【暑假提升】(人教A版2019)數(shù)學(xué)高一（升高二）暑假-1.1.1《空間向量及其線性運(yùn)算》講學(xué)案（必修1）-學(xué)案下載-教習(xí)網(wǎng)

1．1.1 空間向量及其線性運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)一空間向量的概念
1．定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
2．長(zhǎng)度或模：向量的大?。?br>3．表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母a，b，c，…表示；若向量a的起點(diǎn)是A，終點(diǎn)是B，也可記作eq \(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq \(AB,\s\up6(→))|.
4．幾類(lèi)特殊的空間向量
知識(shí)點(diǎn)二空間向量的線性運(yùn)算
知識(shí)點(diǎn)三共線向量
1．空間兩個(gè)向量共線的充要條件
對(duì)于空間任意兩個(gè)向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使a＝λb.
2．直線的方向向量
在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱(chēng)為直線 l 的方向向量．
知識(shí)點(diǎn)四共面向量
1．共面向量
如圖，如果表示向量a的有向線段eq \(OA,\s\up6(→))所在的直線OA與直線l平行或重合，那么稱(chēng)向量a平行于直線l.如果直線OA平行于平面α或在平面α內(nèi)，那么稱(chēng)向量a平行于平面α.平行于同一個(gè)平面的向量，叫做共面向量．
2．向量共面的充要條件
如果兩個(gè)向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x，y)，
使p＝xa＋yb.
題型一、空間向量的有關(guān)概念
1．下列說(shuō)法正確的是（）
A．零向量沒(méi)有方向
B．空間向量不可以平行移動(dòng)
C．如果兩個(gè)向量不相同，那么它們的長(zhǎng)度不相等
D．同向且等長(zhǎng)的有向線段表示同一向量
2．（多選）給出下列命題，其中正確的命題是（）
A．若，則或
B．若向量是向量的相反向量，則
C．在正方體中，
D．若空間向量，，滿(mǎn)足，，則
題型二、空間向量的加減運(yùn)算
1．如圖所示，在正方體中，下列各式中運(yùn)算結(jié)果為向量的個(gè)數(shù)是（）
①； ②；
③； ④．
A．1B．2C．3D．4
2．如圖所示，已知平行六面體ABCDA1B1C1D1，M為A1C1與B1D1的交點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列向量表達(dá)式．
(1)＋.
(2)＋－.
(3)＋＋
(4)＋＋＋＋.
題型三、空間向量的線性運(yùn)算
1．已知長(zhǎng)方體中，是對(duì)角線中點(diǎn)，化簡(jiǎn)下列表達(dá)式：
(1)；
(2)；
(3).
2．如圖，在長(zhǎng)方體中，為與的交點(diǎn).若，，，則下列向量中與相等的向量是（）
A．B．
C．D．
題型四、空間共線向量定理
1．如圖，在平行六面體中，，．
(1)求證：、、三點(diǎn)共線；
(2)若點(diǎn)是平行四邊形的中心，求證：、、三點(diǎn)共線．
2．已知、、共線，為空間任意一點(diǎn)（、、不共線），且存在實(shí)數(shù)、，使，求的值．
3．在空間四邊形ABCD中，，，則________.
題型五、空間共面向量定理
1．下列向量關(guān)系式中，能確定空間四點(diǎn)P，Q，R，S共面的是（）
A．B．
C．D．
2．已知，，，為空間中四點(diǎn)，任意三點(diǎn)不共線，且，若，，，四點(diǎn)共面，則的值為（）
A．0B．1C．2D．3
3．已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)平面外的任一點(diǎn)，若點(diǎn)滿(mǎn)足.
（1）判斷，，三個(gè)向量是否共面；
（2）判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi).
4．如圖所示，已知矩形ABCD和矩形ADEF所在的平面互相垂直，點(diǎn)M，N分別在對(duì)角線BD，AE上，且BM=BD，AN=AE.求證:向量共面.
1．下列命題中，真命題是（）
A．同平面向量一樣，任意兩個(gè)空間向量都不能比較大小
B．兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同
C．只有零向量的模等于0
D．共線的單位向量都相等
2．如圖所示，已知空間四邊形ABCD，連接AC?BD?EF，點(diǎn)E?F?G分別是BC?CD?DB的中點(diǎn)，請(qǐng)化簡(jiǎn)下列算式，并標(biāo)出化簡(jiǎn)得到的向量.
(1)；
(2).
3．直三棱柱中，若，，，則（）
A．B．C．D．
4．如圖，已知O?A?B?C?D?E?F?G?H為空間的9個(gè)點(diǎn)，且，，，，，.求證：
(1)A?B?C?D四點(diǎn)共面，E?F?G?H四點(diǎn)共面；
(2)；
(3).
5．有以下命題：
①若與共線，與共線，則與共線；
②若，則存在唯一的實(shí)數(shù)，使；
③若??共面，即表示這三個(gè)向量所在的直線共面.
則真命題的個(gè)數(shù)為_(kāi)__________.
6．已知P和不共線三點(diǎn)A,B,C,四點(diǎn)共面且對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，都有，則λ＝________.
7．如圖，已知、、、、、、、、為空間的個(gè)點(diǎn)，且，，，，，，.
