2022-2023學(xué)年甘肅省慶陽(yáng)第六中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知平面向量的夾角為，且，則（    ）A．4 B．4 C．8 D．8【答案】C【分析】直接利用數(shù)量定義求解即可【詳解】因?yàn)槠矫嫦蛄?/span>的夾角為，且，所以，故選：C2．已知a，，，則（    ）A．5 B． C．3 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義求參，再根據(jù)復(fù)數(shù)的模的計(jì)算公式即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，，所以.故選：D.3．已知（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件，利用二倍角的余弦公式計(jì)算作答.【詳解】因?yàn)?/span>，所以.故選：A4．已知復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】A【分析】由題意可知，利用除法法則整理即可得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式，進(jìn)而求即可.【詳解】，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，位于第一象限.故選：A.5．已知，則（    ）A． B．0 C． D．【答案】B【分析】變換，代入計(jì)算得到答案.【詳解】，.故選：B6．已知向量，，若與同向共線，則（    ）A．3 B． C．或3 D．0或3【答案】A【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示結(jié)合條件即得.【詳解】因?yàn)橄蛄?/span>，，由，可得或，當(dāng)時(shí)，，，，滿足題意，當(dāng)時(shí)，，，，不滿足題意，所以.故選：A.7．已知一個(gè)圓錐和圓柱的底面半徑和高分別相等，若圓錐的軸截面是等邊三角形，則這個(gè)圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)圓錐和圓柱的側(cè)面積公式求解即可.【詳解】設(shè)圓錐和圓柱的底面半徑為，因?yàn)閳A錐的軸截面是等邊三角形，所以圓錐的母線長(zhǎng)為，則圓錐和圓柱的高為，所以圓錐的側(cè)面積為，圓柱的側(cè)面積為，所以圓錐和圓柱的側(cè)面積之比為,故選:C.8．如圖，在長(zhǎng)方體中，，E，F分別為棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】若是中點(diǎn)，連接，由知是直線與所成角的平面角，再應(yīng)用余弦定理求其余弦值.【詳解】若是中點(diǎn)，連接，在長(zhǎng)方體中，所以直線與所成角為，又，F為棱的中點(diǎn)，則，所以在△中，.故選：D 二、多選題9．甘肅省慶陽(yáng)市南佐遺址是國(guó)家重點(diǎn)文物保護(hù)單位，年代距今5200年至4600年.它是仰韶文化的大型聚落遺址，為黃河流域文明起源和發(fā)展提供了重要的實(shí)物資料，經(jīng)國(guó)家文物局批準(zhǔn)，2021年、2022年進(jìn)行了第三階段的考古發(fā)掘工作.如圖，為該次出土的一塊三角形瓷器碎片，其一部分破損，為了復(fù)原該三角形陶片，現(xiàn)測(cè)得如下數(shù)據(jù)：BC=7cm，AB=5cm，A= ，則：（      ）A．陶片破損的邊AC長(zhǎng)為8cm B．陶片面積為cm2C．陶片外接圓面積cm2 D．陶片的形狀為直角三角形【答案】ABC【分析】利用已知條件，通過(guò)正弦定理，余弦定理可分別求出的值，從而可對(duì)各選項(xiàng)逐項(xiàng)分析判斷即可得出答案.【詳解】由題意可得，BC=7cm，AB=5cm，A= ，在三角形中，,由正弦定理可得，，即，又為銳角，，，，由正弦定理可得，,即;故A正確； ，陶片外接圓面積為,故C正確；陶片面積為，故B正確；，陶片的形狀不是直角三角形，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10．設(shè)為虛數(shù)單位，下列關(guān)于復(fù)數(shù)的命題正確的有（       ）A．B．若互為共軛復(fù)數(shù)，則C．若，則D．若復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則【答案】ABD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算、共軛復(fù)數(shù)及復(fù)數(shù)模的運(yùn)算，純虛數(shù)的定義逐一判斷作答.【詳解】對(duì)于A，令，則，于是，A正確；對(duì)于B，令，則，，B正確；對(duì)于C，令，顯然，而，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則，解得，D正確.故選：ABD11．已知向量，若，則實(shí)數(shù)m的值可以為（    ）A． B．0 C．1 D．2【答案】ABC【分析】根據(jù)向量垂直列出方程，求出實(shí)數(shù)m的值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，解得或0或．