2022-2023學年廣東省廣州市第一中學高一下學期期中數(shù)學試題 一、單選題1．復數(shù)純虛數(shù)，則實數(shù)（    ）.A．0 B． C．1 D．2【答案】B【分析】根據(jù)純虛數(shù)的定義列方程求即可.【詳解】∵復數(shù)為純虛數(shù)，，，.故選：B.2．已知是兩個不共線的向量，，.若與是共線向量，則實數(shù)（    ）.A．2 B． C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的共線的充要條件列出等式計算即可.【詳解】由已知，∵與是共線向量，∴存在，使，又，，即，∴，∴，所以，故選：D.3．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為（　?。?/span>A．7 B．6 C．5 D．3【答案】A【分析】設(shè)圓臺上底面半徑為，由圓臺側(cè)面積公式列出方程，求解即可得解.【詳解】設(shè)圓臺上底面半徑為，由題意下底面半徑為，母線長，所以，解得.故選：A.【點睛】本題考查了圓臺側(cè)面積公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.4．已知向量，，若，則的值為（    ）A． B． C．1 D．2【答案】D【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積坐標運算公式以及向量模的坐標表示，列出關(guān)于的方程，從而可得結(jié)果.【詳解】因為向量，，所以，，又， 所以，所以，即.故選：D.5．若復數(shù)，則的虛部為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)的運算化簡，求出，即可得出的虛部.【詳解】因為，所以，故的虛部為.故選：B.6．如圖，在中，弦AB的長度為2，則的值為（    ）.A．與半徑有關(guān) B．1 C．2 D．4【答案】C【分析】設(shè)圓C的半徑為r，，則，然后可得答案.【詳解】設(shè)圓C的半徑為r，，連接圓心與線段的中點，則，所以，∴.故選：C.7．2022年北京冬奧會拉開帷幕，動作觀賞性強?視覺沖擊力大的自由式滑雪大跳臺是目前“冬奧大家族”中最年輕的項目.首鋼滑雪大跳臺實現(xiàn)了競賽場館與工業(yè)遺產(chǎn)再利用?城市更新的完整結(jié)合，見證了中外運動員在大跳臺“沖天一跳”的精彩表現(xiàn)和北京這座世界上獨一無二“雙奧之城”的無上榮光.如圖為大跳臺示意圖，為測量大跳臺最高處點的高度，小王在場館內(nèi)的兩點測得的仰角分別為（單位：），且，則大跳臺最高高度（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】分別在和 中，求得OB，OA，然后在中，利用余弦定理求解.【詳解】解：在中，，在中，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，故選：C8．如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過點G作直線分別與AB，AC兩邊交于M，N兩點，設(shè)x＝，y＝，則的值為（    ）A．3 B．4C．5 D．6【答案】A【分析】由向量共線的推論知且，結(jié)合已知有，再由重心的性質(zhì)有，根據(jù)平面向量基本定理列方程組即可求值.【詳解】由題意且，而x＝，y＝，所以，又G是△ABC的重心，故，所以，可得，即.故選：A 二、多選題9．實數(shù)滿足，設(shè)，則下列說法正確的是（    ）A．z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點在第一象限 B．C．z的虛部是 D．z的實部是1【答案】ABD【分析】由條件結(jié)合復數(shù)相等的定義列方程求，由此可得，進而根據(jù)復數(shù)的概念和幾何意義求得答案.【詳解】實數(shù)滿足，可化為，所以，解得，所以，對于A，z在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標為，位于第一象限，故A正確.對于B，|z|=，故B正確.對于C，z的虛部是1，故C錯誤.對于D，z的實部是1，故D正確.故選：ABD.10．下列關(guān)于平面向量的說法中正確的是（    ）A．已知，均為非零向量，若，則存在唯一實數(shù)，使得B．在中，若，則點為邊上的中點C．已知，均為非零向量，若，則D．若且，則【答案】ABC【分析】利用向量共線、向量加法、向量垂直、向量運算等知識對選項逐一分析，由此確定正確選項.【詳解】A選項，根據(jù)向量共線的知識可知，A選項正確，B選項，，根據(jù)向量加法的運算可知點為邊上的中點，B選項正確.C選項，由兩邊平方并化簡得，所以，C選項正確.D選項，是一個數(shù)量，無法得到兩個向量相等，D選項錯誤.故選：ABC11．已知是兩條不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法中正確的是（    ）A．若，，則直線a平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線B．若，，，則a與b是異面直線C．若，，則D．若，，則一定相交【答案】AC【解析】由題意得出或，不管是哪一種情況，都能在平面內(nèi)找到無數(shù)條直線與直線平行即可判斷A選項；由題意得出直線與b沒有交點，則與b可能異面，也可能平行，即可判斷B選項；由，得出直線與沒有公共點，則，即可判斷C選項；當直線平行時，也滿足題意，即可判斷D選項.【詳解】A中，，，則或，所以不管在平面內(nèi)還是平面外，都有結(jié)論成立，故A正確；B中，直線與b沒有交點，所以與b可能異面，也可能平行，故B錯誤；C中，直線與平面沒有公共點，所以，故C正確；D中，直線與平面有可能平行，故D錯誤.