求證：（1）、、、四點(diǎn)共面，、、、四點(diǎn)共面；
（2）；
（3）.
8．在下列條件中，使與，，一定共面的是（）
A．B．
C．D．
9．在正方體中，判斷下列各組向量是否共面：
(1)；
(2)；
(3)．
10．如圖所示，已知斜三棱柱，點(diǎn)、分別在和上，且滿(mǎn)足，.
(1)用向量和表示向量；
(2)向量是否與向量，共面？
11．如圖所示，在平行六面體中，，分別在和上，且，.
（1）證明：、、、四點(diǎn)共面；
（2）若，求.
1．已知，，，是空間中的四個(gè)點(diǎn)，則“”是“，，，四點(diǎn)共面”的（）
A．充分不必要條件B．必要不充分條件
C．充要條件D．既不充分也不必要條件
2．對(duì)于空間任意一點(diǎn)和不共線的三點(diǎn)，，，有如下關(guān)系：，則（）
A．，，，四點(diǎn)必共面B．，，，四點(diǎn)必共面
C．，，，四點(diǎn)必共面D．，，，，五點(diǎn)必共面
3．如圖所示，空間四邊形OABC中，，，，點(diǎn)M在OA上，且，M為OA中點(diǎn)，N為BC中點(diǎn)，則等于（）
A．B．C．D．
4．已知A?B?C?D?E是空間中的五個(gè)點(diǎn)，其中點(diǎn)A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實(shí)數(shù)x?y，使得的（）
A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件
C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件
5．對(duì)空間任一點(diǎn)O和不共線三點(diǎn)A?B?C，能得到P?A?B?C四點(diǎn)共面的是（）
A．B．
C．D．以上都錯(cuò)
6．(多選)若空間中任意四點(diǎn)O，A，B，P滿(mǎn)足=m+n，其中m+n=1，則結(jié)論正確的有（）
A．P∈直線ABB．P?直線AB
C．O，A，B，P四點(diǎn)共面D．P，A，B三點(diǎn)共線
7．下列說(shuō)法正確的是（）
A．空間中任意兩非零向量共面
B．直線的方向向量是唯一確定的
C．若，則A，B，C，D四點(diǎn)共面
D．在四面體中，E，F(xiàn)為，中點(diǎn)，G為中點(diǎn)，則
8．如圖，在正方體中，點(diǎn)E在上，且，點(diǎn)F在體對(duì)角線上，且，則下列說(shuō)法正確的是（）
A．E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線B．，B，C，D四點(diǎn)共面
C．，E，F(xiàn)三點(diǎn)共線D．，E，F(xiàn)，B四點(diǎn)共面
9．已知A，B，C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)O，若，則μ＝________；存在三個(gè)不為0的實(shí)數(shù)λ，m，n，使，那么λ＋m＋n的值為_(kāi)_______．
10．在正方體，點(diǎn)M和N分別是矩形ABCD和的中心，若點(diǎn)P滿(mǎn)足，其中x?，則點(diǎn)P可以是正方體表面上的點(diǎn)___________.（答案不唯一）
11．對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，以下條件可以判定點(diǎn)P?A?B共線的是___________（填序號(hào)）.
①；
②；
③；
④.
12．已知P，A，B，C四點(diǎn)共面，對(duì)空間任意一點(diǎn)O，若，則______.
13．根據(jù)如圖的平行六面體，化簡(jiǎn)下列各式：
(1)；
(2).
14．如圖所示，在以長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)的兩點(diǎn)為始點(diǎn)和終點(diǎn)的向量中．
(1)試寫(xiě)出與相等的所有向量；
(2)試寫(xiě)出的相反向量．
15．如圖，已知M，N分別為四面體A－BCD的面BCD與面ACD的重心，G為AM上一點(diǎn)，且GM∶GA＝1∶3.
求證：B，G，N三點(diǎn)共線．
16．已知，，三點(diǎn)不共線，對(duì)于平面外的任意一點(diǎn)，分別根據(jù)下列條件，判斷點(diǎn)是否與點(diǎn)，，共面：
(1)；
(2)．
17．已知E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)．
(1)用向量法證明E，F(xiàn)，G，H四點(diǎn)共面；
(2)設(shè)M是EG和FH的交點(diǎn)，求證：對(duì)空間任一點(diǎn)O，有．
名稱(chēng)
定義及表示
零向量
長(zhǎng)度為0的向量叫做零向量，記為0
單位向量
模為1的向量稱(chēng)為單位向量
相反向量
與向量a長(zhǎng)度相等而方向相反的向量，稱(chēng)為a的相反向量，記為－a
共線向量(平行向量)
如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：對(duì)于任意向量a，都有0∥a
相等向量
方向相同且模相等的向量稱(chēng)為相等向量
空間向量的線性運(yùn)算
加法
a＋b＝eq \(OA,\s\up6(→))＋ eq \(AB,\s\up6(→)) ＝eq \(OB,\s\up6(→))
減法
a－b＝eq \(OA,\s\up6(→))－eq \(OC,\s\up6(→))＝eq \(CA,\s\up6(→))
數(shù)乘
當(dāng)λ>0時(shí)，λa＝λeq \(OA,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))；
當(dāng)λ

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