福建師范大學附屬中學2022-2023年高一下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．復數(shù)在復平面內(nèi)對應的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】直接利用復數(shù)的除法運算，結(jié)合復數(shù)的幾何意義即可.【詳解】復數(shù)，則其在復平面所對應的點為，故其在第四象限，故選：D.2．若用斜二測畫法畫一個水平放置的平面圖形為如下圖的一個正方形，則原來圖形是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用斜二測畫法判斷.【詳解】解：由斜二測畫法知：平行或與x軸重合的線段長度不變，平行關(guān)系不變，平行或與y軸重合的線段長度減半，平行關(guān)系不變，故選：A3．設是平面向量的一組基底，以下四個選項中可以作為平面向量的一組基底的是（    ）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】利用向量共線定理逐一判斷即可.【詳解】對于A：，和共線，A錯誤；對于B：，和共線，B錯誤；對于C：，和共線，C錯誤；對于D：不存在實數(shù)使，和不共線，D正確.故選：D.4．已知向量，滿足，，且，則與的夾角為（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用向量垂直的充要條件、向量的數(shù)量積運算以及夾角公式進行計算求解.【詳解】因為，所以，即，又，，所以，解得，又，則與的夾角為.故選：D.5．在中，內(nèi)角所對的邊分別為，則下列條件能確定三角形有兩解的是（    ）A．B．C．D．【答案】B【分析】結(jié)合已知條件和正弦定理即可求解.【詳解】對于A：由正弦定理可知，∵，∴，故三角形有一解；對于B：由正弦定理可知，，∵，∴，故三角形有兩解；對于C：由正弦定理可知，∵為鈍角，∴B一定為銳角，故三角形有一解；對于D：由正弦定理可知，，故故三角形無解.故選：B.6．在中，若，，，則的值為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用三角形的面積公式、正弦定理、余弦定理進行求解.【詳解】在中，設角 所對的邊分別為，由題知，，又，，所以，由余弦定理有：，解得，所以由正弦定理有：，故A，C，D錯誤.故選：B.7．一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時40海里的速度沿南偏東40°的方向直線航行，2小時后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70°，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65°，那么B，C兩點間的距離是（    ）A．海里 B．海里 C．海里 D．海里【答案】A【分析】由題設作示意圖，應用正弦定理求B，C兩點間的距離即可.【詳解】由題設可得如下示意圖，且，即，由圖知：，則，又，所以，則海里.故選：A8．在中，，，分別為內(nèi)角，，的對邊，若，，則的面積的最大值為（    ）A． B．2 C． D．4【答案】A【分析】由余弦定理得到，由同角關(guān)系求出，從而求出三角形面積的函數(shù)，利用二次函數(shù)知識得到面積的最大值.【詳解】因為，，由余弦定理得，所以，所以，設，則，所以當時，的面積有最大值，所以的面積的最大值為，故選：A 二、多選題9．下面關(guān)于空間幾何體的表述,正確的是（    ）A．棱柱的側(cè)面都是平行四邊形B．直角三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸,其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的幾何體是圓錐C．正四棱柱一定是長方體D．用一個平面去截棱錐,底面和截面之間的部分叫做棱臺【答案】AC【分析】用簡單幾何體的定義及特征去逐個判斷即可.【詳解】對于A:棱柱的所有側(cè)面都是平行四邊形,且每相鄰兩個四邊形的公共邊都相互平行,故A正確.對于B:只有以直角邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)才能得到圓錐,以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)得到的是兩個圓錐的組合體.