2022-2023學(xué)年河南省焦作市高二下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題 一、單選題1．已知集合，則（    ）A． B．或C． D．【答案】C【分析】解對(duì)數(shù)函數(shù)不等式化簡(jiǎn)集合A，然后利用交集運(yùn)算求解即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，又，所以.故選：C2．已知函數(shù)且（其中是的導(dǎo)函數(shù)），則實(shí)數(shù)（    ）A． B． C．1 D．2【答案】C【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，由可求得．【詳解】由已知，所以，解得．故選：C．3．已知隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，方差，若隨機(jī)變量Y滿(mǎn)足，則（    ）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)期望和方差的兩個(gè)公式，計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望，方差，所以.故選：B4．已知雙曲線的焦距為，若，c，c成等比數(shù)列，則該雙曲線的漸近線方程為（    ）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)等比數(shù)列建立方程，再由可求出即可得解.【詳解】因?yàn)?/span>，c，c成等比數(shù)列，所以，即，解得，因?yàn)殡p曲線，所以雙曲線的漸近線方程為，故選：C5．記為等比數(shù)列的前n項(xiàng)和．若，則（    ）A．12 B．15 C．18 D．21【答案】B【分析】設(shè)公比為，根據(jù)等比數(shù)列的求和公式，分與兩種情況討論，可求出結(jié)果.【詳解】設(shè)公比為，當(dāng)時(shí)，由，，解得，則；當(dāng)時(shí)，由， ，得，顯然，從而得，即，得，即，解得或，均不符合題意，綜上，.故選：B．6．若曲線在處的切線的傾斜角為，則（    ）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出，然后利用二倍角公式及弦切互化計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，所以，所以.故選：D7．已知在數(shù)列中，，則（    ）A． B．1 C．3 D．2【答案】B【分析】由題意可得數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且，由此計(jì)算即可得出結(jié)果.【詳解】由，可得，，，所以數(shù)列是以6為周期的周期數(shù)列，且，因?yàn)?/span>，則.故選：B．8．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則“”是“為遞增數(shù)列”的（    ）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．既不充分也不必要條件 D．充要條件【答案】A【分析】根據(jù)以及充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可.【詳解】由題意得數(shù)列為遞增數(shù)列等價(jià)于“對(duì)任意恒成立”，得，即對(duì)任意恒成立，故，所以“”是“為遞增數(shù)列”的充分不必要條件，故選：A.9．“保護(hù)環(huán)境，綠色出行”是現(xiàn)代社會(huì)提倡的一種環(huán)保理念．小紅早上上學(xué)的時(shí)候，可以乘坐公共汽車(chē)，也可以騎單車(chē)，還可以步行．已知小紅騎單車(chē)的概率為0.5，乘坐公共汽車(chē)的概率為0.4，步行的概率為0.1，而且騎單車(chē)、乘坐公共汽車(chē)、步行時(shí)，小紅準(zhǔn)時(shí)到校的概率分別為0.9，0.9，0.8，則小紅準(zhǔn)時(shí)到校的概率是（    ）A．0.9 B．0.89 C．0.88 D．0.87【答案】B【分析】分別求出乘坐公共汽車(chē)和騎單車(chē)、步行準(zhǔn)時(shí)到校的概率，然后求和即為準(zhǔn)時(shí)到校的概率.【詳解】小紅上學(xué)騎單車(chē)準(zhǔn)時(shí)到校的概率為，乘坐公共汽車(chē)準(zhǔn)時(shí)到校的概率為，步行準(zhǔn)時(shí)到校的概率為，因此小紅準(zhǔn)時(shí)到校的概率為：，故選：B10．的展開(kāi)式中的系數(shù)是（    ）A．20 B． C．10 D．【答案】D【分析】先把二項(xiàng)式分為三部分，分別求每個(gè)二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?/span>,展開(kāi)式中的項(xiàng)是,則展開(kāi)式中的系數(shù)是.故選:D.11．已知函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)a的最小值為（    ）A． B． C． D．【答案】A【分析】對(duì)求導(dǎo)，由在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，可得在恒成立，即在恒成立，令，轉(zhuǎn)化為求，可得的取值范圍；【詳解】的定義域?yàn)?