2022-2023學年福建省福州延安中學高一下學期期中考試數(shù)學試題 一、單選題1．已知，，則（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用平面向量的坐標運算可求得向量的坐標.【詳解】因為，，則.故選：A.2．若復數(shù)，則的虛部為（    ）A． B．1 C．-1 D．【答案】B【分析】根據(jù)復數(shù)除法化簡復數(shù)，根據(jù)共軛復數(shù)概念求出虛部.【詳解】，故，的虛部為1.故選：B3．在中，內(nèi)角所對應(yīng)的邊分別是，若，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用余弦定理直接構(gòu)造方程求解即可.【詳解】由余弦定理得：，即，解得：（舍）或，.故選：D.4．下列說法中正確的是（    ）A．直四棱柱是長方體B．圓柱的母線和它的軸可以不平行C．正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形D．以直角三角形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體為圓錐【答案】C【分析】根據(jù)相關(guān)立體幾何圖形的性質(zhì)逐項判斷即可.【詳解】對于A：由直四棱柱的定義可知，長方體是直四棱柱，但當?shù)酌娌皇情L方形時，直四棱柱就不是長方體，故A錯誤；對于B：根據(jù)圓柱母線的定義可知，圓柱的母線和它的軸平行，故B錯誤；對于C：由正棱錐的定義可知，正棱錐的側(cè)面是全等的等腰三角形，故C正確；對于D：當以斜邊為旋轉(zhuǎn)軸時，會得到兩個同底的圓錐組合體，故D錯誤.故選：C.5．若復數(shù)，則（    ）A．-1 B． C． D．0【答案】A【分析】根據(jù)復數(shù)的運算法則即可求解.【詳解】因為，所以，所以.故選：A.6．已知的頂點坐標分別為、、，則的面積為（    ）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用平面向量數(shù)量積的坐標運算可求得的值，再利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，最后利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】因為的頂點坐標分別為、、，則，，所以，，則為銳角，所以，，因此，.故選：B.7．在中，為上一點，為線段上任一點（不含端點），若，則的最小值是（    ）A．8 B．10 C．13 D．16【答案】D【分析】由題設(shè)且，進而可得，將目標式化為，結(jié)合基本不等式“1”的代換求最小值，注意等號成立條件.【詳解】由題意，如下示意圖知：，且，又，所以，故且，故，僅當，即時等號成立.所以的最小值是16.故選：D8．在中，角，，所對的邊分別為，，，為的外心，為邊上的中點，，，，則（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)化簡可得，代入 ，所以，再根據(jù)正弦定理化簡可得，進而根據(jù)余弦定理可得.【詳解】由題意，為 的外心，為邊上的中點，可得： ，因為，可得： ，又 ，所以有 即 ，因為 ，所以 ，又因為，所以 ，由余弦定理： 故選：C. 二、多選題9．若復數(shù)滿足（是虛數(shù)單位），則下列說法正確的是（    ）A．的虛部為B．的模為C．的共軛復數(shù)為D．在復平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限【答案】BCD【分析】利用復數(shù)除法法則，計算得到，從而判斷出虛部，求出模長及共軛復數(shù)，寫出在復平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標，判斷其所在象限.【詳解】由，所以，所以的虛部為2，故A錯誤；，故正確；的共軛復數(shù)為，故正確；在復平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第一象限，故D正確.故選：BCD.10．（多選）判斷下列三角形解的情況，有且僅有一解的是（   ）A．，，； B．，，；C．，，； D．，，.【答案】AD【分析】由正弦定理解三角形后可得結(jié)論.【詳解】對于A，由正弦定理得：，，，即，，則三角形有唯一解，A正確；對于B，由正弦定理得：，，，即，或，則三角形有兩解，B錯誤；對于C，由正弦定理得：，無解，C錯誤；對于D，三角形兩角和一邊確定時，三角形有唯一確定解，D正確.故選：AD11．已知中，其內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c，下列命題正確的有（    ）A．若，則B．若，，則的外接圓半徑為10C．若為銳角三角形，則D．若，，，則【答案】ACD【分析】利用正弦定理來判斷AB，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)來判斷C，利用三角形的面積公式來判斷D.【詳解】對于A：，，由正弦定理得，A正確；對于B：的外接圓半徑為，B錯誤；對于C：若為銳角三角形，則，，，C正確；對于D：，D正確.故選：ACD.12．關(guān)于平面向量，有下列四個命題，其中說法正確的是（    ）A．點，與向量共線的單位向量為B．非零向量和滿足，則與的夾角為C．已知平面向量，，若向量與的夾角為銳角，則D．已知向量，，則在上的投影向量的坐標為【答案】BD【分析】對于A，根據(jù)共線向量及單位向量的概念運算即得；對于B，利用向量夾角公式結(jié)合條件即得；對于C，由題可得即可判斷；對于D，根據(jù)投影向量的概念結(jié)合條件即得.【詳解】對于A，因為，且，所以與向量共線的單位向量為，故錯誤；對于B，因為，所以，即，化簡得，所以，即，又，所以，因為，所以，故正確；對于C，由，，向量與的夾角為銳角，則，所以且，故錯誤；對于D，因為，，所以在上的投影向量的坐標為，故正確.故選：BD. 三、填空題13．已知向量，，若，則______.【答案】##【分析】利用向量平行的坐標運算列式計算即可.