1、什么叫全等三角形？
能夠完全重合的兩個(gè)三角形叫做全等三角形.
2、三邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊邊邊”或者“SSS”）.
符號(hào)語言表示：在△ABC和△A'B'C'中， AB=A'B'， AC=A'C'， BC=B'C'， ∴△ABC≌△A'B'C'.
3、兩邊和它們的夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“邊角邊”或者“SAS”）.
符號(hào)語言表示：在△ABC和△A′B′C′中， AB=A′B′， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（SAS）.
1、理解并掌握三角形全等判定“角邊角”條件的內(nèi)容.2、熟練利用“角邊角”條件證明兩個(gè)三角形全等.3、通過探究判定三角形全等條件的過程，提高分析和解決問題的能力.
先任意畫出一個(gè)△ABC，再畫一個(gè)△A′B′C′，使得AB=A′B′，∠A=∠A′，∠B=∠B′（即兩角和它們的夾邊分別相等）.此時(shí)的△ABC和△A′B′C′全等嗎？
畫法：1、畫A′B′=AB. 2、在A′B′的同旁畫∠DA′B′=∠A，∠EB′A′=∠B， A′D，B′E相交于點(diǎn)C′. 3、△A′B′C′即為所作三角形.
如圖，△A′B′C′就是所求作的三角形.
將原來的△ABC和△A′B′C′疊加在一起，能否完全重合？
結(jié)論：有兩個(gè)角及其夾邊對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形能夠完全重合.
判定3：兩角和它們的夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等（可以簡(jiǎn)寫成“角邊角”或者“ASA”）.
符號(hào)語言表示：在△ABC和△A′B′C′中， ∠B=∠B′， BC=B′C′， ∠C=∠C′， ∴△ABC≌△A′B′C′（ASA）.
例1：如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，∠B=∠C.求證：AD=AE.
解：在△ACD和△ABE中， ∠A=∠A （公共角）， AC=AB， ∠C=∠B， ∴△ACD≌△ABE（ASA）. ∴AD=AE.
例2：如圖，在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，∠B=∠E，BC=EF.求證：△ABC≌△DEF.
證明：在△ABC和△DEF中， ∠A=∠D， BC=EF， ∠B=∠E， ∴△ABC≌△DEF（ASA）.
分析：BC，EF不是已知兩對(duì)角的夾邊，在三角形中，知道兩個(gè)角的關(guān)系，利用三角形內(nèi)角和定理可以求得第三個(gè)角之間的關(guān)系.通過轉(zhuǎn)化來構(gòu)造“ASA”的判定條件.
證明：在△ABC和△DEF中， ∵∠A=∠D，∠B=∠E， ∠C=180°-∠A-∠B，∠F=180°-∠D-∠E， ∴∠C=∠F. 在△ABC和△DEF中， ∠B=∠E， BC=EF， ∠C=∠F， ∴△ABC≌△DEF（ASA）.
如圖，AB⊥BC，AD⊥DC，垂足分別為點(diǎn)B，點(diǎn)D，∠1=∠2.求證：AB=AD.
分析：圖中的兩個(gè)三角形有公共邊AC，有一對(duì)角相等可以選擇“SAS”或者“ASA”.根據(jù)題意，有AB⊥BC，AD⊥DC，則構(gòu)成∠ABC=∠ADC=90°.可以選擇“ASA”，需要將已知角轉(zhuǎn)化成兩角及其夾邊，即可求證.
證明：∵AB⊥BC，AD⊥DC， ∴∠ABC=∠ADC=90°.∵在△ABC和△ADC中，∠1=∠2，∠ABC=∠ADC，∴∠ACB=∠ACD.在△ABC和△ADC中， ∠1=∠2， AC=AC（公共邊）， ∠ACB=∠ACD， ∴△ABC≌△ADC（ASA）， ∴AB=AD.
如圖，要測(cè)量池塘兩岸相對(duì)的兩點(diǎn)A，B的距離，可以在池塘外取AB的垂線BF上的兩點(diǎn)C，D，使得BC=CD.再畫出BF的垂線DE，使得E與A，C在一條直線上，這時(shí)測(cè)得DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng)，為什么？
分析：根據(jù)題意構(gòu)造出兩個(gè)直角三角形，利用全等三角形的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)邊相等.注意題目中隱藏一對(duì)對(duì)頂角，根據(jù)“ASA”證明兩個(gè)三角形全等即可得出題目要求的結(jié)論.
解：由題可知：AB⊥BC，ED⊥DC，則∠ABC=∠EDC=90°.在△ABC和△EDC中， ∠ABC=∠EDC， BC=DC， ∠ACB=∠ECD， ∴△ABC≌△EDC（ASA）. ∴AB=ED，則DE的長(zhǎng)就是AB的長(zhǎng).
如下圖，已知∠B=∠D，DC=BC，還需要給出什么條件，即可用學(xué)過的判定得出△ABC≌△EDC.根據(jù)哪個(gè)判定？
條件（ ），根據(jù)（ ）. 條件（ ），根據(jù)（ ）.
兩邊及其夾角分別相等的兩個(gè)三角形全等
兩角及其夾邊分別相等的兩個(gè)三角形全等
如圖，已知∠1=∠2，∠C=∠D.求證：AC=AD.
證明：∵∠1=∠2，∠C=∠D， ∴∠ABC=∠ABD （三角形內(nèi)角和定理）. 在△ABC和△ABD中， ∠1=∠2， AB=AB（公共邊）， ∠ABC=∠ABD， ∴△ABC≌△ABD（ASA）. ∴AC=AD.
如圖，已知D是AC上一點(diǎn)，AB=DA，DE//AB，∠B=∠DAE.求證：△ABC≌△DAE.
證明：∵DE//AB， ∴ ∠CAB=∠EDA. 在△ABC和△DAE中， ∠CAB=∠EDA， AB=DA， ∠B=∠DAE， ∴△ABC≌△DAE（ASA）.
如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=2cm，CD⊥AB，在AC上取一點(diǎn)E，使EC=BC，過點(diǎn)E作EF⊥AC交CD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，如果EF=5cm，那么AE=（ ）cm.
分析：題目中已經(jīng)給出一對(duì)邊相等，可以選擇“SSS”，“SAS”或者“ASA”.根據(jù)題意的垂直關(guān)系可以轉(zhuǎn)化出相等的角，所以本題選擇“ASA”.利用好垂直關(guān)系和余角定理是解決本題的關(guān)鍵.
解：∵CD⊥AB， ∴∠A+∠ACD=90°.∵∠ACB=90°， ∴∠A+∠B=90°. ∴∠B=∠ACD.∵EF⊥AC， ∴∠FEC=90°. ∴∠ACB=∠FEC.在△ACB和△FEC中，∠B=∠FCE， BC=CE， ∠ACB=∠FEC，∴△ACB≌△FEC（ASA）. ∴ AC=EF.∵BC=2cm，EF=5cm. ∴ AE=3cm.
分析：等角加等角，其和仍然是等角；同理，等角減等角，其差仍然是等角.利用題目中已經(jīng)給出的角轉(zhuǎn)化出新的相等的角，從而證明三角形全等，利用全等的性質(zhì)得出對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等.
如圖，已知∠1=∠2，∠E=∠C，AC=AE.求證：AB=AD，∠B=∠D.

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12.2 三角形全等的判定

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