2022-2023學(xué)年福建省福州超德中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念求解.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，所以，故選:D.2．已知向量，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接求解.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，所以.故選：D3．函數(shù)的最小正周期是（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)正弦型函數(shù)的最小正周期公式即可得出答案.【詳解】解：由函數(shù)，則最小正周期.故選：B.4．若，，，則，的夾角為（    ）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量的夾角公式即可求出．【詳解】由題意可得，，由于向量夾角的范圍為，所以向量與的夾角為．故選：B．5．已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則（    ）A．z的虛部為 B． C． D．是純虛數(shù)【答案】D【分析】根據(jù)題意得，根據(jù)虛部的概念、模的求法、共軛復(fù)數(shù)的概念、純虛數(shù)的概念依次判斷選項(xiàng)，即可求解.【詳解】A：因?yàn)閺?fù)數(shù)z在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，則，所以復(fù)數(shù)z的虛部為-1，故A錯(cuò)誤；B：，故B錯(cuò)誤；C：，故C錯(cuò)誤；D：，為純虛數(shù)，故D正確．故選：D．6．已知，，下列各式中正確的是A． B． C． D．【答案】D【詳解】試題分析：虛數(shù)不可比較大小，?？梢员容^大小，，，【解析】復(fù)數(shù)的模的計(jì)算7．已知，，，則，，的大小關(guān)系是（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，，.【詳解】由，且，即，，即.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了利用對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎(chǔ)題.8．在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為邊BC上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值為（    ）A．3 B．5 C．-1 D．0【答案】A【分析】建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，設(shè)， ，則，即可求最小值．【詳解】以為原點(diǎn)，，所在直線分別為軸軸，建立平面直角坐標(biāo)系則，，設(shè)，由于，則，所以當(dāng)時(shí)， 故選：A 二、多選題9．已知函數(shù)的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且有如下對(duì)應(yīng)值表：1357728則一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】由零點(diǎn)存在性定理判斷即可.【詳解】因?yàn)?/span>的圖像是一條連續(xù)不斷的曲線，且，所以一定包含的零點(diǎn)的區(qū)間是.故選：ACD10．函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，在上的圖象如圖所示，則函數(shù)的增區(qū)間是（    ）A． B． C． D．【答案】BC【分析】根據(jù)函數(shù)圖象，結(jié)合函數(shù)的奇偶性得到的單調(diào)增區(qū)間即可.【詳解】由圖象，可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的偶函數(shù)，所以函數(shù)的圖象關(guān)于軸對(duì)稱，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的增區(qū)間是和.故選：BC.11．已知向量，則（    ）A． B． C．若向量，則 D．【答案】ABD【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示公式，即可判斷選項(xiàng).【詳解】A.，，所以，故A正確；B.，所以，故B正確；C.，，，所以不平行，故C錯(cuò)誤；D.，，故D正確.故選：ABD12．的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，.下面四個(gè)結(jié)論正確的是（    ）A．，，則的外接圓半徑是2 B．若，則C．若，則一定是銳角三角形 D．若，則【答案】ABD【分析】根據(jù)正余弦定理及其應(yīng)用，對(duì)每個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行逐一分析，即可判斷和選擇.【詳解】對(duì)：由正弦定理知，所以外接圓半徑是2，故正確；對(duì)：由正弦定理及可得，，即，由，知，故B正確；對(duì)：因?yàn)?/span>，所以為銳角，但不確定，故C錯(cuò)誤；對(duì)：若，，所以由正弦定理得，故D正確.、故選：ABD. 三、填空題13．已知復(fù)數(shù)，，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第__________象限．【答案】二【分析】利用復(fù)數(shù)的減法化簡(jiǎn)復(fù)數(shù)，利用復(fù)數(shù)的幾何意義可得出結(jié)論.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，則，因此，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，即在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于第而象限.故答案為：二.14．在△ABC中，若，，，則△ABC的面積等于______________．【答案】【分析】先求得，然后根據(jù)三角形的面積公式求得△ABC的面積.【詳解】由余弦定理得，所以為銳角，所以，所以△ABC的面積為.故答案為：15．已知向量，，且，則________．【答案】1【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量，，再利用模長(zhǎng)公式整理即可計(jì)算出.【詳解】根據(jù)題意可知，,,所以，由可得，整理可得，解得.故答案為：116．已知，，若恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_____.【答案】【分析】先利用基本不等式求出的最小值，然后解不等式即可.【詳解】，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，，解得.故答案為：. 四、解答題17．已知函數(shù).(1)求函數(shù)圖像的對(duì)稱中心；(2)求函數(shù)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求對(duì)稱中心；（2）根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)求單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）令，解得，所以函數(shù)圖像的對(duì)稱中心為.（2）令，解得，所以函數(shù)圖像的單調(diào)遞減區(qū)間為.18．已知，，，且.(1)求實(shí)數(shù)m，n的值；(2)設(shè)復(fù)數(shù)滿足，求的最大值.【答案】(1)(2)6 【分析】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)相等的概念求解；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)的模長(zhǎng)的概念以及點(diǎn)到圓上的點(diǎn)的距離的最大值求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>,所以,解得.（2）因?yàn)?/span>，所以，所以，即.所以復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在以為圓心，1為半徑的圓上，且,所以的最大值為19．設(shè)函數(shù)，其中向量，且．(1)求實(shí)數(shù)m的值；(2)求函數(shù)的最小值．【答案】(1)1；(2)． 【分析】(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示求出f(x)，再結(jié)合即可求出值；(2)根據(jù)輔助角公式化簡(jiǎn)f(x)解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)的性質(zhì)得到答案．【詳解】（1）向量，，，，又，∴，解得．（2）由(1)得，當(dāng)時(shí)，的最小值為．20．在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若，，，求：(1)角B；(2)的面積S.【答案】(1)(2). 【分析】(1)正弦定理求解；(2)根據(jù)面積公式求解.【詳解】（1）由正弦定理，得，因?yàn)樵?/span>中，且，所以.（2）因?yàn)?/span>，所以.所以.21．已知函數(shù).（1）求的值；（2）若，試求的取值范圍.【答案】（1）；（2）【分析】（1）直接代入求解即可得答案；（2）根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解不等式即可得答案.【詳解】解：（1）因?yàn)?/span>，所以（2）因?yàn)?/span>，即，所以，解得.所以的取值范圍是22．如圖，已知等腰中，，，點(diǎn)P是邊BC上的動(dòng)點(diǎn).(1)若點(diǎn)P是線段BC上靠近B的三等分點(diǎn)，試用向量，表示向量；(2)求的值.【答案】(1)(2)10 【分析】（1）根據(jù)向量的加減法和數(shù)乘運(yùn)算表示；（2）利用向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律求解.【詳解】（1）因?yàn)?/span>.（2）取中點(diǎn)，則,且,又因?yàn)?/span>，，所以,所以 

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