【詳解】，，，，.故答案為：.14．用斜二測畫法畫出的某平面圖形的直觀圖如圖所示，邊與平行于軸.已知四邊形的面積為，則原平面圖形的面積為__________.【答案】【分析】作出原圖形，根據(jù)原圖形與直觀面積之間的關(guān)系求解．【詳解】根據(jù)題意得，原四邊形為一個直角梯形，且，，，，則，所以，.故答案為：.15．已知復數(shù)，，則的最大值為__________.【答案】【分析】利用復數(shù)模的三角不等式可求得的最大值.【詳解】因為復數(shù)，則，所以，，當且僅當時，等號成立，故的最大值為.故答案為：.16．如圖甲，首鋼滑雪大跳臺是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．如圖乙，研究性學習小組為了估算賽道造型最高點A距離地面的高度AB（AB與底面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物CD，測得CD的高度為h，并從C點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物CD之間的地面上的點E處測得A點，C點的仰角分別為60°和30°（其中B，E，D三點共線），該學習小組利用這些數(shù)據(jù)估算出AB約為60米，則CD的高h約為______米．       【答案】20【分析】分別在和中，求得AE，CE，然后在中，利用正弦定理求解.【詳解】解：在中，，在中，，在中，由正弦定理得：，即，解得，故答案為：20 四、解答題17．當實數(shù)m取什么值時，復平面內(nèi)表示復數(shù)的點分別滿足下列條件：(1)與原點重合；(2)位于直線上；(3)位于第三象限.【答案】(1)(2)或(3)無解 【分析】（1）根據(jù)實部和虛部均為零列方程組求解；（2）根據(jù)點在直線列方程求解；（3）根據(jù)實部和虛部均小于零列不等式組求解.【詳解】（1）由已知得，解得，即時，復平面內(nèi)表示復數(shù)的點與原點重合；（2）由已知得，解得或，即或時，復平面內(nèi)表示復數(shù)的點位于直線上；（3）由已知得，解得無解，即不存在的值使復平面內(nèi)表示復數(shù)的點位于第三象限.18．已知平面向量、，若，，.(1)求向量、的夾角；(2)若且，求.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在等式兩邊平方，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得向量、的夾角的余弦值，結(jié)合向量夾角的取值范圍即可得解；（2）由已知可得，利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)求出的值，然后利用平面向量數(shù)量積的運算性質(zhì)可求得.【詳解】（1）解：因為，則，所以，，又因為，因此，，即向量、的夾角為.（2）解：因為且，則，解得，因此.19．已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．(1)求角A的大小；(2)若，求△ABC的面積．【答案】(1)(2) 【分析】（1）將條件整理然后代入余弦定理計算即可；（2）先利用正弦定理將角化邊，然后結(jié)合條件求出，再利用三角形的面積公式求解即可.【詳解】（1）由整理得，，由，；（2），由正弦定理得，①，又，②，由①②得，.20．如圖，為了測量兩山頂之間的距離，飛機沿水平方向在兩點進行測量，在同一鉛垂平面內(nèi).飛機從點到點路程為，途中在點觀測到處的俯角分別為，在點觀測到處的俯角分別為.(1)求之間的距離（用字母表示）；(2)若，求之間的距離.【答案】(1)(2) 【分析】（1）在中，利用正弦定理求得結(jié)果.（2）先利用余弦定理求解，再根據(jù)余弦定理求解即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理可得，即.所以.（2）因為，由（1）知.，則為等腰三角形，，,由余弦定理可得在中，，由余弦定理可得：因此之間的距離為.21．從①；②；這兩個條件中選擇一個，補充在下面試題的橫線上，并完成試題解答.設(shè)的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知的面積為，且_______.(1)求B(2)若，求的最小值，并判斷此時的形狀.（注：若選擇多個條件分別作答，則按第一個條件計分）【答案】(1)(2)，是直角三角 【分析】（1）選①：由正弦定理得，結(jié)合余弦定理求得，得到；選②：由正弦定理得，得到，得到，求得.（2）由（1）得，求得，得到，根據(jù)向量的運算和基本不等式，求得取得最小值2，此時，進而求得，即可求解.【詳解】（1）解：若選①，因為，所以，所以由正弦定理，得，即，由余弦定理，得，因為，所以.若選②，有，由正弦定理，得，即，所以，因為，所以，即，因為，所以，因為，所以.（2）解：由（1）得，解得，因為，所以，當且僅當時，取得最小值2，此時，又因為，所以，整理得，因為，所以，所以，所以是直角三角.22．已知△ABC為銳角三角形，設(shè)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．R為△ABC外接圓半徑．（1）若R＝1，且滿足，求的取值范圍；（2）若，求的最小值．【答案】（1）；（2）.【分析】（1）由正弦定理及余弦定理可得，進而得到的大??；由正弦定理和三角恒等變換得到，從而根據(jù)的范圍求出即可；（2）由題意得出，，然后化簡，從而利用基本不等式求最小值.【詳解】（1）因為，所以由正弦定理，得，又由余弦定理，得，所以，即，所以，又因為△ABC為銳角三角形，所以，所以 ，因為△ABC為銳角三角形，所以 ，即，所以，所以，即，所以，所以，即的取值范圍為.（2）因為，所以，即，又因為△ABC為銳角三角形，所以，所以，所以由正弦定理，得，又因為，所以，所以，即,兩邊同時除以，得，因為且△ABC為銳角三角形，所以，所以 所以，所以，令，則，所以，當且僅當時，即時等號成立，所以的最小值為. 

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