2022-2023學(xué)年福建省福州格致中學(xué)高一下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知復(fù)數(shù)，則z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（    ）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】先求出復(fù)數(shù)z的代數(shù)形式，然后通過其對應(yīng)的點可得點的位置.【詳解】，z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，位于第四象限.故選：D.2．已知向量，，．若，則實數(shù)k的值為（    ）A． B． C．0 D．6【答案】A【分析】由題意得，利用向量垂直，則數(shù)量積為0，得到方程解出即可.【詳解】，，，即，解得，故選：A.3．函數(shù)的大致圖象是（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】首先判斷函數(shù)的奇偶性，再代入計算和的值即可得到正確答案.【詳解】因為，且函數(shù)定義域為，關(guān)于原點對稱，所以是偶函數(shù)，其圖象關(guān)于軸對稱，排除C；，排除B；，排除D.故選：A.4．，下列說法正確的是（）①為偶函數(shù)；②的最小正周期為；③在區(qū)間上先減后增；④的圖象關(guān)于對稱．A．①③ B．①④ C．③④ D．②④【答案】A【分析】由題可得，然后結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)逐項分析即得.【詳解】由輔助角公式可得：，對①，由題可知，為偶函數(shù)，①正確；對②，最小正周期，故②錯誤；對③，令，，在區(qū)間先減后增，復(fù)合函數(shù)同增異減易知，③正確；對④，，所以關(guān)于點對稱，④錯誤.故選：A．5．若復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面上對應(yīng)的點集所組成的圖形面積為（       ）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意原式變形為，設(shè)，，表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的圖形為：以為圓心以4為半徑的圓及其內(nèi)部，進而得到答案.【詳解】變形為設(shè)，，所以.上式表示復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點構(gòu)成的圖形為：以為圓心以4為半徑的圓及其內(nèi)部，故在復(fù)平面上對應(yīng)的點集所組成的圖形面積為，故D正確.故選：D.6．2022年北京冬奧會，首鋼滑雪大跳臺（如圖1）是冬奧歷史上第一座與工業(yè)遺產(chǎn)再利用直接結(jié)合的競賽場館，大跳臺的設(shè)計中融入了世界文化遺產(chǎn)敦煌壁畫中“飛天”的元素．某校研究性學(xué)習(xí)小組為了估算賽道造型最高點A（如圖2）距離地面的高度AB（AB與地面垂直），在賽道一側(cè)找到一座建筑物PQ，測得PQ的高度為25.4米，并從P點測得A點的仰角為30°；在賽道與建筑物PQ之間的地面上的點M處測得A點，P點的仰角分別為75°和30°（其中B，M，Q三點共線），該學(xué)習(xí)小組利用這些數(shù)據(jù)估算得賽道造型最高點A距離地面的高度約為（    ）（參考數(shù)據(jù)：，，）A．58 B．60 C．66 D．68【答案】B【分析】在中，求得PM，在中，利用正弦定理求得AM，然后在中，由 求解.【詳解】解：如圖所示：由題意得：，在中，，在中，由正弦定理得，所以，在中， ，故選：B7．函數(shù)（，）的部分圖像如圖所示，下列說法不正確的是（    ）A．函數(shù)的解析式為B．函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增C．為了得到函數(shù)f（x）的圖像，可將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度D．函數(shù)的最大值為4【答案】D【分析】根據(jù)題意，由圖像求得函數(shù)的解析式，然后根據(jù)正弦型函數(shù)的單調(diào)性以及三角函數(shù)圖像變換，即可得到結(jié)果.【詳解】對于A，由圖像可得，，則，且，所以，再將點代入，可得，即，所以，又，則，將點代入，可得，所以，故正確；對于B，因為，令，解得，，所以單調(diào)遞增區(qū)間為，故正確；對于C，由題意可得，將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，即，故正確；對于D，要使得到，則當(dāng)且時，即當(dāng)，此時，故不滿足，故錯誤；故選:D8．平行四邊形中，，，，點在邊上，則的取值范圍是（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，把的取值范圍轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的值域問題，即可求得本題答案.【詳解】作，垂足為，以點為原點，所在直線為軸，軸建立如下圖的平面直角坐標(biāo)系.因為，而,所以，在直角中，因為，，所以，，則，設(shè)，所以，所以，因為二次函數(shù)開口向上，對稱軸為，且，所以當(dāng)時，取最小值，當(dāng)時，取最大值，所以的取值范圍是.故選：C 二、多選題9．已知，則以下說法正確的是（    ）A．若，則B．若，則C．若，則D．