2022-2023學(xué)年福建省福州屏東中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．復(fù)數(shù)=（    ）A． B． C． D．【答案】C【詳解】考查復(fù)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)，除法運(yùn)算主要掌握分子分母均乘以分母的共軛復(fù)數(shù).2．已知向量，，且，則（    ）A．2 B． C．1 D．【答案】C【分析】由向量垂直的坐標(biāo)表示計(jì)算．【詳解】由題意得，解得故選：C．3．已知向量，，是與方向相同的單位向量，則在上的投影向量為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用求得向量在向量方向上的投影向量.【詳解】設(shè)與所成角為，則，故在上的投影向量為．故選：C.4．復(fù)數(shù)，將復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為（    ）A． B． C．1 D．i【答案】A【分析】求出復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)向量的終點(diǎn)所在角終邊，按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)點(diǎn)所對(duì)角終邊，再求出對(duì)應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)作答.【詳解】復(fù)數(shù)的對(duì)應(yīng)向量的終點(diǎn)在坐標(biāo)軸的第四象限的角平分線上，將此角平分線按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)后，得x軸的非負(fù)半軸，令點(diǎn)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，由得：，即，點(diǎn)所對(duì)復(fù)數(shù)為，所以將復(fù)數(shù)z的對(duì)應(yīng)向量按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，所得向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.故選：A5．為平面上的定點(diǎn)，A，B，C是平面上不共線的三點(diǎn)，若，則是A．以AB為底面的等腰三角形B．以BC為底面的等腰三角形C．以AB為斜邊的直角三角形D．以BC為斜邊的直角三角形【答案】B【詳解】試題分析：根據(jù)題意，涉及了向量的加減法運(yùn)算，以及數(shù)量積運(yùn)算．因此可知，所以可知為故有，因此可知b=c，說明了是一個(gè)以BC為底邊的等腰三角形，故選B.【解析】本試題主要考查了向量的數(shù)量積的運(yùn)用．點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是利用向量的加減法靈活的變形，得到長(zhǎng)度b=c，然后分析得到形狀，注意多個(gè)變量，向一組基向量的變形技巧，屬于中檔題．6．我國(guó)東漢末數(shù)學(xué)家趙爽在《周髀算經(jīng)》中利用一副“弦圖”給出了勾股定理的證明，后人稱其為“趙爽弦圖”，它是由四個(gè)全等的直角三角形與一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形，如圖所示.在“趙爽弦圖"中，若，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算及平面向量的基本定理求解即可.【詳解】由題意，所以，， .故選：D.7．在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)應(yīng)邊分別為a，b，c，已知，且△ABC的面積為，則△ABC周長(zhǎng)的最小值為（    ）A． B．6 C． D．【答案】B【分析】首先利用正弦定理及誘導(dǎo)公式，二倍角公式對(duì)原式化簡(jiǎn)得，即求出的大小，再利用三角形面積公式得，從而求出的最小值，最后得到，利用函數(shù)單調(diào)性即可求出其最小值.【詳解】由題設(shè)及三角形內(nèi)角和性質(zhì)：，根據(jù)正弦定理及誘導(dǎo)公式得，，，，即，，則，則，解得,則，所以，則，又僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，根據(jù)余弦定理得，即，設(shè)的周長(zhǎng)為，則，設(shè)，則，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性：增函數(shù)加增函數(shù)為增函數(shù)得：在上為單調(diào)增函數(shù)，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等.故選：B8．已知函數(shù)的圖象過點(diǎn)，且在上單調(diào)，把的圖象向右平移個(gè)單位之后與原來的圖象重合，當(dāng)且時(shí)，，則A． B． C． D．【答案】B【解析】代入點(diǎn)求出，根據(jù)平移關(guān)系和在上單調(diào)，確定，從而得到；找到區(qū)間內(nèi)的對(duì)稱軸，由對(duì)稱性可得的值，進(jìn)而代入求得結(jié)果.【詳解】過點(diǎn)    ，即又        又的圖象向右平移個(gè)單位后與原圖象重合        在上單調(diào)            令，，解得，當(dāng)時(shí)，為的一條對(duì)稱軸又當(dāng)，且時(shí)，本題正確選項(xiàng)：【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)值的求解，關(guān)鍵是能夠通過三角函數(shù)的圖象平移、周期、特殊點(diǎn)等求解出函數(shù)解析式，再利用三角函數(shù)的對(duì)稱性將問題轉(zhuǎn)化為特定角的三角函數(shù)值求解. 