1.1.1  空間向量及其線性運算【學習目標】課程標準學科素養(yǎng)1.理解空間向量的概念.(難點)2.掌握空間向量的線性運算.(重點)3.掌握共線向量定理、共面向量定理的應用.(重點、難點)1、邏輯推理2、數(shù)學運算【自主學習】一.空間向量的概念及幾類特殊向量名稱定義空間向量在空間中,具有____________的量叫做空間向量,向量的大小叫做向量的______單位向量長度或模為______的向量零向量______的向量相等向量方向______且模______的向量相反向量______相反且______相等的向量解讀:(1)單位向量方向不確定(2)零向量方向任意,與任何向量都平行;(3)向量不能比較大小,但是向量的模可以比較大??;關于兩個向量的比較,我們僅研究是否相等。二.空間向量的表示空間向量可以用a,b,c表示,也用有向線段表示,有向線段的     表示向量的模,向量a的起點是A,終點是B,則向量a也可記作,其模記為       .三.空間向量的線性運算空間向量的線性運算加法三角形法則:ab     平行四邊形法則:ab     減法ab 數(shù)乘運算λ>0,λaλa的長度為a|λ|a倍)λ(與a同向)λ<0,λaλ(與a反向)λ0,λa0運算律交換律ab       結合律(ab)ca(bc)λ(μ a)       分配律(λμ)aλaμa,λ(ab)          思考:空間兩個向量的加減法與平面內兩個向量的加減法有沒有區(qū)別? 四.共線向量(1)定義:表示空間向量的有向線段所在的直線____________,則這些向量叫做________或平行向量.(2)共線向量定理:對于空間任意兩個向量a,b(b0),ab的充要條件是存在實數(shù)λ使________.五.方向向量 在直線l上取非零向量a,我們把與向量a平行的        成為直線l的方向向量。也就是說直線可以由其一點和它的方向向量確定。六.共面向量定義:平行于________________的向量叫做共面向量.1.證明空間三個向量共面,常用如下方法:(1)設法證明其中一個向量可以表示成另兩個向量的線性組合,即若axbyc,則向量a,b,c共面;(2)尋找平面α,證明這些向量與平面α平行.2.對空間四點P,M,A,B可通過證明下列結論成立來證明四點共面:(1)xy(2)對空間任一點O,xy;(3)對空間任一點Oxyz (xyz1);(4)(,或).【小試牛刀】1.思維辨析(對的打“√”,錯的打“×”)(1)零向量沒有方向.(   )(2)平面內所有的單位向量是相等的.(  )(3)兩個有共同起點且相等的向量,其終點必相同.(  )(4)若表示兩向量的有向線段所在的直線為異面直線,則這兩個向量不是共面向量.(  )(5)A,B,CD是不共線的四點,則是四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件.(  )2.已知空間四邊形ABCD中,ab,c,則等于(  )A.abc   B.abcC.abc D.abc【經(jīng)典例題】 空間向量概念點撥:在空間中,向量、向量的模、相等向量的概念和平面中向量的相關概念完全一致.1 下列命題中正確的個數(shù)是(  )ab共線,bc共線,則ac共線;向量a,b,c共面即它們所在的直線共面;ab,則存在唯一的實數(shù)λ,使aλb.A0    B1    C2    D3【跟蹤訓練】1 如圖,在平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,下列四對向量:;;.其中互為相反向量的有n對,則n等于(  )A4    B3    C2    D1 題型二   空間向量的線性運算點撥:運用法則進行向量的線性運算時注意的關鍵要素(1)向量加法的三角形法則:首尾相接,指向終點;(2)向量減法的三角形法則:起點重合,指向被減向量(3)平行四邊形法則:起點重合; (4)多邊形法則:首尾相接,指向終點2 在如圖所示的平行六面體中,求證:2. 【跟蹤訓練】2 如圖,已知正方體ABCD-ABCD,點E是上底面ABCD的中心,求下列各式中x,y,z的值.(1)xyz;(2)xyz.  題型三 向量的共線及判定3 如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,EA1D1上,且2,F在對角線A1C上,且,求證:EF,B三點共線. 點撥要證E,FB三點共線,只需證明下面結論中的一個成立即可:(1)m;(2)λ(3)n(1n).     【跟蹤訓練】3在空間四邊形ABCD中,E、F分別為ABCD的中點,請判斷是否共線.      