2022-2023學(xué)年福建省莆田第十一中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】先將集合分別求解，再計(jì)算.【詳解】，，故選：B.2．下列選項(xiàng)中，表示的不是同一個(gè)函數(shù)的是（    ）A．與B．與C．與D．與【答案】D【分析】分別判斷函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系，判斷兩個(gè)函數(shù)是否是同一函數(shù).【詳解】對于A選項(xiàng)，的定義域是，解得：，所以的定義域是，的定義域是，解得：，所以的定義域是，并且，所以兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，對應(yīng)法則相同，所以是同一函數(shù)；對于B選項(xiàng)，，，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，都是，對應(yīng)法則也相同，所以是同一函數(shù)；對于C選項(xiàng)，兩個(gè)函數(shù)的定義域相同，當(dāng)與時(shí)，，故兩個(gè)函數(shù)對應(yīng)法則也相同，所以是同一函數(shù)；對于D選項(xiàng)，的定義域是，的定義域是，兩個(gè)函數(shù)的定義域不同，所以不是同一函數(shù).故選：D3．點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】C【分析】根據(jù)終邊相同的角確定角度與弧度所在的象限，從而得，，即可知點(diǎn)在平面直角坐標(biāo)系中的象限位置.【詳解】解：因?yàn)?/span>，，故2023°為第三象限角，故，因?yàn)?/span>8與終邊相同，又，故8是第二象限角，故，則點(diǎn)在第三象限.故選：C.4．已知sinα+cosα＝，則sin2α＝（　?。?/span>A． B． C． D．【答案】A【分析】利用同角的平方和關(guān)系和二倍角公式即可.【詳解】解：∵， ∴，∴，∴．故選：A．5．在中，，且，則的值為（    ）．A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】由已知分析出點(diǎn)在的延長線上，且為的中點(diǎn)，然后利用三角形法則用向量，表示出向量，進(jìn)而可以求解．【詳解】解：因?yàn)?/span>，則，即點(diǎn)在的延長線上，且為的中點(diǎn)，則，所以，，則，故選：．6．已知 ，，則cos()=（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)同角三角函數(shù)基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式求解即可.【詳解】，，，故選：A7．若兩個(gè)正實(shí)數(shù)滿足，且不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】不等式恒成立，即為不等式恒成立，根據(jù)基本不等式求出的最小值，從而可得出答案.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立.又，所以，解得或（舍去），所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)，所以的最小值為，則不等式恒成立，即為，解得，所以實(shí)數(shù)m的取值范圍是.故選：A.8．已知定義在上的函數(shù)滿足，且在上單調(diào)遞增，若，，，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】函數(shù)滿足，則有，，再利用函數(shù)在上單調(diào)遞增比較大小.【詳解】函數(shù)滿足，所以有：，，函數(shù)滿足在上單調(diào)遞增，由，所以，即，故選：A 二、多選題9．要得到的圖象，可以將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)（    ）A．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍B．向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍C．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度D．橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度【答案】AD【解析】利用三角函數(shù)圖象的平移變換和伸縮變換求解.【詳解】將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度得到y＝sin(x)，再把所得各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到y＝sin(2x)．也可以將函數(shù)y＝sinx的圖象上所有的點(diǎn)橫坐標(biāo)縮短到原來的倍得到y＝sin2x，再把所得各點(diǎn)向右平行移動(dòng)個(gè)單位長度得到y＝sin2(x)＝sin(2x)．故選：AD．10．設(shè)，某學(xué)生用二分法求方程的近似解（精確度為），列出了它的對應(yīng)值表如下：0123 若依據(jù)此表格中的數(shù)據(jù)，則得到符合要求的方程的近似解可以為（    ）A．1.31 B．1.38 C．1.43????????????? D．1.44【答案】BC【分析】f(x)在R上是增函數(shù)，根據(jù)零點(diǎn)存在性定理進(jìn)行判斷零點(diǎn)所在的區(qū)間﹒【詳解】與都是上的單調(diào)遞增函數(shù)，是上的單調(diào)遞增函數(shù)，在上至多有一個(gè)零點(diǎn)，由表格中的數(shù)據(jù)可知：，在上有唯一零點(diǎn)，零點(diǎn)所在的區(qū)間為，即方程有且僅有一個(gè)解，且在區(qū)間內(nèi)，，內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)都可以作為方程的近似解，，符合要求的方程的近似解可以是和1.43﹒故選：BC﹒11．下列說法正確的是（    ）A．B．若與平行，與平行，則與平行C．若且則D．和的數(shù)量積就是在上的投影向量與的數(shù)量積【答案】AD【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義，結(jié)合三角函數(shù)的值域可以判定A；當(dāng)為零向量時(shí)，利用零向量和任意向量都平行的規(guī)定可以判定B；由移項(xiàng)變形，利用數(shù)量積的性質(zhì)，進(jìn)而判定C；利用投影向量的定義和數(shù)量積的定義運(yùn)算可以判定D.【詳解】，故A正確；當(dāng)為零向量時(shí)，對于任意的與，與平行，與平行總是成立，故B錯(cuò)誤；等價(jià)于，當(dāng)與垂直時(shí)成立，不一定，即推不出，故C錯(cuò)誤；在上的投影向量為，，所以和的數(shù)量積就是在上的投影向量與的數(shù)量積．故D正確.故選：AD.12．已知一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且，則的值為（    ）A．-2 B．-3 C．-4 D．-5【答案】BC【解析】設(shè)，利用已知條件得到，求解即可得出結(jié)果.【詳解】設(shè)，由，可得，解得：，又因?yàn)?/span>，得或，故選：BC. 三、填空題13．已知為鈍角，且，則______．【答案】【分析】由已知可求出，由兩角差的正弦公式代入即可得出的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，因?yàn)?