二、多選題9．給出下列命題，其中正確的是（    ）A．復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限B．若，則z為實(shí)數(shù)C．若，為復(fù)數(shù)，且，則D．復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件為【答案】AB【分析】求出復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)點(diǎn)坐標(biāo)判斷A；設(shè)出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式推理判斷B；舉例說明判斷C；利用純虛數(shù)的定義判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，A正確；對(duì)于B，設(shè)，由得，解得，即是實(shí)數(shù)，B正確；對(duì)于C，令，滿足，而，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)的充要條件為，D錯(cuò)誤.故選：AB10．已知角，，是的三個(gè)內(nèi)角，下列結(jié)論一定成立的有（    ）A．若，則是等腰三角形B．若，則C．若是銳角三角形，則D．若，，，則的面積為或【答案】BCD【分析】利用誘導(dǎo)公式判斷A，利用正弦定理及大角對(duì)大邊判斷B，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)判斷C，利用余弦定理求出，再由面積公式計(jì)算即可判斷D；【詳解】解：對(duì)于A：若，則，整理得：或，即或，故為直角三角形或等腰三角形，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：若，即，利用正弦定理得：，故，故B正確；對(duì)于C：是銳角三角形，所以，整理得，故，整理得：，故C正確；對(duì)于D：由余弦定理，即，解得或，所以或，故D正確；故選：BCD11．在中，是邊上一點(diǎn)，，下列正確的是（    ）A． B． C．為銳角三角形 D．可能為鈍角【答案】AB【分析】利用余弦定理判斷，利用正弦定理判斷，利用三角形中判斷．【詳解】解：：在中，由余弦定理得，，正確，，，，在中，由正弦定理得，，正確，：在中，由余弦定理得，為銳角，又，為銳角，錯(cuò)誤，，錯(cuò)誤．故選：．12．“奔馳定理”是平面向量中一個(gè)非常優(yōu)美的結(jié)論，因?yàn)檫@個(gè)定理對(duì)應(yīng)的圖形與“奔馳”轎車，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地稱其為“奔馳定理”，奔馳定理：已知O是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，△BOC，△AOC，△AOB的面積分別為，，，且．設(shè)O是銳角△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，∠BAC，∠ABC，∠ACB分別是的△ABC三個(gè)內(nèi)角，以下命題正確的有（    ）A．若，則B．若，，，則C．若O為△ABC的內(nèi)心，，則D．若O為△ABC的垂心，，則【答案】ACD【分析】對(duì)A，由奔馳定理即可判斷；對(duì)B，由面積公式求出，結(jié)合奔馳定理即可求；對(duì)C，由奔馳定理，結(jié)合內(nèi)心性質(zhì)可得，即可得；對(duì)D，由垂心性質(zhì)及向量數(shù)量積的垂直表示可得，結(jié)合奔馳定理結(jié)合三角形面積公式，可得，如圖所示分別為垂足，可設(shè)，，即可由幾何關(guān)系列式解出，最后由正切求出余弦值，則由可求【詳解】對(duì)A，由奔馳定理可得，，又不共線，故，A對(duì)；對(duì)B，，由得，故，B錯(cuò)；對(duì)C，若O為△ABC的內(nèi)心，，則，又（為內(nèi)切圓半徑），三邊滿足勾股定律，故，C對(duì)；對(duì)D，若O為△ABC的垂心，則，，又，同理，∴，∵，則，且如圖，分別為垂足，設(shè)，，則，又，故，由，解得，由，故，D對(duì)故選：ACD    三、填空題13．已知向量，滿足，，，則______.【答案】4【分析】根據(jù)給定條件，利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解作答.【詳解】向量，滿足，，，則，，整理得，即，所以.故答案為：414．已知復(fù)數(shù)滿足，則的最小值是______．【答案】【分析】根據(jù)絕對(duì)值不等式，求出的最小值即可．【詳解】∵復(fù)數(shù)滿足， ∴， ∴的最小值是． 故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了不等式的應(yīng)用問題，也考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算問題，是基礎(chǔ)題目．15．在△ABC中，，，，則△ABC的外接圓半徑為________【答案】/【分析】運(yùn)用正弦定理及余弦定理可得解.【詳解】根據(jù)余弦定理：，得，由正弦定理△ABC的外接圓半徑為.故答案為:.16．已知等邊的邊長(zhǎng)為，P為所在平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，且，則的取值范圍是______.【答案】【分析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算結(jié)合三角恒等變換求解作答.【詳解】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線AB為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，等邊的邊長(zhǎng)為，則，又，設(shè)，因此，，因?yàn)?/span>，有，則當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，所以的取值范圍是.