟蹤訓練2、如圖所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，O為AC與BD的交點，G為CC1的中點．求證：A1O⊥平面GBD.
題型三 證明面面垂直問題例3 如圖，底面ABCD是正方形，AS⊥平面ABCD，且AS＝AB，E是SC的中點．求證：平面BDE⊥平面ABCD.
方法總結(jié)利用空間向量證明面面垂直通常可以有兩個途徑：一是利用兩個平面垂直的判定定理將面面垂直問題轉(zhuǎn)化為線面垂直進而轉(zhuǎn)化為線線垂直；二是直接求解兩個平面的法向量，證明兩個法向量垂直，從而得到兩個平面垂直． 跟蹤訓練3、在三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AB⊥BC，AB＝BC＝2，AA1＝1，E為BB1的中點，求證：平面AEC1⊥平面AA1C1C. 五、達標檢測1．已知平面α的法向量為a＝(1,2，－2)，平面β的法向量為b＝(－2，－4，k)，若α⊥β，則k等于( )A．5 B．4 C．－4 D．－52．設(shè)直線l1，l2的方向向量分別為a＝(－2,2,1)，b＝(3，－2，m)，若l1⊥l2，則m等于( )A．－2 B．2 C．6 D．103．若平面α，β垂直，則下面可以作為這兩個平面的法向量的是( )A．n1＝(1,2,1)，n2＝(－3,1,1)B．n1＝(1,1,2)，n2＝(－2,1,1)C．n1＝(1,1,1)，n2＝(－1,2,1)D．n1＝(1,2,1)，n2＝(0，－2，－2)4．若直線l的方向向量為a＝(2,0,1)，平面α的法向量為n＝(－4,0，－2)，則直線l與平面α的位置關(guān)系為( )A．l與α斜交 B．l?αC．l∥α D．l⊥α5．已知平面α和平面β的法向量分別為a＝(1,1,2)，b＝(x，－2,3)，且α⊥β，則x＝________.六、本課小結(jié)1.利用空間向量解決立體幾何問題的“三個基本步驟”：(1)建立立體圖形與空間向量的聯(lián)系，用空間向量表示問題中涉及的點、直線、平面，把立體幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題；(2)進行向量運算，研究點、直線、平面之間的關(guān)系(距離和夾角等)；(3)根據(jù)運算結(jié)果的幾何意義來解釋相關(guān)問題．2．證明線面垂直問題，可以利用直線的方向向量和平面的法向量之間的關(guān)系來證明．
易得B(0,0,0)，A(0，－1，)，D(，－1,0)，C(0,2,0)，因而E(0，，)，F(，，0)，所以＝(，0，－)，＝(0,2,0)，因此·＝0.從而⊥，所以EF⊥BC. 跟蹤訓練 1、證明 以A為坐標原點建立空間直角坐標系，
設(shè)PA＝AB＝BC＝1，則A(0,0,0)，P(0,0,1)．∵∠ABC＝60°，∴△ABC為正三角形．∴C(，，0)，E(，，)．設(shè)D(0，y,0)，由AC⊥CD得·＝0，即y＝，則D(0，，0)，∴＝(－，，0)．又＝(，，)，∴·＝－×＋×＝0，∴⊥，即AE⊥CD.例2 證明：方法一 設(shè)正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(2,0,0)，C(0,2,0)，B1(2,2,2)，E(2,2,1)，F(1,1,2)．
∴＝(1,1,2)－(2,2,1)＝(－1，－1，1)．＝(2,2,2)－(2,0,0)＝(0,2,2)，＝(0,2,0)－(2,0,0)＝(－2,2,0)．而·＝(－1，－1,1)·(0,2,2)＝(－1)×0＋(－1)×2＋1×2＝0.·＝(－1，－1,1)·(－2,2,0)＝2－2＋0＝0，∴EF⊥AB1，EF⊥AC.又AB1∩AC＝A，AB1?平面B1AC，AC?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC.方法二 設(shè)＝a，＝c，＝b，則＝＋＝(＋)＝(＋)＝(＋－)＝(－a＋b＋c)，∵ ＝＋＝a＋b.∴·＝(－a＋b＋c)·(a＋b)＝(b2－a2＋c·a＋c·b)＝(|b|2－|a|2＋0＋0)＝0.∴⊥，即EF⊥AB1，同理，EF⊥B1C.又AB1∩B1C＝B1，AB1?平面B1AC，B1C?平面B1AC，∴EF⊥平面B1AC. 跟蹤訓練2、證明：方法一 如圖取D為坐標原點，DA、DC、DD1所在的直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．