/span>為鈍角，解得：，所以.故答案為：.14．設(shè)，則______.【答案】1【解析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，得到，，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由，可得，，所以.故答案為：.15．設(shè)若，則________．【答案】【分析】分和兩種情況討論，結(jié)合函數(shù)的解析式解方程，可求得實(shí)數(shù)的值，進(jìn)而求得結(jié)果.【詳解】若，則，由，得，即，解得：（舍去）或；若，由，得，該方程無解.綜上可知，，故答案為：.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題考查分段函數(shù)方程的求解，注意分類討論a的取值范圍，根據(jù)分段函數(shù)的解析式代入解方程即可，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16．定義在上函數(shù)滿足且當(dāng)時(shí)，，則使得在上恒成立的m的最小值是________．【答案】8【分析】根據(jù)給定條件，依次求出函數(shù)在上的最大值、最小值，再借助函數(shù)圖象求解作答.【詳解】定義在上函數(shù)滿足，當(dāng)時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，，由得，，因此當(dāng)時(shí)，恒成立，觀察圖象知，，則有，所以m的最小值是8.故答案為：8【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及由抽象的函數(shù)關(guān)系及給定區(qū)間上的解析式求解析式，在所求解析式的區(qū)間上任取變量，再變換到已知解析式的區(qū)間上是解題的關(guān)鍵. 四、解答題17．化簡求值：(1)；(2).【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得所求代數(shù)式的值；（2）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)、換底公式計(jì)算可得所求代數(shù)式的值.【詳解】（1）解：原式.（2）解：原式.18．已知不共線的向量滿足的夾角為.(1)若，求的值；(2)若，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）對式子進(jìn)行平方運(yùn)算，即可得到答案；（2）根據(jù)向量垂直，數(shù)量積為0，即可得到答案；【詳解】（1）（1）（2）（2），，，，，.19．已知函數(shù)是指數(shù)函數(shù)．(1)求的表達(dá)式；(2)判斷的奇偶性，并加以證明 (3)解不等式：．【答案】（1）（2）見證明；（3）【分析】(1)根據(jù)指數(shù)函數(shù)定義得到，檢驗(yàn)得到答案.(2) ，判斷關(guān)系得到答案.(3)利用函數(shù)的單調(diào)性得到答案.【詳解】解：（1）∵函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，且，∴，可得或（舍去），∴；（2）由（1）得，∴，∴，∴是奇函數(shù)；（3）不等式：，以2為底單調(diào)遞增，即，∴，解集為．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的定義，函數(shù)的奇偶性，解不等式，意在考查學(xué)生的計(jì)算能力.20．已知，，向量，的夾角為60°，，，則當(dāng)m為何值時(shí)，與垂直?【答案】【分析】利用垂直向量的數(shù)量積為0可求的值.【詳解】由已知得.由，知，即，所以，即當(dāng)時(shí)，與垂直.21．已知函數(shù) ．(1)求函數(shù)的零點(diǎn)；(2)討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)．【答案】(1)和(2)答案見解析． 【分析】（1）由題知，進(jìn)而解方程即可得答案；（2）根據(jù)題意，將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)在上的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，進(jìn)而數(shù)形結(jié)合求解即可.【詳解】（1）解：由 ， 得 ，化簡為 ， 解得 或 ，所以，或．所以，的零點(diǎn)為和 ．（2）解：由題意得， 令，得， 令， ，則 ，所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)等于函數(shù)在上的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)．在上的圖像如圖所示．所以，當(dāng)或時(shí)，在上的圖像與直線無交點(diǎn)， 所以，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)或時(shí)在上的圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)，所以，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，在上的圖像與直線有個(gè)交點(diǎn)，所以，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．綜上，當(dāng)或時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)或時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為；當(dāng)時(shí)，在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為．22．已知函數(shù)，．(1)求的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；(2)求方程在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和．【答案】(1)最小正周期為，增區(qū)間為(2) 【分析】（1）利用三角恒等化簡函數(shù)解析式為，利用正弦型函數(shù)的周期公式可求得函數(shù)的最小正周期，解不等式可得出函數(shù)的增區(qū)間；（2），數(shù)形結(jié)合可知函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，利用對稱性可求得這個(gè)交點(diǎn)橫坐標(biāo)之和，進(jìn)而可求得方程在內(nèi)的所有實(shí)數(shù)根之和.【詳解】（1）解：，所以，函數(shù)的最小正周期為，由得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）解：當(dāng)時(shí)，，令，作出函數(shù)與函數(shù)在上的圖象如下圖所示：可知函數(shù)與函數(shù)在上的圖象有個(gè)交點(diǎn)，設(shè)這四個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)由小到大依次為、、、，設(shè)，故方程在內(nèi)有四個(gè)不等的實(shí)根、、、，由圖可知，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，點(diǎn)、關(guān)于直線對稱，所以，，解得. 

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