/span>，，函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則在恒成立，則，即，令，，令，解得：，令，解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以.故，故實(shí)數(shù)a的最小值為.故選：A.12．設(shè)，則（    ）A． B．C． D．【答案】A【分析】令，，利用導(dǎo)數(shù)可求得的單調(diào)性，從而確定，，令即可得到大小關(guān)系.【詳解】令，，則，在上單調(diào)遞增，，即；取，則令，，則，在上單調(diào)遞增，，即；取，則，即，即，綜上，.故選：A.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查采用構(gòu)造函數(shù)的方式比較大小的問(wèn)題，解題關(guān)鍵是能夠根據(jù)的形式的共同點(diǎn)，準(zhǔn)確構(gòu)造函數(shù)和，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)單調(diào)性后，通過(guò)賦值來(lái)確定大小關(guān)系. 二、填空題13．已知函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，．若為的導(dǎo)函數(shù)，則______．【答案】【分析】先利用奇函數(shù)性質(zhì)求出時(shí)函數(shù)的解析式，求出導(dǎo)函數(shù)，代入計(jì)算即可.【詳解】當(dāng)時(shí)，，，所以，即當(dāng)時(shí)，，所以，所以，故答案為：14．寫(xiě)出一個(gè)同時(shí)具有下列性質(zhì)①②③的函數(shù)解析式：__________．①定義域?yàn)?/span>R；②值域?yàn)?/span>；③是單調(diào)遞減函數(shù)．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)函數(shù)的三個(gè)性質(zhì)，寫(xiě)出符合條件的函數(shù)即可.【詳解】的定義域?yàn)?/span>,的值域?yàn)?/span>，在上為減函數(shù).故答案為：（答案不唯一）15．已知函數(shù)，則的極小值為__________．【答案】【分析】求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，判斷給定區(qū)間函數(shù)的單調(diào)性，即可求得函數(shù)的極小值.【詳解】因?yàn)?/span>，所以，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，故當(dāng)，取極小值.故答案為：．16．已知數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若（為非零常數(shù)），且，則__________．【答案】12【分析】由所給的遞推關(guān)系，令計(jì)算出，代入即可得出結(jié)果.【詳解】由，，當(dāng)時(shí)，，即，得，當(dāng)時(shí)，，即，得，當(dāng)時(shí)，，即，得，因?yàn)?/span>，即，又，解得.故答案為：12． 三、解答題17．在中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知，且，角A為銳角．(1)求角A的大小；(2)若的外接圓面積為，求b．【答案】(1)(2) 【分析】（1）由題設(shè)結(jié)合正弦定理及兩角和的正弦公式可得，由求得，，即可得出角；（2）由的外接圓面積得出外接圓半徑，由求出，由正弦定理可得，即可得出結(jié)果．【詳解】（1）∵，∴由正弦定理可得，即，即，∵，∴，∴，又∵A為銳角，∴．（2）由于的外接圓面積為，故外接圓半徑為，∵，∴由正弦定理可得．18．已知正項(xiàng)等比數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且．(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)已知數(shù)列滿(mǎn)足，求的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2) 【分析】（1）先通過(guò)等比數(shù)列通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式列方程求出通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和，然后利用等比數(shù)列的概念證明即可；（2）先求出，然后利用錯(cuò)位相減法求和即可.【詳解】（1）設(shè)的公比為，∵，∴，解得，∴，∴，,又∴數(shù)列是公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）可知，等比數(shù)列的通項(xiàng)公式為，∴．∴，，兩式相減得，∴．19．研究表明，過(guò)量的碳排放會(huì)導(dǎo)致全球氣候變暖等環(huán)境問(wèn)題，減少碳排放具有深遠(yuǎn)的意義．中國(guó)明確提出節(jié)能減排的目標(biāo)與各項(xiàng)措施，工業(yè)和信息化部在2022年新能源汽車(chē)推廣應(yīng)用中提出了財(cái)政補(bǔ)貼政策后，某新能源汽車(chē)公司的銷(xiāo)售量逐步提高，如圖是該新能源汽車(chē)公司在2022年1~5月份的銷(xiāo)售量y（單位：萬(wàn)輛）與月份x的折線圖．