故選：AC【點睛】本題主要考查了直線與直線，直線與平面的位置關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題.12．現(xiàn)有滿足，且的面積，則下列命題正確的是（    ）A．周長為 B．三個內(nèi)角A，C，B滿足關(guān)系C．外接圓半徑為 D．中線的長為【答案】AB【分析】由已知可得，可得，利用余弦定理求，再求，結(jié)合面積公式求，可得周長，結(jié)合正弦定理可得外接圓半徑，由此判斷A，B，C，結(jié)合余弦定理求中線長，判斷D.【詳解】因為，所以，設(shè)，則，所以，又，所以，又，所以，B正確；因為，所以，所以，所以，所以周長為，A正確；設(shè)的外接圓的半徑為，由正弦定理可得，所以外接圓半徑為，C錯誤；由余弦定理可得，，由，可得，由已知，所以，所以，所以，中線的長為，D錯誤；故選：AB. 三、填空題13．已知平面向量，若，則__________.【答案】0【分析】首先求出的坐標，依題意可得，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示得到方程，解得即可；【詳解】解：因為，所以，又，所以，解得；故答案為： 四、雙空題14．已知是關(guān)于x的方程的一個根，則實數(shù)________，實數(shù)________.【答案】          【分析】由條件可得，根據(jù)復數(shù)相等定義列方程求即可.【詳解】∵方程的一個根，∴即.∴解得.故答案為：；. 五、填空題15．正三棱柱的底面邊長為2，側(cè)棱長為，為中點，則三棱錐的體積為________．【答案】【詳解】試題分析：因為正三棱柱的底面邊長為，側(cè)棱長為為中點，所以底面的面積為，到平面的距離為就是底面正三角形的高，所以三棱錐的體積為．【解析】幾何體的體積的計算．16．中，的角平分線交AC于D點，若且，則面積的最小值為________.【答案】【分析】由，結(jié)合三角形面積公式證明，根據(jù)基本不等式證明，由此求出面積的最小值.【詳解】因為，為的角平分線，所以，又，故由三角形面積公式可得，，，又，所以，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，所以，所以，當且僅當時等號成立，所以面積的最小值為.故答案為：.【點睛】知識點點睛：本題主要考查三角形面積公式和基本不等式，具有一定的綜合性，問題解決的關(guān)鍵在于結(jié)合圖形建立等量關(guān)系，結(jié)合三角形面積公式確定邊的關(guān)系，屬于較難題. 六、解答題17．已知平面向量，，，．(1)求；(2)若，求實數(shù)k的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)列方程求得，進而求得.（2）根據(jù)向量平行列方程，化簡求得的值.【詳解】（1）因為，，且，所以，則，故．又因為，所以，故．（2）由（1）及條件，．因為，所以，解得．18．在中，角，，的對邊分別為，，，且，.(1)若，求的值；(2)若的面積為，求的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用正弦定理求解即可；（2）利用三角形面積公式和余弦定理求解即可.【詳解】（1）由題意在中，，，，由正弦定理可得.（2）由，，，即，解得，由余弦定理，可得.19．現(xiàn)有“甜筒”狀旋轉(zhuǎn)幾何體，可以看作一個圓錐與一個半球組合而成，其中圓錐的軸截面是邊長為（單位：）的正三角形.(1)求該幾何體的體積（單位：）；(2)求該幾何體的表面積（單位：）.【答案】(1)(2) 【分析】（1）求出球體的半徑，圓錐的底面半徑、母線長以及高，利用球體與錐體的體積公式可求得該幾何體的體積；（2）利用球體的表面積以及圓錐的側(cè)面公式可求得該幾何體的表面積.【詳解】（1）解：球半徑為，圓錐底面半徑，母線長，故圓錐高，所以，該幾何體的體積為.（2）解：該幾何體的表面積為.20．已知的內(nèi)角的對邊分別為，且，.（1）求；（2）求的周長.【答案】（1）；（2）9．【分析】（1）應(yīng)用二倍角公式和誘導公式變形已知等式可求得；（2）由正弦定理化角為邊，然后再結(jié)合余弦定理可求得，從而得三角形周長．【詳解】（1）因為，所以，，因為，所以，；（2）因為.所以，又，即，，所以，，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查余弦的二倍角公式，誘導公式，正弦定理，余弦定理等．解題關(guān)鍵是利用正弦定理化角為邊，然后結(jié)合余弦定理可求得邊長．21．在平面四邊形ABCD中，，，，，△BCD的面積為．(1)求的值；(2)求邊BC的長．【答案】(1)(2)14 【分析】（1）由已知結(jié)合同角平方關(guān)系先求出，然后結(jié)合三角形內(nèi)角和及誘導公式即可求解；（2）在△ABD中，由正弦定理，結(jié)合誘導公式可求得，結(jié)合三角形的面積公式可求得，最后利用余弦定理可求解.【詳解】（1）解由題意得：在△ABD中，因為所以故．（2）由（1）得又，所以．在△ABD中，由正弦定理，因為，所以在△BCD中，所以．22．已知的面積為，且.（1）求；（2）若點為邊上一點，且與的面積之比為1:3.①求證：；②求內(nèi)切圓的半徑.【答案】（1）；（2）①證明見解析；②.【詳解】試題分析：（1）由面積公式確定，再由余弦定理確定，然后結(jié)合正弦定理即可得到；（2）①由勾股定理易得二者垂直；②利用面積公式建立半徑方程，解之即可.試題解析：（1）∵的面積為，∴，∴由余弦定理得，∴，∴由余弦定理得（2）①∵與的面積之比為，∴，由余弦定理得，∴，∴即②（法一）在中，（法二）設(shè)的周長為，由得【解析】解三角形. 

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