題型四  向量共面4如圖,四邊形ABCD,四邊形ADEF均是平行四邊形,M,N分別在對角線BD,AE,BM=AE.求證:向量,,共面.點撥不共線,要證明,,共面,只要證明存在唯一的有序實數(shù)對(x,y),使=即可。  【跟蹤訓練】4已知向量a,b,c不共面,且p3a2bcmabc,nabc,試判斷p,mn是否共面.    【當堂達標】1.(多選)下列說法:其中錯誤的(  )A.若兩個空間向量相等,則表示它們有向線段的起點相同,終點也相同;B.若向量滿足||||,且同向,則C.若兩個非零向量滿足0,則為相反向量;D.的充要條件是AC重合,BD重合.2.向量a,b互為相反向量,已知|b|3,則下列結論正確的是(  )Aab    Bab為實數(shù)0   Cab方向相同    D|a|33.已知正方體ABCDA1B1C1D1中,,若xy(),則(  )Ax1,y     Bxy1     Cx1,y  Dx1,y4.如圖,在長方體ABCDABCD中,AB3,AD2,AA1,則分別以長方體的頂點為起點和終點的向量中:單位向量共有多少個?試寫出模為的所有向量.試寫出與向量相等的所有向量.試寫出向量的所有相反向量.    5.如圖,已知空間四邊形OABC,MN分別是邊OABC的中點,點GMN上,且MG2GN,設a,b,c,試用abc表示向量.    6.已知AB,C三點不共線,對平面ABC外的任一點O,若點M滿足.(1)判斷三個向量是否共面;(2)判斷點M是否在平面ABC.     課堂小結一.概念:1.空間向量的概念及特殊空間向量;2.空間向量的表示;3.空間向量的加、減法運算、數(shù)乘運算;4.共線向量;5.方向向量;6.共面向量。二.證明:1.三點共線;2.四點共面。   【參考答案】【自主學習】一.大小 方向 長度或模 1 長度為0 相同 相等 方向 模二.長度   |a|||三.    ba   (λμ)a  λaλb思考:沒有區(qū)別.四.(1)互相平行或重合 共線向量 (2)  aλb五.非零向量六.同一個平面【小試牛刀】1、×  ×     ×  2、C 解析:=-abc.【經(jīng)典例題】1  A 解析:b0時,則ac不一定共線;中,共面向量的定義是平行于同一平面的向量,表示這些向量的有向線段所在的直線不一定共面;中,當b0,a0λ不存在,故①②③均錯.【跟蹤訓練】1 C 解析:對于,中的兩向量,長度相等,方向相反,均為互為相反向量;對于長度相等,方向不相反;對于長度相等,方向相同.故互為相反向量的有2對.2 證明 平行六面體的六個面均為平行四邊形,()()()2(),,.2.【跟蹤訓練】2解:(1)因為=-,xyz所以x1,y=-1z1.(2)因為(),又xyz,所以xy,z1.3 【證明】 設ab,c.2,,.b()()abc.abc(abc)=-bcaabc,,所以EF,B三點共線.【跟蹤訓練】3 解:連接AC,取AC的中點G,連接EGFG,EF分別為AB、CD的中點..E、FG三點共面,(),即共線.4 證明:由題圖知,=-(+,所以向量,,共面.【跟蹤訓練】4 解:pxmyn,3a2bcx(abc)y(abc)(xy)a(xy)b(xy)c.因為ab,c不共面,所以而此方程組無解,所以p不能用m,n表示,p,m,n不共面.【當堂達標】1.ABD 解析:A錯誤.兩個空間向量相等,其模相等且方向相同,但與起點和終點的位置無關.B錯誤.向量的??梢员容^大小,但向量不能比較大小.C正確.0,得=-,且為非零向量,所以,為相反向量.D錯誤.,知||||,且同向,但AC,BD不一定重合.2.D 解析:向量a,b互為相反向量,則ab模相等、方向相反,故選D.3.D 解析:().所以x1,y4.解 由于長方體的高為1,所以長方體的四條高所對應的向量,,,,,,共8個向量都是單位向量,而其他向量的模均不為1,故單位向量共有8個.由于長方體的左右兩側面的對角線長均為,故模為的向量有,,,,.與向量相等的所有向量(除它自身之外),.向量的相反向量有,,.5.解:()abc.6.解:如圖:(1)由已知,得3,()(),=-.∴向量,,共面.(2)(1)知,向量,,共面,表明三個向量的有向線段又過同一點M,M,A,BC四點共面,M在平面ABC.

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1.1 空間向量及其運算

版本: 人教A版 (2019)

年級: 選擇性必修 第一冊

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