故選：ABC12．如圖，在正方體中，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，則（    ）A．三棱錐的體積為定值B．異面直線與所成的角的取值范圍為C．直線與平面所成角的正弦值的最大值為D．過(guò)作直線，則【答案】ACD【分析】證明平面，結(jié)合三棱錐的體積計(jì)算判斷A；利用異面直線夾角的定義計(jì)算判斷B；求出點(diǎn)到平面的距離計(jì)算判斷C；證明平面判斷D作答.【詳解】對(duì)于A，在正方體中，對(duì)角面是矩形，即， 平面，平面，則平面，即點(diǎn)P到平面的距離等于點(diǎn)C到平面的距離，為定值，而的面積是定值，因此，三棱錐的體積為定值，A正確；對(duì)于B，由選項(xiàng)A知，，則異面直線與所成的角即為直線與所成的角，連，則有是正三角形，點(diǎn)在線段上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)P與或重合時(shí)，直線與所成的角最小，為，當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，直線與所成的角最大，為，所以異面直線與所成的角的取值范圍為，B不正確；對(duì)于C，令正方體棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)到平面的距離為h，正邊長(zhǎng)為，面積為，由得：，解得，當(dāng)點(diǎn)P為線段的中點(diǎn)時(shí)，，所以直線與平面所成角的正弦值的最大值為，C正確；對(duì)于D，在正方體中，，平面，又平面，因此，而，平面，于是有平面，又平面，則，又直線過(guò)，且直線，所以，D正確.故選：ACD 三、填空題13．已知，則______．【答案】或【分析】根據(jù)給定條件，利用等角定理計(jì)算作答.【詳解】，由等角定理知，與相等或互補(bǔ)，所以或.故答案為：或14．如圖，是用斜二測(cè)畫法得到的△AOB的直觀圖，其中則AB的長(zhǎng)度為 ______．【答案】【分析】把直觀圖還原為原平面圖形，根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)度即可．【詳解】把直觀圖還原為,如圖所示：根據(jù)直觀圖畫法規(guī)則知,,所以的長(zhǎng)度為.故答案為：.15．若平面向量?滿足條件：?，則向量在向量的方向上的數(shù)量投影為___________.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量投影的知識(shí)求得正確答案.【詳解】向量在向量的方向上的數(shù)量投影為.故答案為：16．“勾股弦”是勾股定理的一個(gè)特例根據(jù)記載，西周時(shí)期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過(guò)“勾股弦”的問(wèn)題如圖，在矩形中，滿足“勾股弦”，且，，為上一點(diǎn)，若，則__________．【答案】/0.28【分析】建立直角坐標(biāo)系，由可求出的坐標(biāo)，然后根據(jù)建立方程組求解即可.【詳解】由題意建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，因?yàn)?/span>，，則，，.設(shè)，則，，因?yàn)?/span>，所以，解得，，，，由，得，所以，解得，所以，故答案為：. 四、解答題17．已知為銳角，.（1）求的值；（2）求的值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由二倍角公式，結(jié)合題意，可直接求出結(jié)果；（2）先由題意求出，，根據(jù)，由兩角差的正弦公式，即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)?/span>，所以；（2）因?yàn)?/span>為銳角，所以，，又，所以，，所以.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角恒等變換給值求值的問(wèn)題，熟記二倍角公式，以及兩角差的正弦公式即可，屬于?？碱}型.18．在復(fù)平面內(nèi)A，B，C三點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1，，.（1）求，，對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)；（2）判斷的形狀；（3）求的面積.【答案】（1）；-3+i；-2+2i（2）直角三角形.（3）2【解析】（1）求出A,B,C對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)，再根據(jù)向量的坐標(biāo)運(yùn)算求出結(jié)果；（2）分別求出對(duì)應(yīng)的線段的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可判斷；（3）利用直角三角形的面積公式，計(jì)算即可.【詳解】解：（1）對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為.（2）由（1）知，，，∴.∴為直角三角形.（3）.