故B錯誤.對于C:正四棱柱是底面是正方形的直四棱柱,所以必然是長方體,故C正確.對于D:只有截面與底面平行時,截面與底面之間的部分才是棱臺,故D錯誤.故選:AC.10．設復數(shù)，其中i是虛數(shù)單位，下列判斷中正確的是（    ）A． B．C．z是方程的一個根 D．滿足最小正整數(shù)n為3【答案】ACD【分析】由共軛復數(shù)的定義寫出，應用復數(shù)加法、乘方運算判斷A、B；在復數(shù)域內(nèi)求的根判斷C；應用復數(shù)的三角表示有，即可判斷最小正整數(shù)n判斷D.【詳解】由題設，，則，，所以A正確，B錯誤；由的根為，故z是該方程的一個根，C正確；由，則，故最小正整數(shù)n為3時，，正確.故選：ACD11．點O在所在的平面內(nèi)，則下列結(jié)論正確的是（    ）A．若，則點O為的外心B．若，則點O為 的重心C．若，分別表示，的面積，則D．若且，則點O是的垂心【答案】BC【分析】運用平面向量的線性運算規(guī)則逐項分析點O的幾何意義.【詳解】如上圖，D是AC的中點，E是AB的中點，F是BC的中點，對于A， ， ， ， ，O點是垂心，錯誤；對于B， ， ，所以O是 的重心，正確；對于C， ， ，即O是 的重心，如圖：設EC的中點為G，則有: ，正確；對于D，由條件可知： 在 方向的投影數(shù)量與 在 方向的投影數(shù)量相等， 在 方向的投影數(shù)量與 在 方向的投影數(shù)量相等，所以O點在 和 的角平分線上，即O是 的內(nèi)切圓的圓心，錯誤； 故選：BC.12．中國南宋時期杰出數(shù)學家秦九韶在《數(shù)書九章》中提出了已知三角形三邊求面積的公式，求其法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上，以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實，一為從隅，開平方得積．”若把以上這段文字寫成公式，即．現(xiàn)有滿足，且，則（    ）A．B．C．的外接圓半徑為D．中線的長為【答案】ABC【分析】由題設及正弦定理得，再結(jié)合已知條件求，，即可判斷A；應用余弦定理求角C即可判斷B；正弦定理求外接圓的半徑即可判斷C；根據(jù)向量的線性運算，結(jié)合選項A和數(shù)量積的性質(zhì)求解模長即可判斷D．【詳解】因為滿足，所以由正弦定理得，設，，，因為的面積，所以，解得，即，因此A正確；對于B，由余弦定理得，又是三角形內(nèi)角，因此，因此B正確；對于C，由正弦定理知外接圓直徑為，則外接圓半徑為，因此C正確；對于D，因為是的中線，所以，結(jié)合選項A得，即，因此D不正確．故選：ABC． 三、填空題13．已知向量，，若，則______．【答案】/【分析】利用向量的線性運算的坐標表示及向量垂直的條件即可求解．【詳解】∵，∴， 又因為，，所以，，∴，∴，故答案為：．14．如圖，已知圓柱底面圓的半徑為，高為2，AB，CD分別是兩底面的直徑，AD，BC是母線．若一只小蟲從A點出發(fā)，從側(cè)面爬行到C點則小蟲爬行路線的最短長度是___．【答案】【分析】展開圓柱側(cè)面，根據(jù)兩點間直線距離最短求得正確結(jié)論.【詳解】展開圓柱的側(cè)面如圖所示，由圖可知小蟲爬行路線的最短長度是.故答案為：15．設，則______．【答案】【分析】將復數(shù)表示成三角形式，利用復數(shù)三角形式的乘方法則可化簡.【詳解】因為，所以，.故答案為：. 四、雙空題16．某同學在學習和探索三角形相關(guān)知識時，發(fā)現(xiàn)了一個有趣的性質(zhì)：將銳角三角形三條邊所對的外接圓的三條圓弧（劣?。┭刂切蔚倪呥M行翻折，則三條圓弧交于該三角形內(nèi)部一點，且此交點為該三角形的垂心（即三角形三條高線的交點）.如圖，已知銳角外接圓的半徑為2，且三條圓弧沿三邊翻折后交于點.若，則___________；若，則的值為___________.【答案】          /5.75【分析】第一空，由正弦定理求得，可得，利用三角形垂心性質(zhì)結(jié)合三角形誘導公式推得，即得答案；第二空，設，由余弦定理求得它們的余弦值，然后由垂心性質(zhì)結(jié)合正弦定理表示出，即可求得答案.