故答案為： 四、解答題17．如圖，在菱形中，.(1)若，求的值；(2)若，，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題意可知，即可求解；（2），從而即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樵诹庑?/span>中，.故，故，所以.（2）顯然，所以①，因?yàn)榱庑?/span>，且，，故，.所以.故①式.故.18．已知函數(shù)f（x）＝x2－ax＋2．(1)若f（x）≤－4的解集為[2，b]，求實(shí)數(shù)a，b的值；(2)當(dāng)時(shí)，若關(guān)于x的不等式f（x）≥1－x2恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)一元二次不等式和一元二次方程的關(guān)系得出實(shí)數(shù)a，b的值；（2）不等式f（x）≥1－x2等價(jià)于，結(jié)合基本不等式得出實(shí)數(shù)a的取值范圍．【詳解】（1）若f（x）≤－4的解集為[2，b]，則的解集為[2，b]所以，解得（2）由f（x）≥1－x2得對(duì)恒成立即在區(qū)間恒成立，所以又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取等號(hào)所以，即，故實(shí)數(shù)的取值范圍為19．已知向量.(1)當(dāng)時(shí)，求的值；(2)設(shè)函數(shù)，且，求的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的值.【答案】(1)；(2)時(shí)，取最大值，最大值為. 【分析】（1）根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示列方程，結(jié)合同角關(guān)系可求；（2）根據(jù)數(shù)量積的坐標(biāo)表示和兩角和余弦公式化簡(jiǎn)，再根據(jù)正弦函數(shù)性質(zhì)求其最大值和對(duì)應(yīng)的值即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，，所以，所以，所以；（2）因?yàn)?/span>，所以，，所以，所以，，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，當(dāng)，即時(shí)，取最大值，最大值為.20．某大橋是交通要塞，每天擔(dān)負(fù)著巨大的車流量．已知其車流量y（單位：千輛）是時(shí)間t（，單位：h）的函數(shù)，記為，下表是某日橋上的車流量的數(shù)據(jù)：03691215182124（千輛）3.01.02.95.03.11.03.15.03.1經(jīng)長(zhǎng)期觀察，函數(shù)的圖象可以近似地看做函數(shù)（其中，，，）的圖象．(1)根據(jù)以上數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖，并求函數(shù)的近似解析式；(2)為了緩解交通壓力，有關(guān)交通部門規(guī)定：若車流量超過4千輛時(shí)，核定載質(zhì)量10噸及以上的大貨車將禁止通行，試估計(jì)一天內(nèi)將有多少小時(shí)不允許這種貨車通行？【答案】(1)圖見解析，(2)一天中有8小時(shí)不允許這種貨車通行 【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)表，畫出散點(diǎn)圖，再求出中的參數(shù)作答.（2）由（1）中解析式，列出不等式并求解作答.【詳解】（1）散點(diǎn)圖，如圖：依題意，，，，解得：，當(dāng)時(shí)，y取最大值，則，而，于是，所以函數(shù)的近似解析式為.（2）若車流量超過4千輛時(shí)，即，則，解得，，即，，而，因此和滿足條件，共有，所以一天中有8小時(shí)不允許這種貨車通行.21．在中，角所對(duì)的邊分別是，設(shè)的面積為.已知.(1)求角的值；(2)若，點(diǎn)在邊上，為的平分線，的面積為，求邊長(zhǎng)的值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合余弦定理求出，即可得解；（2）根據(jù)的面積求出，再利用等面積法即可得出答案.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，即，所以，所以，又，所以；（2）因?yàn)?/span>為的平分線，所以，又，所以，由，得，解得或，所以.22．將正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變；再將其向左平移個(gè)單位，可得到函數(shù)的圖像，已知函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增.(1)求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)如圖，某小區(qū)要建一個(gè)四邊形花圃，其中，，是實(shí)數(shù)m的最大值，，求四邊形花圃周長(zhǎng)的最大值.【答案】(1)(2)10 【分析】（1）由題可得，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，即得；（2）利用余弦定理可得，然后利用正弦定理可得，，進(jìn)而可得表示四邊形ABCD花圃周長(zhǎng)，再利用三角變換及正弦函數(shù)的性質(zhì)即得.【詳解】（1）由將正弦曲線上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來的2倍，縱坐標(biāo)保持不變,再將其向左平移個(gè)單位，可得，由，可得，所以，故實(shí)數(shù)m的取值范圍是；（2）由（1）知，．在中，，∴，設(shè)，則在中，由得，，，所以，因?yàn)?/span>，所以，∴，因此時(shí)，取到最大值10，故四邊形ABCD花圃周長(zhǎng)的最大值是10． 

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