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的幾何意義，復(fù)數(shù)和平面內(nèi)的點(diǎn)是一一對(duì)應(yīng)關(guān)系，考查了向量的模以及三角形的面積公式，考查了運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.19．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)若，求函數(shù)的值域和單調(diào)區(qū)間.【答案】(1)；(2)值域是，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是. 【分析】（1）根據(jù)誘導(dǎo)公式，結(jié)合降冪公式、輔助角公式、正弦型函數(shù)的最小正周期公式求解作答.（2）利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求出指定區(qū)間上的值域及單調(diào)區(qū)間作答.【詳解】（1）依題意，，所以的最小正周期為.（2）由，得，則，因此，即函數(shù)的值域是，又正弦函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由得：，由得：，因此函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)的值域是，遞增區(qū)間是，遞減區(qū)間是.20．如圖，一個(gè)容器的蓋子用一個(gè)正四棱臺(tái)和一個(gè)球焊接而成，球的半徑為R，正四棱臺(tái)上、下底面半徑分別為2.5R和3R，斜高為0.6R，取(1)求這個(gè)蓋子的表面積和體積（用R表示，焊接處對(duì)面積影響忽略不計(jì)）(2)若R=2cm，為蓋子涂色時(shí)所用的涂料每0.4kg可以涂1，計(jì)算100個(gè)這樣的蓋子涂色約需要涂料多少千克？（內(nèi)部不涂色，結(jié)果精確到0.1千克）？【答案】(1)；；(2). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用球的表面積公式和棱臺(tái)的表面積公式，以及它們的體積公式求解作答.（2）由（1）的結(jié)論，將R=2cm代入計(jì)算出每個(gè)蓋子的表面積，進(jìn)而求出100個(gè)蓋子的面積，即可求出需涂料的重量.【詳解】（1）因?yàn)榍虻陌霃綖?/span>R，則該球的表面積為，該球的體積，又四棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為2.5R和3R，則四棱臺(tái)的上、下底面積分別為和，而正四棱臺(tái)的斜高為0.6R，則四棱臺(tái)的側(cè)面積為，正四棱臺(tái)的高為上、下邊長(zhǎng)分別為2.5R和3R，腰長(zhǎng)為0.6R的等腰梯形的高為，正四棱臺(tái)的體積，所以容器蓋子的表面積，體積為（）.（2）由（1）知，，當(dāng)R=2cm時(shí)，（）所以100個(gè)這樣的蓋子約需涂料為（）.21．如圖，在正方體中，是棱的中點(diǎn)．(1)試判斷直線與平面的位置關(guān)系，并說(shuō)明理由；(2)求證：直線平面(3)若正方體的棱長(zhǎng)為2，求點(diǎn)到平面的距離【答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3). 【分析】（1）連接交于點(diǎn)，由三角形中位線性質(zhì)可得，由線面平行的判定可證得結(jié)論.（2）由正方體的結(jié)構(gòu)特征結(jié)合線面垂直性質(zhì)，證得平面，再由線面垂直性質(zhì)和判定推理作答.（3）利用三棱錐的體積求解作答.【詳解】（1）直線平面，在正方體中，連接交于點(diǎn)，連接，如圖，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則為中點(diǎn)，又為中點(diǎn)，因此，又平面，平面，所以平面.（2）在正方體中，連接，如圖，因?yàn)樗倪呅?/span>為正方形，則，而平面，平面， 即有，又，平面，則平面，而平面，因此，同理平面，又平面，即有，因?yàn)?/span>，平面，所以平面.（3）在三棱錐中，，則的面積，的面積，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，由得：，于是，所以點(diǎn)到平面的距離為.22．在銳角中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，已知，．(1)求角的大?。?/span>(2)求的最小值.(3)的取值范圍【答案】(1)；(2)4；(3). 【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用向量的數(shù)量積公式和三角形面積公式，化簡(jiǎn)、計(jì)算作答.（2）由余弦定理結(jié)合已知，再利用基本不等式求解作答.（3）利用（1）的結(jié)論，結(jié)合三角恒等變換及三角函數(shù)性質(zhì)求解作答.【詳解】（1）在銳角中，由，得，即，則，而，所以.（2）在中，由（1）知，，而，由余弦定理，得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，.（3）由（1）知，，則，而是銳角三角形，有，解得，于是，而，，即，所以的取值范圍是. 

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