【詳解】設外接圓半徑為，則，由正弦定理，可知，即，由于是銳角，故，又由題意可知P為三角形ABC的垂心，即,故，所以；設，則，由于，不妨假設，由余弦定理知，設AD,CE,BF為三角形的三條高，由于 ,故 ,則得，所以，同理可得，所以,故答案為：；【點睛】本題重要考查了正余弦定理在解三角形中的應用，涉及到三角形垂心的性質(zhì)的應用，解答時要能靈活地結(jié)合垂心性質(zhì)尋找角之間的關(guān)系，應用正余弦定理，解決問題. 五、解答題17．已知z是復數(shù)，為實數(shù)，為純虛數(shù)（i為虛數(shù)單位）．(1)求復數(shù)z；(2)求的模．【答案】(1)(2) 【分析】（1）設復數(shù)，根據(jù)題意為實數(shù)，為純虛數(shù)，利用復數(shù)的運算即可求解；（2）根據(jù)復數(shù)的除法運算和復數(shù)模的計算公式即可求解.【詳解】（1）設復數(shù)，因為為實數(shù)，所以，則復數(shù)，又因為為純虛數(shù)，則，得，所以復數(shù).（2）由（1）可知復數(shù)，則，所以的模為.18．已知向量，，.(1)若，，三點共線，求實數(shù)的值；(2)若為銳角，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2) 【分析】（1）根據(jù)向量運算得，，進而結(jié)合向量共線的坐標表示求解即可；（2）結(jié)合題意得且與不共線，再根據(jù)數(shù)量積運算與共線的坐標表示求解即可.【詳解】（1）解：因為，，，所以，， 因為，，三點共線，所以與共線，所以，解得.所以實數(shù)的值（2）解：因為向量，，，所以，，因為為銳角，所以且與不共線，即，解得且，所以，實數(shù)的取值范圍是19．在中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知．(1)求C的值；(2)若，求的周長的最大值．【答案】(1)(2)12 【分析】（1）利用兩角和的正弦公式化簡即可求解；（2）利用余弦定理和基本不等式即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，所以，即，又，所以，所以，又，即；（2）因為，由余弦定理可知，，又因為，所以，所以，解得，當且僅當時，等號成立，所以，即，所以周長的最大值為12．20．在中，點D，E分別在邊和上，且交于點P，設．(1)試用，表示；(2)在邊上有點F，使得，求證：B，P，F三點共線；(3)若的面積為S，直接寫出的面積（用S表示）．【答案】(1) ，(2)證明見解析，(3) 【分析】（1）以 為基底，利用圖中的幾何關(guān)系表達 ，確定P點的位置；（2）向量共線的法則證明；（3）用比例的方法求解.【詳解】（1）由圖可知： ，設 ，則有 ，即 ， ， ，解得 ， ；（2）由題意： ，B，P，F三點共線；（3） ；所以， .21．已知為虛數(shù)，若，且.(1)求的實部的取值范圍；(2)設，求的最小值.【答案】(1)(2) 【分析】（1）設復數(shù)，根據(jù)復數(shù)的四則運算化簡可得，進而可得的取值范圍；（2）根據(jù)復數(shù)的四則運算，結(jié)合基本不等式可得最小值.【詳解】（1）設，則，又，則，所以，所以，即，解得；（2），由（1）得，所以，所以，又，所以，所以，當且僅當，即時等號成立，所以，即的最小值為.22．在中，角的對邊分別為，已知．(1)求角的大?。?/span>(2)若，且為銳角三角形，求的周長的取值范圍；(3)若，且外接圓半徑為2，圓心為為上的一動點，試求的取值范圍．【答案】(1)(2)(3) 【分析】（1）直接利用正余弦定理即可求解；（2）利用正弦定理將周長轉(zhuǎn)化為關(guān)于角的三角函數(shù)，利用三角函數(shù)的值域即可求解；（3）易得三角形為等邊三角形，取中點，可得，由為上的一動點，可得，進而可求的取值范圍.【詳解】（1）依題意，由正弦定理，，由可得，由余弦定理，則，則，因為，所以；（2）由為銳角三角形，，可得，由正弦定理，則，則，則的周長為，由，則，因為，整理得：，解得或（舍去），所以，則周長范圍是；（3）由正弦定理，則，則，由，可得，則，則三角形為等邊三角形，取中點，如圖所示：則，由，則，則．【點睛】方法點睛：（1）利用正余弦定理可進行邊角互換用以化簡條件；（2）涉及三角形周長與面積的最值問題，可將問題轉(zhuǎn)化為基本不等式或三角函數(shù)來求最值；（3）外接圓動點范圍問題，可轉(zhuǎn)化為動點到某個定點的距離問題，結(jié)合幾何圖形性質(zhì)分析得出范圍. 

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