(1)依據(jù)折線圖計(jì)算x，y的相關(guān)系數(shù)r，并據(jù)此說(shuō)明可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系；（若，則線性相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合）(2)請(qǐng)建立y關(guān)于x的線性回歸方程，并預(yù)測(cè)2022年8月份的銷(xiāo)售量．參考數(shù)據(jù)及公式：，相關(guān)系數(shù)，在線性回歸方程中，．【答案】(1)，說(shuō)明見(jiàn)解析(2)，9.25萬(wàn)輛 【分析】（1）由折線圖中的數(shù)據(jù)，結(jié)合公式求得，即可得到結(jié)論；（2）由（1）中的數(shù)據(jù)，利用回歸系數(shù)的公式，求得和，得出回歸直線方程，令時(shí)，求得的值，即可求解．【詳解】（1）解：由該新能源汽車(chē)公司在2022年1~5月份的銷(xiāo)售量y與月份x的折線圖中的數(shù)據(jù)，可得，，，，所以，故可用線性回歸模型擬合y與x的關(guān)系．（2）解：由（1）中的數(shù)據(jù)，可得，則，故y關(guān)于x的線性回歸方程為，當(dāng)時(shí)，．故可以預(yù)測(cè)2022年8月份的銷(xiāo)售量為萬(wàn)輛．20．如圖，在四棱錐中，，，，，．(1)求證：平面．(2)在線段上是否存在一點(diǎn)H（與端點(diǎn)A，B不重合），使得二面角的余弦值為？若存在，請(qǐng)確定H點(diǎn)的位置；若不存在，說(shuō)明理由．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)存在，H是線段的中點(diǎn) 【分析】（1）利用勾股定理的逆定理得出線線垂直，再由線面垂直的判定定理求解即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求出二面角的余弦值，解之即可.【詳解】（1）由題可知在中，．∵，∴．又∵是等腰直角三角形，∴，∴．又，∴，∴．∵平面平面，∴平面．（2）以E為原點(diǎn)，直線，分別為x軸、y軸，過(guò)點(diǎn)E且與平面垂直的直線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，則．易知平面的一個(gè)法向量為．設(shè)，則．設(shè)平面的法向量為，，則，即，令，則，∴．由題意可知二面角為銳二面角，∴，解之得，∴H是線段的中點(diǎn)．21．已知拋物線C：的焦點(diǎn)為F，為該拋物線上一點(diǎn)．(1)求的值；(2)若斜率為2的直線l與拋物線C交于異于點(diǎn)P的A，B兩點(diǎn)，且滿(mǎn)足，求直線l的方程.【答案】(1)(2) 【分析】（1）將點(diǎn)P代入拋物線方程求出拋物線方程，然后利用焦半徑公式求解即可；（2）設(shè)直線方程，代入拋物線方程，結(jié)合韋達(dá)定理及數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算建立方程，求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?/span>為該拋物線上一點(diǎn)，所以，則，所以拋物線方程為，由拋物線定義知．（2）設(shè)直線l的方程為，聯(lián)立，整理可得，由，可得，所以，因?yàn)?/span>，所以，所以，所以，則，即，解得或，又當(dāng)時(shí)，直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)P，所以不符合題意，故直線l的方程為.22．已知函數(shù)．(1)若在上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍；(2)若函數(shù)，證明：當(dāng)時(shí)，恒成立．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析 【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，依題意在上恒成立，參變分離可得在上恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；（2）先構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明恒成立，即證恒成立，即證在上恒成立，再構(gòu)造函數(shù)利用導(dǎo)數(shù)證明即可．【詳解】（1）（1）∵，∴．∵在上是增函數(shù)，∴在上恒成立，可得在上恒成立．令，則，當(dāng)時(shí)，，∴在上是增函數(shù)，∴．∴，解得或，即實(shí)數(shù)的取值范圍是．（2）若，則．下面證明當(dāng)時(shí)，不等式成立，令，，則．令，得，令，得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，所以當(dāng)時(shí)，，即①恒成立．要證當(dāng)時(shí)，恒成立，即證恒成立，即證恒成立．結(jié)合①式，現(xiàn)證成立，即證在上恒成立，令，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，， 故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故即恒成立．因?yàn)?/span>①②兩式取等號(hào)的條件不一致，故恒成立．即當(dāng)時(shí)，恒成立． 

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