設(shè)正方體棱長為2，則O(1,1,0)，A1(2,0,2)，G(0,2,1)，B(2,2,0)，D(0,0,0)，∴＝(1，－1,2)，＝(1,1,0)，＝(－2,0,1)，而·＝1－1＋0＝0，·＝－2＋0＋2＝0.∴⊥，⊥，即OA1⊥OB，OA1⊥BG，而OB∩BG＝B，∴OA1⊥平面GBD.方法二 同方法一建系后，設(shè)面GBD的一個法向量為n＝(x，y，z)，則，∴，令x＝1得z＝2，y＝－1，∴平面GBD的一個法向量為(1，－1,2)，顯然＝(－1,1，－2)＝－n，∴∥n，∴A1O⊥平面GBD. 例3 證明：設(shè)AB＝BC＝CD＝DA＝AS＝1，建立如圖所示的空間直角坐標系Axyz，
則B(1,0,0)，D(0,1,0)，A(0,0,0)，S(0,0,1)，E(，，)，連接AC，設(shè)AC與BD相交于點O，連接OE，則點O的坐標為(，，0)．因為＝(0,0,1)，＝(0,0，)，所以＝，所以∥.又因為AS⊥平面ABCD，所以OE⊥平面ABCD，又OE?平面BDE，所以平面BDE⊥平面ABCD. 跟蹤訓練3、解：由題意知直線AB，BC，B1B兩兩垂直，以點B為原點，分別以BA，BC，BB1所在直線為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標系，
則A(2,0,0)，A1(2,0,1)，C(0,2,0)，C1(0,2,1)，E(0,0，)，故＝(0,0,1)，＝(－2,2,0)，＝(－2,2,1)，＝(－2,0，)．設(shè)平面AA1C1C的法向量為n1＝(x，y，z)，則即令x＝1，得y＝1，故n＝(1,1,0)．設(shè)平面AEC1的法向量為n2＝(a，b，c)，則即令c＝4，得a＝1，b＝－1.故n2＝(1，－1,4)．因為n1·n2＝1×1＋1×(－1)＋0×4＝0，所以n1⊥n2.所以平面AEC1⊥平面AA1C1C. 達標檢測1．答案：D解析 ∵α⊥β，∴a⊥b，∴a·b＝－2－8－2k＝0，∴k＝－5.2．答案：D解析：∵l1⊥l2，∴a·b＝0，∴－2×3－2×2＋m＝0，∴m＝10.3．答案：A解析：∵1×(－3)＋2×1＋1×1＝0，∴n1·n2＝0，故選A.4．答案：D解析：∵a＝(2,0,1)，n＝(－4,0，－2)，∴n＝－2a，∴a∥n，∴l⊥α.5．答案：－4解析：∵α⊥β，∴a·b＝0，∴x－2＋2×3＝0，∴x＝－4.
這是一份【同步導學案】高中數(shù)學人教A版(2019)選修第一冊--1.1.1空間向量及其線性運算 導學案（有答案），共13頁。學案主要包含了本節(jié)目標，本節(jié)重點，本節(jié)難點，課前預習，小試牛刀，典例剖析，隨堂檢測，經(jīng)典例題等內(nèi)容，歡迎下載使用。
這是一份【同步導學案】高中數(shù)學人教A版(2019)選修第一冊-- 2.5.2圓與圓的位置關(guān)系 導學案（有答案），共8頁。學案主要包含了學習目標，學習過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
這是一份【同步導學案】高中數(shù)學人教A版(2019)選修第一冊-- 2.5.1直線與圓的位置關(guān)系 導學案（有答案），共9頁。學案主要包含了學習目標，學習過程等內(nèi)容，歡迎下載使用。
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