若與夾角為銳角，則的取值范圍為【答案】BC【分析】選項A利用向量模的坐標(biāo)表示出來，然后解不等式即可；選項B由向量垂直找出等式解出即可；選項C利用向量共線性質(zhì)即可；選項D由向量夾角及數(shù)量積關(guān)系即可解決問題.【詳解】因為，則或，故選項A不正確；由，則，故選項B正確；由，則，故選項C正確；D：若與夾角為銳角，則且不共線，所以且的取值范圍為，故選項D不正確．故選：BC.10．已知向量，，則下列命題正確的是（    ）A．若，則B．若在上的投影向量為，則向量與的夾角為C．若與共線，則為或D．存在，使得【答案】AB【分析】根據(jù)得到，即可得到，即可判斷A選項；根據(jù)投影向量得到，即可得到，即可判斷B選項；根據(jù)與共線和得到，解得，根據(jù)可得，即可得到的坐標(biāo)，即可判斷C選項；假設(shè)成立，可得到，與矛盾，即可判斷D選項.【詳解】對于A，若，則有，即，A正確；對于B，，，在上的投影向量為，所以，∵，∴，B正確；對于C，若與共線，設(shè)，所以有，解得，因為，，∴，所以，C不正確；對于D，若成立，則與反向，所以，，，解得，即有，則，與矛盾，故D不正確．故選：AB.11．在中，角，，所對的邊分別為，，，且，則下列結(jié)論正確的是（    ）A． B．是鈍角三角形C．的最大內(nèi)角是最小內(nèi)角的倍 D．若，則外接圓半徑為【答案】ACD【解析】由正弦定理可判斷A；由余弦定理可判斷B；由余弦定理和二倍角公式可判斷C；由正弦定理可判斷D.【詳解】解：由，可設(shè)，，，，根據(jù)正弦定理可知，選項A描述準(zhǔn)確；由為最大邊，可得，即為銳角，選項B描述不準(zhǔn)確；，，由，，可得，選項C描述準(zhǔn)確；若，可得，外接圓半徑為，選項D描述準(zhǔn)確.故選：ACD.【點睛】本題考查三角形的正弦定理和余弦定理，二倍角公式，考查化簡運算能力，屬于中檔題.12．“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標(biāo)志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關(guān)聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（    ）A．若，則為的重心B．若為的內(nèi)心，則C．若，，為的外心，則D．若為的垂心，，則【答案】ABD【分析】對A，取BC的中點D，連接MD，AM，結(jié)合奔馳定理可得到，進而即可判斷A；對B，設(shè)內(nèi)切圓半徑為，從而可用表示出，，，再結(jié)合奔馳定理即可判斷B；對C，設(shè)的外接圓半徑為，根據(jù)圓的性質(zhì)結(jié)合題意可得，，，從而可用表示出，，，進而即可判斷C；對D，延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E，根據(jù)題意結(jié)合奔馳定理可得到，，從而可設(shè)，，則，，代入即可求解，進而即可判斷D．【詳解】對于A，取BC的中點D，連接MD，AM，由，則，所以， 所以A，M，D三點共線，且，設(shè)E，F分別為AB，AC的中點，同理可得，，所以為的重心，故A正確；對于B，由為的內(nèi)心，則可設(shè)內(nèi)切圓半徑為，則有，，，所以，即，故B正確；對于C，由為的外心，則可設(shè)的外接圓半徑為，又，，則有，，，所以，，，所以，故C錯誤；對于D，如圖，延長AM交BC于點D，延長BM交AC于點F，延長CM交AB于點E，由為的垂心，，則，又，則，，設(shè)，，則，，所以，即，所以，所以，故D正確；故選：ABD．【點睛】關(guān)鍵點點睛：解答D選項的關(guān)鍵是通過做輔助線（延長AM交BC于點D，延長BO交AC于點F，延長CO交AB于點E），根據(jù)題意，結(jié)合奔馳定理得到，，再設(shè)，，得到，，進而即可求解． 三、填空題13．同一平面內(nèi)的三個單位向量兩兩夾角都是，則與的夾角是_________.【答案】##【分析】根據(jù)數(shù)量積的性質(zhì)求，，，再根據(jù)向量夾角公式求夾角.【詳解】由已知，，所以，同理，所以，，，所以，又，所以，故答案為：.14．已知，函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，則的取值范圍是________．【答案】【分析】把題意轉(zhuǎn)化為方程在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實根．利用換元法，令，借助于的圖像即可求解.【詳解】函數(shù)在區(qū)間上有且僅有兩個零點，可以轉(zhuǎn)化為：方程在區(qū)間上有且僅有兩個不相等的實根．令，因為，所以，利用的圖像可以得出，解得.故答案為：．15．已知銳角中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若，，則的面積的取值范圍是_________．【答案】【分析】根據(jù)，，利用余弦定理得到，再由正弦定理得到，然后由三角形面積公式求解.【詳解】解：因為，，所以，因為，所以，由正弦定理得，則，所以，，，，，因為是銳角三角形，所以，解得，所以，所以，所以的面積的取值范圍是，故答案為：.16．已知的重心為G，過G點的直線與邊AB和AC的交點分別為M和N，若，則與的面積之比為________.【答案】【分析】利用重心的性質(zhì)，把AG用AM、AN表示，再由M，G，N三點共線求出與的關(guān)系，再由三角形面積公式即可求解.【詳解】解：如圖所示：設(shè)，G為的重心，，又三點共線，，解得：，故，.故答案為：. 四、解答題17．復(fù)數(shù)，其中為虛數(shù)單位．(1)求及；(2)若，求實數(shù)，的值．【答案】(1)，(2) 【分析】（1）首先根據(jù)復(fù)數(shù)的運算求解出復(fù)數(shù)，進而根據(jù)復(fù)數(shù)的模長公式求解；（2）首先將代入等式，然后根據(jù)等式關(guān)系構(gòu)造方程組，解方程組即可得到實數(shù)，的值.【詳解】（1）∵，∴．（2）由（1）可知，由，得：，即，∴，解得18．已知函數(shù)且．(1)當(dāng)時，求不等式的解集；(2)當(dāng)時，不等式恒成立，求實數(shù)b的取值范圍．【答案】(1)(2) 【分析】（1）利用二倍角公式化簡可得，解得范圍，結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)即可求得答案；（2）由于時，，故可將不等式恒成立化為在時恒成立，結(jié)合基本不等式即可求得答案.【詳解】（1）當(dāng)時，，則即，即，又因為，故，故不等式的解集為.（2）當(dāng)時，不等式恒成立,即恒成立，由于時，，故在時恒成立，因為，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號，則，故實數(shù)b的取值范圍為.19．已知函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱．(1)若的最小正周期為，求的解析式；(2)若是的零點，是否存在實數(shù)，使得在上單調(diào)？若存在，求出的取值集合；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)存在； 【分析】（1）由題意，利用正弦函數(shù)的周期性和對稱性，求出和，可得函數(shù)的解析式；（2）由題意，利用正弦函數(shù)的對稱性、單調(diào)性，求出的取值集合.【詳解】（1）∵最小正周期為，則，且，∴，又∵函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，則，，可得，，且，可得，故函數(shù)．（2）①若是的零點，由于的圖象關(guān)于直線對稱，則，，整理得，②根據(jù)在上單調(diào)，，整理得，③由題意可得：的單調(diào)區(qū)間為，即，故，整理得，由①②③可得：，解得，故的取值集合為．20．某游樂場的摩天輪示意圖如圖．已知該摩天輪的半徑為30米，輪上最低點與地面的距離為2米，沿逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)一周所需時間為分鐘．在圓周上均勻分布12個座艙，標(biāo)號分別為1～12（可視為點），現(xiàn)從圖示位置，即1號座艙位于圓周最右端時開始計時，旋轉(zhuǎn)時間為t分鐘．(1)當(dāng)時，求1號座艙與地面的距離；(2)在前24分鐘內(nèi)，求1號座艙與地面的距離為17米時t的值；(3)記1號座艙與5號座艙高度之差的絕對值為H米，若在這段時間內(nèi)，H恰有三次取得最大值，求的取值范圍．【答案】(1)(2)或(3) 【分析】（1）設(shè)1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，根據(jù)所給條件求出、、、，即可得到函數(shù)解析式，再令代入計算可得；（2）由（1）中的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（3）依題意可得，，從而得到高度差函數(shù)，利用兩角和差的正弦公式化簡，再結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)求出函數(shù)取得最大值時的值，即可得解；【詳解】（1）解：設(shè)1號座艙與地面的距離與時間的函數(shù)關(guān)系的解析式為，，，則，，所以依題意，所以，當(dāng)時，所以，故，所以，即當(dāng)時，求1號座艙與地面的距離為；（2）解：令，即，所以，又，所以，所以或，解得或，即或時1號座艙與地面的距離為17米；（3）解：依題意，，所以令，解，所以當(dāng)時取得最大值，依題意可得21．已知中，點在邊上，滿足，且，的面積與面積的比為．(1)求的值；(2)若，求邊上的高的值．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由得為的平分線，再根據(jù)正弦定理得，從而解得；（2）由已知及（1）可得，再由余弦定理求得的長，最后根據(jù)求得結(jié)果.【詳解】（1）∵，∴為的平分線，在與中，根據(jù)正弦定理可得：兩式相比可得：又的面積與面積的比為，∴，即，且，由得，∴且為銳角，∴．故答案為：（2）由（1）知為銳角，且，因此，又，所以在中由余弦定理得，解得：，∵∴．故答案為：22．已知 分別為 三個內(nèi)角 的對邊， 且 ，(1)求 ；(2)若 ， 求 的取值范圍；(3)若 為 的外接圓， 若 分別切 于點 ， 求 的最小值.【答案】(1)；(2)；(3). 【分析】（1）由題目條件可證得,可得為直角三角形，可求出.（2）由數(shù)量積的定義可求得，設(shè)，則，令，則，判斷出的單調(diào)性，即可得出答案.（3）用分別表示出，結(jié)合均值不等式即可求出答案.【詳解】（1）因為，則，所以，則，所以為直角三角形，所以.（2），所以，而，所以設(shè)，所以，令，又因為所以，所以，令，因為在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞減，所以.所以 的取值范圍為（3） 的外接圓的半徑為，，設(shè)，則，其中，所以，而，，當(dāng)且僅當(dāng)取等.所以 的最小值為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題考查向量相關(guān)的取值范圍問題，考查面較廣，涉及了基本不等式、函數(shù)值域、正弦定理、三角函數(shù)等，需要對知識掌握熟練且靈活運用.考查學(xué)生的運算能力和邏輯推理能力，屬于難題. 

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